注此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量x求导,其结果就等于被积 函数在上限自变量x处的函数值 若上限不是x而是x的函数a(x), 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 a(x f(t)d=∫a(x)(x) 般情况如果f(连续,a(x)、bx)可导 则F(x)=(y的导数F(x)为 a(r) F)=dN)=0x)(x)-1(x)(x) a(r)
一般情况 如 果 f (t)连续，a(x)、b(x)可导， 则F x f t dt b x a x = ( ) ( ) ( ) ( ) 的导数F(x)为 = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 注 此定理表明连续函数取变上限定积分再对 上限自变量 x 求导，其结果就等于被积 函数在上限自变量 x 处的函数值 若上限不是 x 而是 x 的函数 a(x)， 则求导时必须按复合函数的求导法则进行 = ( ) [ ( ) ] [ ( )] ( ) a x a f t dt f a x a x dx d
证P(x)=(C,+mm fo f(tdt-fo f(tdt, F(x)=fb(x)o'(x)-fla(x)la(x) dt 例1求lim cost x→>0 2 「分析]:这是。型不定式,应用洛必达法则 解d cosX e dx cos d x cos x e cos X =sInx·E
F x ( )f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) 例1 求 lim . 2 1 cos 0 2 x e dt x t x − → 0 0 [分析]：这是 型不定式，应用洛必达法则. 解 − 1 cos 2 x t e dt dx d , cos 1 2 − = − x t e dt dx d (cos ) 2 cos = − − e x x sin , 2 cos x x e − = 证
dt cos x slnx·e m cos lim x->0 2 2x 2e 例2设f(x)在(-∞,+)内连续,且f(x)>0 tf(t)dt 证明函数F(x)= 在(0,+∞)内为单调增 Jof(t)dt 加函数 证40()=y(x)ahO=f)
2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → x x e x x 2 sin lim 2 cos 0 − → = . 2 1 e = 例 2 设 f (x)在(−,+)内连续，且 f (x) 0. 证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0,+)内为单调增 加函数. 证 x tf t dt dx d 0 ( ) = xf (x) x f t dt dx d 0 ( ) = f (x)
F()sxf(x)f(tdt-f(xoy(tdt f(x(x-t)f(t)de (x)= f(t)dt f∫(x)>0,(x>0) f(t)dt>0 (x-t)f()>0,∴”(x-)f()d>0, F(x)>0(x>0) 故F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数
( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 − = x x f t dt f x x t f t dt F x f (x) 0, (x 0) ( ) 0, 0 x f t dt ( ) 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x (x − t) f (t) 0, ( ) ( ) 0, 0 − x x t f t dt F(x) 0 (x 0). 故F(x)在(0,+)内为单调增加函数
例3设f(x)在0,1上连续,且f(x)<1证明 2x-f(=10,1上只有一个解 证令F(x)=2x-f(M-1, f(x)<1,∴F(x)=2-∫(x)>0, F(x)在0,1上为单调增加函数 F(0)=-1<0, F(1)=1-(t=t-f()t>0 所以F(x)=0即原方程在0,1上只有一个解
例 3 设 f (x)在[0,1]上连续，且f (x) 1.证明 2 ( ) 1 0 x − f t dt = x 在[0,1]上只有一个解. 证 令 ( ) 2 ( ) 1, 0 = − − F x x f t dt x f (x) 1, F(x) = 2 − f (x) 0, F(x)在[0,1]上为单调增加函数. F(0) = −1 0, = − 1 0 F(1) 1 f (t)dt = − 1 0 [1 f (t)]dt 所以F(x) = 0即原方程在[0,1]上只有一个解. 0