二、典型例题 例1设f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100, 求∫(0 解f'(0)=lim f(x)-f(0) 0 x-0 Iim(x-1)(x-2)…(x-100) x→>0 =100 例2设 21,√1+x2+1 y=arctan I+x+=In 4√1+x2-1 求
二、典型例题 例1 (0). ( ) ( 1)( 2) ( 100), f f x x x x x 求 设 解 0 ( ) (0) (0) lim 0 x f x f f x lim( 1)( 2) ( 100) 0 x x x x 100! 例2 . , 1 1 1 1 ln 4 1 arctan 1 2 1 2 2 2 y x x y x 求 设
解设u=√1+x2,则y= arctan+hr L+1 十 n2(1+l 十 )4u+1a- 2x2-x l!2=(√1+x2)= 1+x 1 (2x+x3)1+x2 例3求下列函数的导数 ①y= arccos
解 1 , 2 设 u x , 1 1 ln 4 1 arctan 2 1 u u 则 y u ) 1 1 1 1 ( 4 1 2(1 ) 1 2 u u u y u 4 1 1 u , 2 1 2 4 x x ( 1 ) 2 u x x , 1 2 x x . (2 ) 1 1 3 2 x x x y x 例3 求下列函数的导数 ① x y 1 arccos
x|√x2-1 2 f(x)=maxx, x, 0<x<2 x0<x<1 f(x)={1x=1 x21<x<2 故当0<x<⑩∫(x)=1 当1<x<2时∫'(x)=2x
2 2 1 1 1 1 x x y 2 2 1 1 | | x x x | | 1 1 2 x x ② ( ) max{ , } ,0 2 2 f x x x x 1 2 1 1 0 1 ( ) 2 x x x x x f x 故 当0 x 1时 f (x) 1 当1 x 2时 f (x) 2x
∫"(1)=limf(x)-f(1)=Wx-、、 x-1 x→ f∫(1)=im f(x)-f(1) m ∫(1)≠∫(1)→f(1)不存在 10<x<1 →f(1)=不存在x=1 2x1<x<2 ③设 x= arctan 求 小y y-ty+e=5 dx 解 dt 1+t
1 ( ) (1) (1) lim 1 x f x f f x 1 1 lim 1 x x x 1 1 ( ) (1) (1) lim 1 x f x f f x 1 1 lim 2 1 x x x 2 (1) (1) f f f (1)不存在 2 1 2 1 1 0 1 (1) x x x x f 不存在 ③ dx dy y ty e x t 设 t 求 2 5 arctan 2 解 2 1 1 dt t dx
第二个方程两边对t求导得 42-2+e'=0 2 小y dt 2ty-2 Φt(1+t2)(e-y2) →dx 2ty-2 ④设(x)=(x201-1)g(x),其中g(x)在x=1处连续, 且g(1)=1求f'(1)
第二个方程两边对 t 求导得 2 2 0 2 t e dt dy y ty dt dy 2 2 2 ty e y dt dy t dt dx dt dy dx dy 2 2 (1 )( ) 2 2 ty t e y t ④ (1) 1 (1) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1 2001 g f f x x g x g x x 且 求 设 ，其中 在 处连续