以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题: (1)已知曲面作为点的轨迹时,求曲面方程 (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式,研究曲面形状 (讨论柱面、二次曲面)
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 这条定直线叫旋转 曲面的轴 播放‖
二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的轴． 播放
旋转过程中的特征: 如图设M(x,y,z), M1(0,y1,z1 M f(y,z)=0 (2)点M到轴的距离 x+y=yul 将乙=1,y1=士x2+y2代入 f(y1,z1)=0
x o z y f ( y,z) = 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 设 M(x, y,z), 1 (1) z = z （2）点M 到z 轴的距离 | | 1 2 2 d = x + y = y 旋转过程中的特征： 如图 将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = d
将z=x1,y1=土x2+y2代入f(y1,x1)=0 得方程∫(±√x2+y2,z)=0, y0z坐标面上的已知曲线∫(y,z)=0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程 同理:y0x坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ±√x2+z2)=0. 平面曲线绕某轴旋转,轴坐标变量不变 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根
将 代入 2 2 1 1 z = z , y = x + y ( , ) 0 f y1 z1 = ( , ) 0, 2 2 f x + y z = yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0绕z轴旋 转一周的旋转曲面方程. 得方程 同理： yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y,z) = 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 ( , ) 0. 2 2 f y x + z = 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变， 而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与 第三个变量的平方和的正负平方根
例5直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫圆锥面.两直线的交点叫圆锥面的 顶点,两直线的夹角a0<a<“叫圆锥面的半顶 角.试建立顶点在坐标原点,旋转轴为轴,半顶 角为a的圆锥面方程 解y0z面上直线方程为 M1(0,y1,z1) z=scot a 圆锥面方程 z=±√x2+y2cota M(x, y, z)
例 5 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周， 所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的 顶点，两直线的夹角 2 0 叫圆锥面的半顶 角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶 角为 的圆锥面方程． x o z y 解 yoz面上直线方程为 z = y cot (0, , ) 1 1 1 M y z M(x, y,z) 圆锥面方程 cot 2 2 z = x + y o x z y