第87讲曲面积分计算法(1) 377 第87讲曲面积分计算法(1) 、对面积的曲面积分的计算法 1.公式及基本计算方法 若曲面∑由方程z=x(x,y)给出,Σ在xOy面上的投影区域为D,x,(x,y),xz,x,y) 在D,上连续,则函数f(x,y,z)在曲面Σ上对面积的曲面积分可化为二元函数f(x,y, z(x,y)在平面区域D上的二重积分 f(x,y,x)ds=‖x,y,x(x,y)√1+ x·y 若曲面Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)给出时,可类似 地把曲面积分化为Dx或Dx上的二重积分 ∑ f(r,y,2)ds=lf[(y,x),y, 2]v1+xy+rid 或‖f(x,y,z)dS f[: √1+y+ydx 图87-1 例1计算‖(2xy-2x2-x+z)dS,其中Σ为平面2x+2y+x=6在第一卦限中 的部分 解曲面Σ的方程为x=6-2(x+y),它在xy面上的投影区域D,为0≤x≤3 0≤y≤3 又z'x=-2 2, ds dxd 故 Te 2x2-x+e)ds 6-2(x+y)]·3dxd 2r 例2计算(xy+y=+x).其中习为锥面:=+y被柱面x+y=20x 所截得的有限部分 解曲面∑为锥面z=√x2+y2上介于柱面内的部分,故∑的方程为x=√x+y 它在xOy面上的投影区域为x2+y2≤2ax,即圆域(x-a)2+y≤a2 ds 1+22+:lardy drd 又曲面Σ关于zOx面对称,被积函数中xy和y关于y均为奇函数,故有 ryds ds= o
378 高等数学重点难点100讲 于是 (xy+yz+z)ds=zds=‖x√r+y2√2dxdy, acos 64 rcosddr 15 例3计算中(x2+y)dS,其中E是锥面x=√x+y及平面x=1所图成区域的 整个边界曲面. 解曲面Σ由锥面∑1和平面∑2组成其中,Σ的方程为z=√x2+y2(0≤z≤1), 在aOy面上的投影区域为Dn:x2+y≤1dS=√1++dy=√ 2dxdy ∑2的方程为z=1,它在xOy面上的投影域仍为D,:x2+y2≤1;ds= √1+z2+ giddy=drdy,于是 (r2+y)dS=(x2+y2)dS+(r2+y)ds +y2)√2dxdy+‖(x2+y2)drdy =|do√2r2dr+| de[rdr=(√2+1)x 例4计算≠+y4S,其中Σ是柱面x+y2=1介于平面x=0及=2之间的 部分 解曲面x的方程为x=√1-y2,由两块曲面:x=1-y(≤x≤2)和 ∑2x=-√1-y2(0≤x≤2)组成,它们的投影区域都是Dm:-1≤y≤1,0≤x≤2 又x:x,=-=y,x,=0,dS=√1+x+xdyd= d yd √T 又S2 x=0,ds +r3+ridda= d ydz 所以,原式= ds+ ds 「a-+ dydz+a-y)+yV1 2∫dy dz= arcsin =4. ds 例5计算 +y+,∑:平面x=0及x=1之间的圆柱面x2+y2=1(图87-2) ds 解将」x+y+ 化为对x,z的二重积分计算,这时需要根据∑的方程x2+ 1将y表示成x、z的单值函数,但由x2+y2=1解得y=±1-x是多值函数为此将 z分成∑z和∑两块.∑:y1=-√1-x2,:y:=√ 0
第87讲曲面积分计算法(1) 379 ax=0.E左及右在xOz面上的投影区域均为图873所示的区域Dn又 ay a x2+y2=1可代入被积函数中化简.从而 ds ds ds ds !x2+y+2-1+z2=出1+ 1+ 1+2√1+()+( dzdz =√1+(+( dxdz (1+z2)√1 图87-2 图87-3 drda 由于积分域Dx及被积函数 的对称性,所以 (1+z2)√1-x 6,(1+x3)√ a+4=学其中为D,位于:轴有边的区域 ds raa 因此 1+ 注意本题也可以化为Dx上的二重积分计算,但不能化为D2上的二重积分,这是因 为这时不能从Σ的方程x2+y2=1表现出x=x(x,y),也就无法求出原积分的值.应注意 的是如果认为S在xOy面上的投影为圆周,面积为零,由此就说原积分的值为零,这个结 论是错误的 小结对面积的曲面积分f(x,y,2)dS的计算方法是化为二重积分计算,化为二重积 分的方法步骤是: (1)确定二重积分的积分域,它是积分曲面∑在坐标面上的投影区域,这个投影区域是 由Σ的方程或给出的形式(显式)来确定的,若Σ以显式方程给出,则当显式方程为x=:(x, y)时,一般取投影区域D,;当显式方程为x=x(y,z)时,一般取投影区域Dx,当显式方程 为y=y(x,z)时,一般取投影区域D灬若Σ以隐式方程F(x,y,z)=0给出,则应根据该 方程来确定投影区域.当确定一个投影区域时,必须能表示成相应的二元函数(如取投影 区域D灬,Σ必须能表成y=y(x,z),并且要考虑便于二重积分的计算 (2)由Σ的方程(如果是隐式方程)解出定义在(1)中确定的投影区域上的单值函数,若 不是单值,则应将Σ分成几块,使在每一块上是单值的
380 高等数学重点难点100讲 (3)‖f(x,y,z)dS中的变量x,y,z之一用(2)中确定的单值函数代人;dS用曲面z的 面积元素的表达式代人;积分曲面Σ换成相应的投影区域D 2.应用 (1)求质量.当f(x,y,x)>0时,曲面积分f(x,y,x)dS可以看成是以∫(x,y,x)为 面密度的曲面构件的质量. 例6求抛物面壳x=2(x2+y2)(0x≤1)的质量,此壳的面密度的大小为P=x 解曲面方程x=1(x2+y)(0≤x≤1)在xOy面上的投影D,为x2+y≤2 又 dy y,dS=√1+x2+y2drdy 于是 =p(r, y, 2)ds=zdS (x2+y2)√1+x2+y2drd 1n2,√1 r-u de 23(1+a)/22 、5(1+4)dn=(6√3+1) (2)求面积设:z=f(x,y)(与平行z轴的直线只交于一点)在xOy平面上的投影域 为D则的面积A=Js=[√1++dy的其他形式有类似的公式 例7求曲面x2+y z2和y+z=2所围成的立体的表面积 解记∑为立体的表面从x2+y2=1x2和y+x=2中消去,?×(y+1)2 1,故Σ在xOy平面的投影区域为D:x+(+1)2 21.由工,S2两部分组成,其中, x1:=√3√x+y2,(x,y)∈D;S:x=2-y,(x,y)∈D,所求表面积 ds ds+ds x2+y2 2 drdy +v2 drdy=(2+2) ] drdy (2+√2)r·√3·√2=2√3(1+√2)π 二、对坐标的曲面积分的计算法 1.对坐标的曲面积分解法有三种,先讨论其中的两种,第三种第88讲讨论 (1)通过投影化为二重积分
第87讲曲面积分计算法(1) 381 在计算对坐标的曲面积分P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dadx+R(x,y,z)drdy时,三 个积分要分别计算,在计算」Ra,y,)xdy时,要把x表示成x=2(x,y单值函数,x在 xOy面上的投影为D灬当曲面2的指向与z轴正向的夹角小于2(即的法向量n与z轴 的夹角(n)为锐角)时,称为上侧,此时,R(x,y,x)drdy、化为二重积分 RL,y, z( y) Jd.rdy;当曲面2的指向与z轴正向的夹角大于(即Σ的法向量n与z轴正向的夹角 (m,)为钝角)时,称为下侧,此时,「k(x,yx)dy为三重积生一[x y)ddy同理,在计算|P(x,y,z)dydz或|Q(x,y,z)dadx时,要分别表示为x=x(y, z)或y=y(x,x),并分别向yOz或zOx平面投影,Σ的指向与x轴或y轴正向夹角小于 s(即x的法向量n与x轴或y轴的夹角(n,)或,了)为锐角)时,称为前侧或右侧,此时化 为二重积分时取正号;的指向与x轴或y轴正向夹角大于时,称为后侧或左侧,此时化 为二重积分时取负号. dydz=±‖P[x(y,x),y,x]d )dzdx =+Q[r,y(r, z),z]dzd 例8计算dxdy,其中Σ是球面x2+y2+x2=R2下半部分的下侧 解曲面Σ的方程为x=-√R-x2-y2,它在xOy面上的投影区域为D:x2+y ≤R2,又∑取下侧故化成的二重积分前应取负号,于是 Medrdy=-IVR-r-yDdrdy=de YR-rrdr (R2-r2)2) 2mR3, 例9计算- yeddo+ydyd其中是柱面r+x2 a2在x≥0,y≥0两卦限内被平面y=0及y=h所截得部分的 外侧 解先计算积分 ryzdxdy.如图874可看作由和习 组成,1为x=√a-x2的上侧,x2为x=-√a-x的下侧, 图87-4 它们在xOy面上的投影区域都是矩形D,:0≤x≤a,0≤y≤h,注意到符号,有