1.2古典概型与几何概型 古典概型中常用计数一分组方式数 ·将n个不同元素分成有序号的k组,要求第i组恰好有n;个元素 (=1,2,,k),分组结果中同组的元素不考虑次序。则这样分组的 所有不同分法个数为 当随机分组时,这些分法是等可能的。 ·随机分组的方法是n个元素随机排列(m!种排法),然后前n1个不计 次序地归入i=1组,后续n2个不计次序地归入i=2组,以此类推 例10个学生分成A,B,C三个组,分别有3、3、4人,组内不计次 分组方式个数为 3!34!(3,3,4 古典概型中常用计数—可重复分组数 从n个不同的球中有放回地每次抽取一个,共抽取m次,结果不计 次序 共有Cm+m-1种不同的组合 参考:何书元《概率论》§1.2。 用0和1组成的序列表示一个结果 用n-1个1分隔出n个组,1表示组边界。这n个组是结果排序后 球号1,2,,n的组 每组内有若干个0表示该组个数,如果出现11则该组没有球,把m 个0分配到各个组中 这样,用长度为n+m-1的0-1向量表示一个结果,结果个数为 Cn+m-1(从n+m-1个二进制位中选择1的位置,即边界的位置)。 可重复分组数在随机分组时一般不是等可能的。 例如,从红、白两个球中有放回地抽取2次,计数这2次红球、白球 个数
1.2 古典概型与几何概型 11 古典概型中常用计数—分组方式数 • 将 n 个不同元素分成有序号的 k 组，要求第 i 组恰好有 ni 个元素 (i = 1, 2, . . . , k)，分组结果中同组的元素不考虑次序。则这样分组的 所有不同分法个数为 ( n n1, n2, . . . , nk ) = n! n1!n2! . . . nk! . • 当随机分组时，这些分法是等可能的。 • 随机分组的方法是 n 个元素随机排列 (n! 种排法)，然后前 n1 个不计 次序地归入 i = 1 组，后续 n2 个不计次序地归入 i = 2 组，以此类推。 • 例 10 个学生分成 A, B, C 三个组，分别有 3、3、4 人，组内不计次 序。 • 分组方式个数为 10! 3!3!4! △ = ( 10 3, 3, 4 ) 古典概型中常用计数—可重复分组数 • 从 n 个不同的球中有放回地每次抽取一个，共抽取 m 次，结果不计 次序。 • 共有 C m n+m−1 种不同的组合。 • 参考：何书元《概率论》§1.2。 • 用 0 和 1 组成的序列表示一个结果。 • 用 n − 1 个 1 分隔出 n 个组，1 表示组边界。这 n 个组是结果排序后 球号 1, 2, . . . , n 的组。 • 每组内有若干个 0 表示该组个数，如果出现 11 则该组没有球，把 m 个 0 分配到各个组中。 • 这样，用长度为 n + m − 1 的 0-1 向量表示一个结果，结果个数为 C n−1 n+m−1 (从 n + m − 1 个二进制位中选择 1 的位置，即边界的位置)。 • 可重复分组数在随机分组时一般不是等可能的。 • 例如，从红、白两个球中有放回地抽取 2 次，计数这 2 次红球、白球 个数
第一章古典概型和概率空间 共有(红0,白2),(红1,白1),(红2,白0)三种结果,即C2+2-1=3 中结果。随机抽取时(红1,白1)概率为,(红0,白2)和(红2,白 0)的概率都是。 例23 ·例2.3掷两个骰子,用A表示点数之和为7.计算P(A ·解用(i,j)表示第一个骰子的点数是i,第二个骰子的点数是j.则 ={(i,j)|i,j=1,2,…,6} A={(i,j)|i+j=7,i,j=1,2,……,6} g2中的样本点具有等可能性.由#9=62,#A=6知道P(A)= 6/36=1/6 注意:这个概率空间是有次序的,如果取无次序的概率空间(比如(1,2) 和(2,1)看成同一样本点)则概率空间中的样本点不是等可能的。 例2.4 例2.4在4个白球,6个红球中任取4个,求取到2个白球和2个红 球的概率 解“任取”指无放回等可能随机抽取。用A表示取到2个白球和2 个红球.由#9=C10,#A=CC得到 P(A=CC6 Cn=0.4286. 例25 例2.5将52张扑克(去掉两张王牌)随机地分给4家,求每家都是同 花色的概率 解认为52张牌被等可能地分为4组,求每组13张牌同花色的概率. 这时#9=52/(13!)4,#A=4!,故 P(A)==521=4739×103 这样的小概率事件你和你周围的人是不会遇到的
12 第一章 古典概型和概率空间 • 共有 (红 0，白 2), (红 1, 白 1), (红 2, 白 0) 三种结果, 即 C 2 2+2−1 = 3 中结果。随机抽取时 (红 1, 白 1) 概率为 1 2 , (红 0, 白 2) 和 (红 2, 白 0) 的概率都是 1 4。 例 2.3 • 例 2.3 掷两个骰子, 用 A 表示点数之和为 7. 计算 P(A). • 解 用 (i, j) 表示第一个骰子的点数是 i, 第二个骰子的点数是 j. 则 Ω = {(i, j)|i, j = 1, 2, · · · , 6}, A = {(i, j)|i + j = 7, i, j = 1, 2, · · · , 6}. Ω 中的样本点具有等可能性. 由 #Ω = 62 , #A = 6 知道 P(A) = 6/36 = 1/6. • 注意: 这个概率空间是有次序的，如果取无次序的概率空间 (比如 (1,2) 和 (2,1) 看成同一样本点) 则概率空间中的样本点不是等可能的。 例 2.4 • 例 2.4 在 4 个白球, 6 个红球中任取 4 个, 求取到 2 个白球和 2 个红 球的概率. • 解 “任取”指无放回等可能随机抽取。用 A 表示取到 2 个白球和 2 个红球. 由 #Ω = C 4 10, #A = C 2 4C 2 6 得到 P(A) = C 2 4C 2 6 C4 10 = 0.4286. 例 2.5 • 例 2.5 将 52 张扑克 (去掉两张王牌) 随机地分给 4 家, 求每家都是同 花色的概率. • 解 认为 52 张牌被等可能地分为 4 组, 求每组 13 张牌同花色的概率. 这时 #Ω = 52!/(13!)4 , #A = 4!, 故 P(A) = #A #Ω = 4!(13!)4 52! = 4.4739 × 10−28 . • 这样的小概率事件你和你周围的人是不会遇到的
1.2古典概型与几何概型 例 例2.6N件产品中有N1件i(1≤i≤k)等品,从中任取n件.求n 件中恰有n;件i(1≤i≤k)等品的概率 解从题意知N1+N2+…+Nk=N,n1+m2+…+nk=n.用9 表示试验的样本空间,用A表示取出的n件中恰有n;件i等品 #n= Cn #A= Cn ·于是 CN CN2 P(A) 例27(生日问题) 例27(生日问题)求n个人中至少有两个人同生日的概率. ·解认为每个人的生日等可能地出现在365天中的任一天,则样本空间 g2的元素数为#92=365 用A表示n个人的生日各不相同,则做为Ω的子集#A=A365 要求的概率 Pn=P(A)=1-P(A)=1-A365/365 ·这里和以后规定对k>n,Ah=Ch=0.可以计算出以下结果 pn0.4110.7060.8910.9700.99409990.999 ·图1.2.1是p和n的关系图.横坐标是n,纵坐标是pn.可以看出,当 n增加时,pn增加得很快 例2. ·例2.8设样本空间Ω有n个样本点,在古典概率模型下证明 (1)如果A1;,A2,…,是事件,则∪≥1A3是事件, ·证明:U=14c9,所以(1)成立
1.2 古典概型与几何概型 13 例 2.6 • 例 2.6 N 件产品中有 Ni 件 i(1 ≤ i ≤ k) 等品, 从中任取 n 件. 求 n 件中恰有 ni 件 i (1 ≤ i ≤ k) 等品的概率. • 解 从题意知 N1 + N2 + · · · + Nk = N, n1 + n2 + · · · + nk = n. 用 Ω 表示试验的样本空间, 用 A 表示取出的 n 件中恰有 ni 件 i 等品, • 则 #Ω = C n N , #A = C n1 N1 C n2 N2 · · · C nk Nk • 于是 P(A) = C n1 N1 C n2 N2 · · · C nk Nk Cn N . 例 2.7(生日问题) • 例 2.7 (生日问题) 求 n 个人中至少有两个人同生日的概率. • 解 认为每个人的生日等可能地出现在 365 天中的任一天, 则样本空间 Ω 的元素数为 #Ω = 365n . • 用 A 表示 n 个人的生日各不相同, 则做为 Ω 的子集 #A = An 365. • 要求的概率 pn = P(A) = 1 − P(A) = 1 − A n 365/365n . • 这里和以后规定对 k > n, Ak n = C k n = 0. 可以计算出以下结果: n 20 30 40 50 60 70 80 pn 0.411 0.706 0.891 0.970 0.994 0.999 0.9999 • 图 1.2.1 是 pn 和 n 的关系图. 横坐标是 n, 纵坐标是 pn. 可以看出, 当 n 增加时, pn 增加得很快. 例 2.8 • 例 2.8 设样本空间 Ω 有 n 个样本点, 在古典概率模型下证明 • (1) 如果 A1, A2, · · · , 是事件, 则 ∪∞ j=1Aj 是事件, • 证明: ∪∞ j=1Aj ⊂ Ω, 所以 (1) 成立
第一章古典概型和概率空间 (2)对于互不相容的事件A1,A2, ,4)=∑P(A) ·证明(2)因为#9=n,所以只有有限个A,非空.设前m个A,可 能非空,其余是空集.则 对j>m,P(A1)=0.于是用性质(4)得到 PU:4)=P(U=4)=∑P(4)=∑P4) 122几何概型 欧式空间中的体积 用Rr表示r维欧式空间 R={(x1,x2,…,xr)r;∈(-∞,∞),i=1,2,,r} 对于Rr的子集A,用 (A)=/dx1dx2…dxr 表示A的体积。 (更一般地,m(A)表示可测集A的测度,参见《实变函数》) 几何概率 用9表示试验S的样本空间,当ΩCRr时,称Ω的子集是事件 定义设样本空间Ω的体积m(g)是正数,样本点等可能地落在Ω中 (指g的体积相同的长方体事件发生的可能性相同),对于ACΩ,称 P(A) 为事件A发生的概率,简称为A的概率 这样的定义也满足§1.2中的非负性、全空间概率等于1、可加性三 性质,从而性质(4)和(5)也成立
14 第一章 古典概型和概率空间 • (2) 对于互不相容的事件 A1, A2, · · · , P( ∪∞ j=1 Aj ) = ∑∞ j=1 P(Aj ). • 证明 (2) 因为 #Ω = n, 所以只有有限个 Aj 非空. 设前 m 个 Aj 可 能非空, 其余是空集. 则 ∪∞ j=1 Aj = ∪m j=1 Aj . 对 j > m, P(Aj ) = 0. 于是用性质 (4) 得到 P (∪∞ j=1 Aj ) = P (∪m j=1 Aj ) = ∑m j=1 P(Aj ) = ∑∞ j=1 P(Aj ). 1.2.2 几何概型 欧式空间中的体积 • 用 R r 表示 r 维欧式空间 R r = {(x1, x2, . . . , xr)|xi ∈ (−∞, ∞), i = 1, 2, . . . , r}. • 对于 R r 的子集 A，用 m(A) = ∫ A dx1dx2 . . . dxr 表示 A 的体积。 •（更一般地，m(A) 表示可测集 A 的测度，参见《实变函数》） 几何概率 • 用 Ω 表示试验 S 的样本空间，当 Ω ⊂ R r 时，称 Ω 的子集是事件。 • 定义 设样本空间 Ω 的体积 m(Ω) 是正数，样本点等可能地落在 Ω 中 （指 Ω 的体积相同的长方体事件发生的可能性相同），对于 A ⊂ Ω，称 P(A) = m(A) m(Ω) 为事件 A 发生的概率，简称为 A 的概率。 • 这样的定义也满足 §1.2 中的非负性、全空间概率等于 1、可加性三个 性质，从而性质 (4) 和 (5) 也成立
1.3概率的公理化和加法公式 例(同心圆) 两个同心圆,大圆圆面为g:半径1m;内部小圆圆面为A:半径0.5me ·落入A概率 ()r12 落入A外的大圆的概率 P(A)=1-P(A)=0.75 例(会面概率) ·两人1:00—2:00间独立地随机到达某地会面,先到者仅等待20分钟 求会面概率 用x,y表示两人分别的到达时间,则 2={(x,y):0≤x,y≤60} 样本点(x,y)等可能地落在空间Ω内。 A表示两人相遇,则 A={(x,y){x-y≤20,(x,y)∈9} (92)=602 m(4)用图示,A的两条斜边为y=x±20,面积等于602减去两个 角形面积即2××402,所以 m(A)=602-402 概率 602-4025 P(A 13概率的公理化和加法公式 13.1概率的公理化 概率空间
1.3 概率的公理化和加法公式 15 例 (同心圆) • 两个同心圆，大圆圆面为 Ω：半径 1m; 内部小圆圆面为 A：半径 0.5m。 • 落入 A 概率 P(A) = m(A) m(Ω) = π(0.5)2 π1 2 = 0.25 • 落入 A 外的大圆的概率 P(A¯) = 1 − P(A) = 0.75 例 (会面概率) • 两人 1:00—2:00 间独立地随机到达某地会面，先到者仅等待 20 分钟。 求会面概率。 • 用 x, y 表示两人分别的到达时间，则 Ω = {(x, y) : 0 ≤ x, y ≤ 60}, 样本点 (x, y) 等可能地落在空间 Ω 内。 • A 表示两人相遇，则 A = {(x, y)| |x − y| ≤ 20,(x, y) ∈ Ω} • m(Ω) = 602 . • m(A) 用图示，A 的两条斜边为 y = x ± 20，面积等于 602 减去两个 三角形面积即 2 × 1 2 × 402，所以 m(A) = 602 − 402 • 概率 P(A) = 602 − 402 602 = 5 9 . 1.3 概率的公理化和加法公式 1.3.1 概率的公理化 概率空间