第一章古典概型和概率空间 古典概型只对样本空间Ω含有限个样本点,且每个样本点发生的可能 性相同的情况定义了概率.下面将概率的定义进行推广 设g是试验S的样本空间,在实际问题中往往并不需要关心9的所 有子集,只要把关心的子集称为事件就够了.但是事件必须是g的子 集,并且满足以下三个条件 (a)g是事件, (b)A,B是事件,则AUB,A∩B,A-B,A都是事件 (c)当4是事件则U=14是事件 以后总假设上面的条件(a),(b),(c)成立.由(b)知道有限个事件经过 有限次运算后得到的结果仍然是事件 ·满足条件(a),(b),(c)的事件的集合多叫做σ域或σ代数 对于试验S的事件A,我们用0,1之间的数P(A)表示事件A发生的 可能性的大小、对于每个事件A∈④,P(A)是一个实数.P(A)是事 件A的函数 概率及公理化 定义31如果事件的函数P满足条件 (a)非负性:对于任何事件A,P(A)≥0, (b)完全性:P(9)=1 (c)可列可加性:对于互不相容的事件A1,A2,,有 P(41) 就称P是试验S的概率,简称为概率,称P(A)是A的概率( proba- bility) 我们称定义31中的(a),(b),(c)为概率的公理化条件 不满足公理化条件的P不是概率 ·条件(c)中的“可列”,指集合的个数或运算的次数可以依次排列起 来.从例2.8知道,古典概率模型中的P是概率
16 第一章 古典概型和概率空间 • 古典概型只对样本空间 Ω 含有限个样本点, 且每个样本点发生的可能 性相同的情况定义了概率. 下面将概率的定义进行推广. • 设 Ω 是试验 S 的样本空间, 在实际问题中往往并不需要关心 Ω 的所 有子集, 只要把关心的子集称为事件就够了. 但是事件必须是 Ω 的子 集, 并且满足以下三个条件: – (a) Ω 是事件, – (b) A, B 是事件, 则 A ∪ B, A ∩ B, A − B, A 都是事件, – (c) 当 Aj 是事件, 则 ∪∞ j=1Aj 是事件. • 以后总假设上面的条件 (a), (b), (c) 成立. 由 (b) 知道有限个事件经过 有限次运算后得到的结果仍然是事件. • 满足条件 (a), (b), (c) 的事件的集合 F 叫做 σ 域或 σ 代数。 • 对于试验 S 的事件 A, 我们用 0,1 之间的数 P(A) 表示事件 A 发生的 可能性的大小. 对于每个事件 A ∈ F, P(A) 是一个实数. P(A) 是事 件 A 的函数. 概率及公理化 • 定义 3.1 如果事件的函数 P 满足条件 – (a) 非负性: 对于任何事件 A, P(A) ≥ 0 , – (b) 完全性: P(Ω) = 1, – (c) 可列可加性: 对于互不相容的事件 A1, A2, . . . , 有 P (∪∞ j=1 Aj ) = ∑∞ j=1 P(Aj ). 就称 P 是试验 S 的概率, 简称为概率, 称 P(A) 是 A 的概率 (probability). • 我们称定义 3.1 中的 (a), (b), (c) 为概率的公理化条件. • 不满足公理化条件的 P 不是概率. • 条件 (c) 中的“可列”, 指集合的个数或运算的次数可以依次排列起 来. 从例 2.8 知道, 古典概率模型中的 P 是概率
1.3概率的公理化和加法公式 概率的性质 ·概率的公理化条件并不直接告诉我们在实际问题中如何计算P(4) P(A)的计算要根据问题的条件和背景得到 设P是试验S的概率,则有以下的结果 -(1)不可能事件的概率是0:P(d)=0, (2)有限可加性:如果A1,A2,…,An是互不相容,则 A PCA -(3)单调性:BCA,则P(A)-P(B)=P(A-B)≥0. (先证明有限可加性,P(0)=0与单调性用有限可加性证明) 132概率的加法公式 概率的加法公式 概率的有限可加性和可列可加性是概率P的最基本性质,由此推出概 率的加法公式 (4)P(AU B)=P(A)+P(B)-P(AB), ·(5)如果BcA,则P(A-B)=P(A)-P(B),P(A)≥P(B) ·(6) Jordan公式:设A1,A2,……,An是事件,记 ∑P(An4n…A 时,有 A)=∑(-1)-1p (32) 例3 ·例3.1全班有26个人会打网球,有28个人会打羽毛球,他们中有20 个人同时会打网球和羽毛球.从全班的40名同学中任选一名,计算他 会打网球或会打羽毛球的概率
1.3 概率的公理化和加法公式 17 概率的性质 • 概率的公理化条件并不直接告诉我们在实际问题中如何计算 P(A). P(A) 的计算要根据问题的条件和背景得到. • 设 P 是试验 S 的概率, 则有以下的结果. – (1) 不可能事件的概率是 0: P(ϕ) = 0, – (2) 有限可加性: 如果 A1, A2, · · · , An 是互不相容, 则 P( ∪n j=1 Aj ) = ∑n j=1 P(Aj ), – (3) 单调性: B ⊂ A, 则 P(A) − P(B) = P(A − B) ≥ 0. (先证明有限可加性，P(∅) = 0 与单调性用有限可加性证明) 1.3.2 概率的加法公式 概率的加法公式 • 概率的有限可加性和可列可加性是概率 P 的最基本性质, 由此推出概 率的加法公式. • (4) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB), • (5) 如果 B ⊂ A, 则 P(A − B) = P(A) − P(B), P(A) ≥ P(B), • (6) Jordan 公式: 设 A1, A2, · · · , An 是事件, 记 pk = ∑ 1≤j1<j2<···<jk≤n P(Aj1Aj2 · · · Ajk ) 时, 有 P( ∪n i=1 Ai) = ∑n k=1 (−1)k−1 pk. (3.2) 例 3.1 • 例 3.1 全班有 26 个人会打网球, 有 28 个人会打羽毛球, 他们中有 20 个人同时会打网球和羽毛球. 从全班的 40 名同学中任选一名, 计算他 会打网球或会打羽毛球的概率
第一章古典概型和概率空间 解对任选出的同学,用A表示他会打网球,用B表示他会打羽毛球 则A∪B表示他会打网球或会打羽毛球.利用 P(A)=26/40,P(B)=28/40,P(AB)=20/40 得到 P(AUB)=P(4)+P(B)-P(AB)===085 1.3.3概率的连续性 概率的连续性 如果A1CA2c…,就称事件序列{A3}≡{A1|j=1,2,…}是单 调增的 ·如果A1A23…,就称事件序列{A1}是单调减的 我们把单调增序列和单调减序列统称为单调序列 ·定理31设{43}和{B}是事件列. (1)如果{A}是单调增序列,则 Ai)=lim P(An) (2)如果{B}是单调减序列,则 P(n B)=lim P(Bn) 通常称U=14为单调增序列{A4}的极限称∩=1B为单调减序列 B}的极限 定理31说明,4的概率收敛到它的极限U=14的概率,B3的概率 收敛到它的极限∩=1B1的概率所以称概率具有连续性 14条件概率和乘法公式 例4.1:掷骰子的条件概率 ·例4.1掷一个骰子,已知掷出了偶数点,求掷出的是2的概率 用A表示掷出偶数点,B表示掷出2
18 第一章 古典概型和概率空间 • 解 对任选出的同学, 用 A 表示他会打网球, 用 B 表示他会打羽毛球, 则 A ∪ B 表示他会打网球或会打羽毛球. 利用 P(A) = 26/40, P(B) = 28/40, P(AB) = 20/40 得到 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 26 + 28 − 20 40 = 0.85. 1.3.3 概率的连续性 概率的连续性 • 如果 A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , 就称事件序列 {Aj} ≡ {Aj | j = 1, 2, · · · } 是单 调增的. • 如果 A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , 就称事件序列 {Aj} 是单调减的. • 我们把单调增序列和单调减序列统称为单调序列. • 定理 3.1 设 {Aj} 和 {Bj} 是事件列. – (1) 如果 {Aj} 是单调增序列, 则 P( ∪∞ j=1 Aj ) = limn→∞ P(An). – (2) 如果 {Bj} 是单调减序列, 则 P( ∩∞ j=1 Bj ) = limn→∞ P(Bn). • 通常称 ∪∞ j=1Aj 为单调增序列 {Aj} 的极限, 称 ∩∞ j=1Bj 为单调减序列 {Bj} 的极限. • 定理 3.1 说明, Aj 的概率收敛到它的极限 ∪∞ j=1Aj 的概率, Bj 的概率 收敛到它的极限 ∩∞ j=1Bj 的概率. 所以称概率具有连续性. 1.4 条件概率和乘法公式 例 4.1：掷骰子的条件概率 • 例 4.1 掷一个骰子, 已知掷出了偶数点, 求掷出的是 2 的概率. • 用 A 表示掷出偶数点, B 表示掷出 2
1.4条件概率和乘法公式 已知A发生后试验的条件已经改变.在新的试验条件下A成为样本 空间,A的样本点具有等可能性,B是A的子集,#A=3,#B=1.所 以,用P(B|A)表示要求的概率时 # P(BJA #A3 我们称P(B|4)是已知A发生的条件下,B发生的概率. 例42:扑克牌的条件概率 例42在52张扑克中任取一张,已知抽到草花的条件下,求抽到的是 草花5的概率 ·解设A=“抽到草花”,B=“抽到草花5”.按例4.1的方法有 P(BA)=#B/#A=1/13 条件概率 设A,B是事件,以后总用P(B|A)表示已知A发生的条件下,B发 生的条件概率,简称为条件概率( conditional probability 下面是条件概率的计算公式. 条件概率公式:如果P(A)>0,则 P(AB P(BA) 可以对古典概型给出(4.1)的证明:设试验S的样本空间是Ω,A, 是事件,P(A)>0.已知A发生后试验的条件已经改变.在新的试验 条件下A成为样本空间,A的样本点具有等可能性.已知A发生后, AB是A的子集.利用古典概型的定义知道 #(AB)#(AB)/#9P(AB) P(BLA)= P(ABA) #A A/# 例4.3:扑克牌问题 在计算条件概率时,公式(41)有时会带来许多的方便.但有时根据问 题的特点可以直接得到结果 例4.3将一副扑克牌的52张随机均分给四家,设A=东家得到6张 草花,B=西家得到3张草花,求P(B|A)
1.4 条件概率和乘法公式 19 • 已知 A 发生后试验的条件已经改变. 在新的试验条件下 A 成为样本 空间, A 的样本点具有等可能性, B 是 A 的子集, #A = 3, #B = 1. 所 以, 用 P(B|A) 表示要求的概率时, P(B|A) = #B #A = 1 3 . • 我们称 P(B|A) 是已知 A 发生的条件下, B 发生的概率. 例 4.2: 扑克牌的条件概率 • 例 4.2 在 52 张扑克中任取一张, 已知抽到草花的条件下, 求抽到的是 草花 5 的概率. • 解 设 A=“抽到草花”, B=“抽到草花 5”. 按例 4.1 的方法有 P(B|A) = #B/ #A = 1/13. 条件概率 • 设 A, B 是事件, 以后总用 P(B|A) 表示已知 A 发生的条件下, B 发 生的条件概率, 简称为条件概率 (conditional probability). • 下面是条件概率的计算公式. • 条件概率公式: 如果 P(A) > 0, 则 P(B|A) = P(AB) P(A) . (4.1) • 可以对古典概型给出 (4.1) 的证明: 设试验 S 的样本空间是 Ω, A, B 是事件, P(A) > 0. 已知 A 发生后试验的条件已经改变. 在新的试验 条件下 A 成为样本空间, A 的样本点具有等可能性. 已知 A 发生后, AB 是 A 的子集. 利用古典概型的定义知道 P(B|A) = P(AB|A) = #(AB) #A = #(AB)/#Ω #A/#Ω = P(AB) P(A) . 例 4.3: 扑克牌问题 • 在计算条件概率时, 公式 (4.1) 有时会带来许多的方便. 但有时根据问 题的特点可以直接得到结果. • 例 4.3 将一副扑克牌的 52 张随机均分给四家, 设 A= 东家得到 6 张 草花, B= 西家得到 3 张草花, 求 P(B|A)
第一章古典概型和概率空间 解四家各有13张牌,可以认为东家先取13张后西家再取13张 ·在A发生的条件下,西家的总可能取法为C3,B发生要求西家取法 为CC3,用古典概型 P(BJA CC3 例44:条件概率是公理化概率 例44设P(A)>0,对于任何事件B,定义PA(B)=P(B|4).则 ·(1)P4是概率, (2)对于事件B,C,当P(AB)>0时, PA(CIB)=P(CLAB ·(证明略) 乘法公式 乘法公式:设A,B,A1,A2,An是事件,则 (1) P(AB)=P(A)P(BA), ·(2)当P(A1A2….An-1)≠0,有 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).(4.3) ·证明将条件概率公式(41)用于等式右边的条件概率就得到证明.(手 写) 例45:官员受贿问题 ·例4.5(官员受贿问题)某官员第1次受贿没被査处的概率是q 98/100=0.98.第1次没被查处后,第2次受贿没被查处的概率是 q=96/98=0.9796,…前j-1次没被查处后,第j次受贿不被查 处的概率是q=(100-2)/(100-2(-1) 求他受贿n次还不 被查处的概率pn 解用A,表示该官员第j次受贿没被查处,则A1A2…An表示受贿 n次还不被查处
20 第一章 古典概型和概率空间 • 解 四家各有 13 张牌, 可以认为东家先取 13 张后西家再取 13 张。 • 在 A 发生的条件下, 西家的总可能取法为 C 13 39，B 发生要求西家取法 为 C 3 7C 10 32 , 用古典概型 P(B|A) = C 3 7C 10 32 C13 39 . 例 4.4: 条件概率是公理化概率 • 例 4.4 设 P(A) > 0, 对于任何事件 B, 定义 PA(B) = P(B|A). 则 • (1) PA 是概率, • (2) 对于事件 B, C, 当 P(AB) > 0 时, PA(C|B) = P(C|AB). (4.2) • (证明略) 乘法公式 • 乘法公式: 设 A, B, A1, A2, . . . , An 是事件, 则 • (1) P(AB) = P(A)P(B|A), • (2) 当 P(A1A2 . . . An−1) ̸= 0, 有 P(A1A2 . . . An) = P(A1)P(A2|A1). . . P(An|A1A2 . . . An−1). (4.3) • 证明 将条件概率公式 (4.1) 用于等式右边的条件概率就得到证明. (手 写) 例 4.5: 官员受贿问题 • 例 4.5 (官员受贿问题) 某官员第 1 次受贿没被查处的概率是 q1 = 98/100 = 0.98. 第 1 次没被查处后, 第 2 次受贿没被查处的概率是 q2 = 96/98 = 0.9796, · · · . 前 j − 1 次没被查处后, 第 j 次受贿不被查 处的概率是 qj = (100 − 2j)/(100 − 2(j − 1)), · · · . 求他受贿 n 次还不 被查处的概率 pn. • 解 用 Aj 表示该官员第 j 次受贿没被查处, 则 A1A2 · · · An 表示受贿 n 次还不被查处