第83讲重积分的计算法(3) 351 第83讲重积分的计算法(3) 、重积分换元法的一殷情形 为了提高计算效率就必须使计算得以简化而化简计算的最重要的方法就是变量替 换.变量替换法在高等数学中应用十分广泛,几乎每章都有应用,下面讨论重积分的一般换 元公式 令x=x(u,v),y=y(u,U),雅可比行列式 a(r, y) au a a(u ≠0 且把xOy平面上的有限闭区域D一一映射成tOv平面上的区域D,则: I/(r, y)drdy=lfCr(,D,y(u,vJIJIdudv 特别,当x=7os,y=7i0时,则Jr,)= cose riNd r,于是由 sing coso 般公式得将直角坐标化为极坐标的二重积分的换元公式 (r, y)dxdy=f(rcose rsin@)rdrde. 例1求I=ab x-若ddy,D:+≤ 解采用广义极坐标,令x= arcos0,y= brsin,则 acos =ab,D':0≤r≤1,0≤6≤2r, sing brose I=[ab√- redd D ab d8 2 丌ab. 例2计算I=‖(x+y)dxdy,D由x2+y2=x+y成 解D:(x-2)2+(y-1 )2≤(-)2,见图83-1 2= rose, +rcos日, 令 即 雅可比行列式 2=sine rsIn ..I=de.(+rcos8+9+ sine)rdr 图83-1
352 高等数学重点难点100讲 deG +b(cos0+ sing) 2+s(cos+ sing) 0 2 例3计算由直线y=ax,y=bx,x+y=c,x+y=d(0<a<b,0<c<d所 围区域的面积S. 解见图83-2,若用直角坐标求解由于A与B点横坐标的大小难确定,故极繁 令 即 I+ y 1+ arar au av (1+a)21+ +)21+ 图83-2 (1+a)(1+u)3(1+a)2 c≤v≤d,a≤u≤b为一矩形 s=|dzdy=‖ IJ dudu=Jwe +u) d (d2-c2)(b-a) +b=2(1+a)(1+b) 例4求I D由x=0,y=0及 =2围成 解令 x,则 故D由 2图成 做变换 将xOy面上的直线x=0,y=0及x+y=2变成aO面 上的直线v=,v=-u及v=2,将xOy面上的域D变成uOv面上的域D y=0 I 图83-3 a aU
第83讲重积分的计算法(3) 353 udv esdu 例5计算I= drdy(m>0) +y2) x2+y2 解这是一个广义二重积分,坐标原点(0,0)是被积函数f(x,y) (x2+y)的无穷 问断点 首先任取E:0<e<1在圆环域∈2≤x2+y2≤12上进行(普通)二重积分 I(E) ∫c*y=,二=2,=2n 然后,令E→0+,得 lim 2 0<m<1 2n r={lim2an|!=+∞, lim 2T 2m 与二重积分类似,三重积分也有如下的一般换元公式: 令 r(u y(a,v,v),z=x(u,v,w),则川f(x,y,z) dxd yde= f[x(a,U,),y(a,,),z(a,v,v)]·| J duded.或中为Ovz空间的区域,经过变 换x=x(,U,v)y=y(a,u,x),z=z(u,v,w)一一映成Oxyx空间的区域a, arar a(,y, 2) a(u aU ae az 利用柱坐标计算三重积分的变换公式为: x=rcos,y=rsin,z=x,雅可比行列式J=(x,y,z) a(r,0,z) 利用球坐标计算三重积分的变换公式为:x= rsingcos6,y= rsingsin0,z= rose.雅可 比行列式为J=0(x,y,z)=r2sing a(r,y,6) 广义球坐标变换为:x= arcos6sing,y= brsinBsino,z= croos雅可比行列式为 ar ar ar ar ap ao acos0sin arcos8cos -arsinOsin dy ay dy ar ap a0 bsinesin brained 女a女 ccosφ casing ar ap a9 例6求(++2) drdy,为椭球体:+2+5≤1
354 高等数学重点难点100讲 解由曲面方程可见,用广义球坐标方便, 原式= abc lr2.r2· sinddrdoo0,my10≤6≤2x,0≤甲≤丌,0≤r≤1 原式=ab. do singal,/dr=5b 例7计算由平面a1x+by+c1z=±h1,a2x+b2y+c2z=士h2,a3x+b3y+cz=士 h所围成的平行六面体的体积V,其中 b1 b2c2|≠0 h1,h2;h3>0 +6,y+ 解为求体积v,引入变量代换{v=a:x+by+c2z, 十b3y+c3z 在此变换下,Oxyz空间的区域变为O空间的区域:-h1≤u≤h1,-h2≤v ≤h2,-h3≤w≤h3,又雅可比行列式的绝对值 a(T,y, 2) a(u, U, w a(u, U,w) a(r, y, 2) 于是Y-]a减:=w小门=合 、利用重积分解决定积分的有关问题 在计算重积分时,我们通常的处理方法是把重积分化成定积分,然后从里层到外层依次 实行定积分计算;反过来,利用重积分也可以解决定积分问题. 例8求广义积分I= 解被积函数e-的原函数是不能用初等函数形式给出的,而利用二重积分此问题很 易得到解决因为积分与积分变量记法无关可将原积分中的换为y得=,"dy d e(-ra-,drdy= del e- rar E 例9(1)设f(x)在[a,b]上连续,且f(x)>0,试证明: ∫/(a)dx:rxd≥ (2)设f(x)在[0,1]上连续,试证edx·edy≥1. 证(1)设D:a≤x≤b,a≤y≤b 由于|f(x)dx f(r)dr fc
第83讲重积分的计算法(3) 355 SA(dr. 5 f(xdx=f(y)dy·」.j)≈ fray, 所以减订+倍 尸(x)+f(y)dxdy≥2(x)d=(b-a) 1丌T2f(x)f(y) (r)f(y) 2)略(证明类似于(1),由读者完成) 应用例9的证明方法,可以证明著名的 Cauchy- Schwarz不等式和 Tchebycheff不等 式 例10设f(x)与g(x)都是[a,b上的连续函数,试证 Cauchy- Schwarz不等式 f(x)g(x)dx≤|f(x)dx·g2(x)dx 证考察积分B=「[f(x)g(y)-f(y)g(x)]dxdy,其中D;a≤x≤b,a≤y≤b B=[R(x)g2(y)-2f(r)g(z).f()g(y)+f2(y)g2(x)]drdy I f(r)dx.g(y)dy-2 f(r)g(r)dr. f(y)g(y)dy+f(y)dy. g(r)dr, 由积分与积分变量记法的无关性知 Ig(r)dx f(r)g(r)dr 注意到B≥0,于是有f(x)(x)dx≤f(x)dx·g(x)dx 例11利用上题证明: (1) rindr :(2) f(r)sinkrdr)+l f(r)coskrd c sb- a,其中f(x)在a,b]上连续,且f(x)dx=1. 证(1)2√ rsinrdx≤|2xd sindi (2)由 f(r)sinkrdx 户(x)dx·sin3krdx, fCr)coskrdx f2(x)dx·cos2krdx 上两式相加并注意到sin2kx+ cos'kx=1,便得证 例12(1)证明 Tchebycheff不等式 P(r)f(rdr.P(r)g(r)dr< P(r)dx p(r)g(r)f(r)dr. 其中p(x)是[a,6]上的正的连续函数,f(x)与g(x)是[ab]上的单调增加函数 (2)设f(x)在[0,1]上单调减少且连续,f(x)>0,试证 rf(r)dxf(r)dr ≤ r(r)dr f(r)dx