次坐称的般衣小形式为×,hY 当h=1时,二维坐标点的齐次坐标为 [x,y,1:当h=2时,二维坐标点的齐次坐 标为[2x,2y2]。例如,[2,3,1]、[2,6, 2]、[6,9,3]都表示二维空间的点[2,3] 所以,只有当h=1时,二维点的齐次坐标 中的x、y数值才与二维坐标中点的位置矢 量的X、y值相等。 若已知一个其次坐标形式为[hXhY,h],则 位置矢量 X=hX/h,y=hy/h
◼ 二维齐次坐标的一般表示形式为[hX,hY,h]。 当 h=1 时，二 维坐标点 的齐次 坐标 为 [x,y,1]；当h=2时，二维坐标点的齐次坐 标为[2x,2y,2]。例如，[2，3，1]、[2，6， 2]、[6，9，3]都表示二维空间的点[2，3]。 所以，只有当h=1时，二维点的齐次坐标 中的x、y数值才与二维坐标中点的位置矢 量的x、y值相等。 ◼ 若已知一个其次坐标形式为[hX,hY,h]，则 位置矢量 ◼ x=hX/h, y=hY/h
2 示变换矩阵 若令变换矩阵 a b T= c d g m s 则,点P经矩阵T作用后得到 p X Y H=X y 11 =lax+cy+l bx+dy+m px+ay+s 从而可以求出变换后点P的二维直角坐标为: X'=X/H=( ax+cy+l)/( px+ay+s) y=Y/H=(bX+dy+m)/( px+gy+s) 上述过程,称为齐次坐标的正常化
◼ 我们可以用齐次坐标表示法P=[x,y,1]来代表二 维平面内的一个点，用3X3矩阵表示变换矩阵。 若令变换矩阵 a b p ◼ T= c d q ◼ l m s ◼ 则，点P经矩阵T作用后得到 ◼ [X Y H]=[x y 1] ◼ =[ax+cy+l bx+dy+m px+qy+s] ◼ 从而可以求出变换后点P’的二维直角坐标为： ◼ x’=X/H = ( ax+cy+l)/( px+qy+s) ◼ y’=Y/H= (bx+dy+m)/( px+qy+s) ◼ 上述过程，称为齐次坐标的正常化。 a b p c d q l m s
换 1.平移变换 在变换矩阵中,取|T,m=T,|和m分别表 示点P(x,y)沿X,Y方向的平移量。则平移变换可 以表示为:P=PT,其中平移矩阵 T=(100 010 TT 1 x y (式8-2-5) 100 Ep P=PT=Ix y 1] 0=[X+Tx y+Tv 1 因齐次坐标中的h=1,规范化后得到
8.2.2 基本的二维图形几何变 换 ◼ 1．平移变换 ◼ 在变换矩阵中，取l=Tx，m=Ty，l和m分别表 示点P(x,y)沿X,Y方向的平移量。则平移变换可 以表示为：P’=P.T，其中平移矩阵 ◼ T= 1 0 0 ◼ 0 1 0 ◼ Tx Ty 1 （式8-2-5） ◼ 1 0 0 ◼ 即 P’=P.T=[x y 1] 0 1 0 =[x + Tx y + Ty 1] ◼ Tx Ty 1 ◼ 因齐次坐标中的 h=1，规范化后得到 ◼
y=y+ Ty 与式8-2-2致。说明可以采用上述平移矩阵来对平面图形进 行平移变换。对于一个平面点集矩阵M,如式8-2-1所示,可 以通过矩阵运算来得到变换后所有顶点的新位置坐标M MEM.T= XI+ Tx yI TyI xI yI I y2 100 +T+T1 Tx Ty I y Tx yn ly 如果点P(xy)经T1变换后平移了(TX1,Ty1),然后再经T2 变换后又平移了(Tx2,T2),那么将产生什么结果呢?从 直观上,应该是平移了(Tx1+Tx2,T1+Ty2),那么用齐 次坐标表示应如何描述呢?首先令 P=P●T1 P3=P·T2=P·T1·T2
◼ x’=x + Tx ◼ y’= y + Ty ◼ 与式8-2-2一致。说明可以采用上述平移矩阵来对平面图形进 行平移变换。对于一个平面点集矩阵M，如式8-2-1所示，可 以通过矩阵运算来得到变换后所有顶点的新位置坐标M’ 。 ◼ ◼ M’=M.T= = = ◼ ◼ 如果点P(x,y)经T1变换后平移了（Tx1，Ty1），然后再经T2 变换后又平移了（Tx2，Ty2），那么将产生什么结果呢？从 直观上，应该是平移了（Tx1+ Tx2，Ty1+ Ty2），那么用齐 次坐标表示应如何描述呢？首先令 ◼ P’=P• T1 ◼ P’’=P’• T2=P• T1• T2 x1 y1 1 x2 y2 1 . . . . . . . . . xn yn 1 1 0 0 0 1 0 Tx Ty 1 x1 + Tx y1 + Ty 1 x2 + Tx y2 + Ty 1 . . . . . . . . . xn + Tx yn + Ty 1 x1 ’ y1 ’ 1 x2 ’ y2 ’ 1 . . . . . . . . . xn ’ yn ’ 1
10 T1=010 T1=0 x21y2 而 T·T2=0 T xI lyl x y2 Tx1+ Ta T 1+t 这确实说明了实际的平移量是(Tx1+T T1+T。),也就是说,连续的平移变换 是平移量相加。在齐次坐标表示中,可 用矩阵相乘来描述
◼ 其中， ◼ ◼ ◼ 这确实说明了实际的平移量是（Tx1 + Tx2， Ty1 + Ty2），也就是说，连续的平移变换 是平移量相加。在齐次坐标表示中，可 用矩阵相乘来描述