这一问题是统计物理中的典型问题之一。 例1.10求某班的40位同学中至少有两位同学生日相同的概率 解:利用例1.9第二问的答案,可很容易地得出本题的答案:令N=365,n=40,则有: P=1-365!/(36540·(365-40)!) 1-0.109=0.891 从直观上看,每年有365天,班上只有40位同学,似乎有两位同学生日相同的概率并 不大。但严格的计算显示这一概率接近0.9,因此我们不能太相信自己的直觉。 例1.11:袋中有a只白球,b只黑球,不放回抽样,求第K次恰好抽到一只黑球的概率 (1≤K≤a+b)。 解法1:把所有的球编号,若把摸出的球排成一直线,可能的排法为(a+b)!。有利场合: 第K个位置必须放黑球,共有b种方法:剩下的(a+b-1)个位置有(a+b-1)!个放 法,∴共为:b·(a+b-1)! 即P=a+b-1)=b (a+b)! a+b 解法2:黑球之间和白球之间不加区别,仍把它们都摸出来排成一条线。黑球有Cb种放法。 黑球放好后,白球只有一种放法,样本点有Cbb个。有利场合:C如b1,这是因为第 K个位置必须放黑球,剩下a+b-1个位置,放b-1个黑球 b b a+ b 解法3:取K个球排成一行,排法有:C·K! 有利场合:Cb·Cb1(K-1),因此有: Cb…·C4b-1·(K-1) (a+b-1) (k-1)! (K-1)(a+b-K) (a+b) K K!(a+b-K)! 注意这里设想问题的顺序。在本题中是先取一个黑球,再随便取剩下的球。如果先取剩 下的球,最后取黑球则不行,因为这时剩下什么球是不确定的 从本题中可看出如下几点 (1)概率P与K无关,这正说明抽签对所有参加者都是公平的,与先后次序无关 (2)同一问题可选用不同的模型来解决。这里主要是样本空间的选取不同,只要方法正确 结果是相同的,但要注意计算总样本点和有利场合时一定要用同一个模型,否则必然出错。 二、几何概型
这一问题是统计物理中的典型问题之一。 例 1.10 求某班的 40 位同学中至少有两位同学生日相同的概率。 解：利用例 1.9 第二问的答案，可很容易地得出本题的答案：令 N=365，n=40，则有： P=1－365！/（36540·（365－40）！） 1－0.109 = 0.891 从直观上看，每年有 365 天，班上只有 40 位同学，似乎有两位同学生日相同的概率并 不大。但严格的计算显示这一概率接近 0.9，因此我们不能太相信自己的直觉。 例 1.11：袋中有 a 只白球，b 只黑球，不放回抽样，求第 K 次恰好抽到一只黑球的概率 （1≤K≤a+b）。 解法 1：把所有的球编号，若把摸出的球排成一直线，可能的排法为（a+b）！。有利场合： 第 K 个位置必须放黑球，共有 b 种方法；剩下的（a+b－1）个位置有（a+b－1）！个放 法，∴共为：b·(a+b－1)！ 即 a b b a b b a b P + = + + − = ( )! ( 1)! 解法 2：黑球之间和白球之间不加区别，仍把它们都摸出来排成一条线。黑球有 b Ca+b 种放法。 黑球放好后，白球只有一种放法，∴样本点有 b Ca+b 个。有利场合： 1 1 − + − b Ca b ，这是因为第 K 个位置必须放黑球，剩下 a+b－1 个位置，放 b－1 个黑球。 ∴ a b b C C P b a b b a b + = = + − + − 1 1 解法 3：取 K 个球排成一行，排法有： C K! K a b + 有利场合： ( 1)! 1 1 1 − − C C + − K K b a b ，因此有： a b b K K a b K a b K K a b K a b b C K C C K P K a b K b a b + = + − + − − + − + − = − = + − + − ! !( )! ( )! ( 1)! ( 1)!( )! ( 1) ! ( 1)! 1 1 1 注意这里设想问题的顺序。在本题中是先取一个黑球，再随便取剩下的球。如果先取剩 下的球，最后取黑球则不行，因为这时剩下什么球是不确定的。 从本题中可看出如下几点： （1）概率 P 与 K 无关，这正说明抽签对所有参加者都是公平的，与先后次序无关。 （2）同一问题可选用不同的模型来解决。这里主要是样本空间的选取不同，只要方法正确， 结果是相同的，但要注意计算总样本点和有利场合时一定要用同一个模型，否则必然出错。 二、几何概型
古典概型概念虽然比较简单直观,但它成功地解决了一类问题的计算方法,这些问题在 今天的现实生活中也还常常能碰到。古典概型计算的基础是某种事先确定的,公认的等可能 性,而它最大的限制就是只能有有限个样本点。因此,历史上有不少人企图通过把类似的方 法推广到有无限多结果,但又能定义某种等可能性的场合,这样就产生了几何概型。称它为 几何概型,是因为此时样本点数常常是不可列的,因此无法用样本点数目之比来定义概率, 而是根据问题维数的不同,改用长度、面积、或体积之比来定义概率,采用几何方法来进行 计算。这种方法在今天也还有一定使用价值。 例1.12两人约定于7点到8点在某地会面,求一人等半小时以上的概率 解:如图:x代表甲到的时间,y为乙到的时间,则对 角线上的点代表两人同时到达。而图中左上与右下两个 三角形部分的点代表有一人需等待半小时以上,它们的 面积和为总面积的一,故P 在本题中,以两个座标轴分别代表甲乙二人到达的时 间,这样每一个可能发生的事件(甲乙二人分别在某 时刻到达)就变成了二维平面上的一个点。由于在指定 时间段内到达的可能性相同,我们就可以用代表有利场 合的面积与整个指定区间面积之比来代表所求的概率。类似方法常可用于解决各种相遇问 例1.13蒲丰( Buffon)投针问题 平面上画有一些平行线,线间距离均为a。向此平面随意投掷一枚长为L(L<a)的针, 试求此针与任一平行线相交的概率 解:以x表示针的中点到最近的一条平行线的距离,q表示针与平行线的交角,则针与平行 线的位置关系可表示如图1.1(a) L/2 sino 图1.1(a) 图1.1(b) 由题意,有:0≤x≤,0≤≤丌,因此样本空间可取为图1.1(b)中的长方形Ω2。若 要针与平行线相交,则应有:x≤Sn,因此有利场合为图1.1(b)中的曲线下部分。 其面积为: L (一cosx+cos)=L 因此所求的概率为:P= ar/2)/ar 由于上述概率与π有关,曾有人利用它来计算π的数值。即多次投针后,用针与线相交的 频率nN作为概率P的估计值,代入上式解得值:LN。下表为有关的历史资料
古典概型概念虽然比较简单直观，但它成功地解决了一类问题的计算方法，这些问题在 今天的现实生活中也还常常能碰到。古典概型计算的基础是某种事先确定的，公认的等可能 性，而它最大的限制就是只能有有限个样本点。因此，历史上有不少人企图通过把类似的方 法推广到有无限多结果，但又能定义某种等可能性的场合，这样就产生了几何概型。称它为 几何概型，是因为此时样本点数常常是不可列的，因此无法用样本点数目之比来定义概率， 而是根据问题维数的不同，改用长度、面积、或体积之比来定义概率，采用几何方法来进行 计算。这种方法在今天也还有一定使用价值。 例 1.12 两人约定于 7 点到 8 点在某地会面，求一人等半小时以上的概率。 解： 如图：x 代表甲到的时间，y 为乙到的时间，则对 角线上的点代表两人同时到达。而图中左上与右下两个 三角形部分的点代表有一人需等待半小时以上，它们的 面积和为总面积的 4 1 ，故 4 1 P = 在本题中，以两个座标轴分别代表甲乙二人到达的时 间，这样每一个可能发生的事件（甲乙二人分别在某一 时刻到达）就变成了二维平面上的一个点。由于在指定 时间段内到达的可能性相同，我们就可以用代表有利场 合的面积与整个指定区间面积之比来代表所求的概率。类似方法常可用于解决各种相遇问 题。 例 1.13 蒲丰（Buffon）投针问题 平面上画有一些平行线，线间距离均为 a。向此平面随意投掷一枚长为 L（L<a）的针， 试求此针与任一平行线相交的概率。 解：以 x 表示针的中点到最近的一条平行线的距离，表示针与平行线的交角，则针与平行 线的位置关系可表示如图 1.1(a)： x 图 1.1 (a) 图 1.1(b) 由题意，有： 2 0 a x ， 0 ，因此样本空间可取为图 1.1（b）中的长方形。若 要针与平行线相交，则应有： sin 2 L x ，因此有利场合为图 1.1（b）中的曲线下部分。 其面积为： = − + = 0 ( cos cos 0) 2 sin 2 L L d L 因此所求的概率为： ( ) a L a P L 2 / 2 = = 由于上述概率与有关，曾有人利用它来计算的数值。即多次投针后，用针与线相交的 频率 n/N 作为概率 P 的估计值，代入上式解得值： an 2LN = 。下表为有关的历史资料： y 8 7.5 x 7 7.5 8 X a/2 Ω L/2 sin 0 π