406 高等数学重点难点100讲 第92讲正项级数审敛法 对于一个级数∑,=1+2+…+xn+……我们主要讨论两个问题 (1)∑an是否收敛?即其部分和S,=1+n2+…+,的极限lmS是否存在? (2)若∑收敛它的和S=? 显然,讨论同题(1)要比讨论问题(2)更为重要,因为若∑,发散,问题(2)就不存在; n=1 若∑an收敛,那么即使还不知道它的和我们也可以用它的部分和S,去逼近它.由于和S limS,,即S=Sn+rn(余项r,→0,当n→∞时),所以这种逼近可以达到任意高的精确 度 由于正项级数在整个级数理论中的重要地位,这一讲着重讨论正项级数敛散性的判定 方法 正项级数的判敛思路: 「积分判別法 limu 比值法 较法的 比较法的 敛散性定义 极限形式 般形式 收效准则 ≠0 1根值法 ∑u发散 p<I 收敛 存在lims ∑u发散∑u收敛 下面按此程序依次讨论 比值判别法,根值判别法、积分判別法 ∑an发散 比值判别法设∑u0>0,m“2=1P=1,方法失效 p<1.∑xn收敛 p>1,∑u,发散 根值判别法设∑(n>0),my.=1P=1,方法失效 ρ<1,∑un收敛 积分判别法.设∑an(an>0),若在[1,+∞)上有一个单调连续的减函数f(x),且 f(n)=则∑n与,f(x)dx具有相同的敛散性 这三个判别法的共同特点是:利用级数本身就可以判别其敛散性,不用另找比较级数 例1判别下列级数的敛散性:
第92讲正项级数审敛法 407 (1) ∑ (2) √2) ∑ n!()" (3) arctan (n2 (4)∑( n+1)(a>0); an (5) nInn (6) n(Inn) 解根据通项un选用判别法,当正项级数的一般项是一些因子的连乘积,当xn中含有 n!,n”或c(c为常数)因子时,用比值判别法比较简便,这是因为在么+中能使阶乘符号消 失;对于c",能使n次幂消失对于n,往往能利用极限式im(1+)”=e求极限,据此,(1), (2)应用比值判别法 (1)=limn2(n+1) 书)(m如方<由比判 法知:所给级数收敛 (n+1)!( (2)lim E llm (1+-) 因为数列(1+1)”}是单调增加趋向于e的,所以对任意的n均有:(1+1)<e,从 而 ,(1+2>1即对任意的n,有n>>…>1=可见lmn,≠0因此, 所给级数发散 当正项级数的一般项tn为n次方形式,或un是一些因子的乘积,其中含有c"(c为常数) 时,用根值判别法比较方便.据此,(3)、(4)可用根值判别法 (3)lim√un=lim (arctan) 2 In2 >1,由根值判别法知:所给级数发散 (4)lim√un=lim an n+1 a,当a<1时,所给级数收敛;当a>1时,所给级数发散 当a=1时,原级数通项un=( 1 (n→∞),故所给级数发散 (1+-)” nI 综上,当0<a<1时,级数收敛,当a≥1时,级数发散 若f(x)连续、非负单调减,则正项级数∑f(n)与无穷积分,f(x)dx同时收敛,或 同时发散.从而当相应的无穷积分f(x)dx的敛散性易于判断时,可以通过积分的方法 来判定级数∑f(n)的敛散性 (5)取∫(x) rlnr ,f(x)在(2,+∞)上是单调减少的正值连续函数 2 -dr= In(Inr)/+ac limIn(Inr)-Inln2= 此广义积分发散,故所给级数发散 (6)把通项x,=n(m)中的n换成x,考虑函数f(x)= (Inr)
408 高等效学重点难点100讲 当p=1时,由(5)知级数发散; dx e lit dInx li K-n (Inb)-p+l In2) (Inc) (Inx). p+1 p+1 十 当p<1时 (n2) -1 当p>1时 于是级数当P≤1时发散,当户>1时收敛 例2判定下列级数的敛散性 (1) (2) ∑ (3) (4) nan (5) 2n+1·(n+1)! )lim(n+1)”=lim lin 2n 2”·n! (n+1) +1 lim 2 <1 1+ 所以原级数收敛 +1)”+1(n!)2 1+ (2)lim - += li a[(n+1)!] 0<1, +1 所以原级数收敛 3)1my-ma2示=2>,所以原级数发散 (n 1)tan an+2 (4)lim u+l= lim li =)<1,所以原级数收敛 nan (5)va=2(37-15-4<1,(n→∞),所以原级数收敛 2 (6)lim =lim in:=I li 因lin In'n- lim 型)=li In →inn 中∞Inn 2l 型)=lim2 0,所以im√an=0<1,故原级数收敛 注意比值法与根植法的条件是充分但非必要的由∑u,(n>0)收敛 u=9 <1,也地im√x,=p<1 二、比较判别法 若0≤v,≤v,则若∑v收敛,必有∑u收敛;若∑v发散,必有∑发散 比较法的极限形式:设∑及∑v均为正项级数且im数=A
第92讲正项级数审敛法 409 (1)若0<A<+∞(即A为一正常数),则∑n与∑v同时收敛或同时发散 2)若A=0,且∑v收敛则∑u收敛; (3)若A=+∞,且∑v发散则∑u发散 使用比较审敛法时,常选用的参照级数有 (i)几何级数 2m=1=,H1<1 发散,|r|≥1 (i)p一级数∑ 1/收敛,当p>1时; n21发散,当p≤1时. 由比较判别法可推出如下常用的简易判别法: (1)若分母关于n的最高次数q比分子关于n的最高次数p大1(即q-p>1)时,级 数∑u(un>0)收敛,当q-p≤1时级数∑u,发散 (2)若当n→∞时,u,~v,(即un,是同阶无穷小),则∑an与∑v具有相同的敛散性 例3判别下列级数的收敛性: (1)∑,1;(2)S3(3)∑ (4)>sin; n(n+1) arctan (5)∑√n1n(1+,); (6) (7)∑ (7 (n+1)"1 (8) cOS x)"(p 解(1)因ln(n+1)<n、所n(n+1)n 1而、发散,故∑ln(n+1发散 (2)因sinx<,而∑收敛故∑sn收敛 (3)由于lim=1,im√an=1,此时比值及根值审敛法均失效.可转而考虑比较判 别法. 因为a,=√m(n2+≤n ≤1=b,而∑b收敛,所以∑ 收敛 n(n2+1) (4)虽然显见sin1<1,但由∑发散,却不能判定级数∑sn的敛散性转而由 重要极限lim SInT x=1知lm 10=1,由比较法的极限形式及》 发散知,Sin上发散 (5)解法1因为当x>0时,有1n(1+x)<x,所以√nln(1+1)<Xn=1, 从而由∑收敛可知∑√nm(+1收敛 解法2易见当n→∞时,m(1+1)~,从而√nn(1+)~1.已知>↓收 敛由比较审敛法的等价无穷小形式知,√nln(1+1)收敛
410 高等数学重点难点100讲 arctan (6)当n→∞时,易见 1)+1 =,由比较审敛法的等价无穷小 arctan 形式知, 4√n(n2-1)+1 收敛 (7)分母、分子关于n的最高次数分别为n+1,n-1,其差为2,所以所给级数收敛.事 实上,由比较法的极限形式得: m-oo (n +1)*=lim (1+-)+ (8)因为当x→0时,1-c08x~2·所以当n→+∞时,(1-con)~(2川7xy 2‘m,易见级数>(1-cos)当p>2时收敛;当0<P≤方时发散 下面将使用比较判别法,选取参照级数的一般方法归纳如下: 1.通项放缩法 例4讨论 1!+2!+…+n! (n+3)! 的敛散性 解通项u=1+2…,2<型+m+型=m2 (n+1)(n+2)(n+3)(n+2)(n+3)S√3 由∑,收敛知原级数收敛 例5判断级数习amy(p>0)的敛散性 解由罗比塔法则易证:对任意的正数a,,恒有ln(nx)=0.所以,不论a为怎样 大的正数,B为怎样小的正数,只要它们是固定的常数,则从某一个n开始总有:(nn)<n2, 特别地有:(lnn)<n,或 (Inn)' 由 发散知 4(Inn 发散 同理可证,对任意正数aP恒有limh=0(a>1) 2.对通项恒等变形,寻找参照级数 例6讨论∑n的敛散性(其中,x为参数) 解注意到x的变化范围为(0,+∞),通项,=n=(n-)=.当l2 1即0<x<1时,原级数收敛;当1n1≤1即x≥1时,原级数发散 3.取绝对值法 例7研究级数∑2i的绝对收敛性