第一章古典概型和概率空间 (2)写出招聘两名播音员的样本空间Ω和事件A=“招聘到两名女 ·解本“试验”是招聘播音员.用W1,W2,W3分别表示第1,2,3位女 士,用M1,M2分别表示第1,2位男士 用W1M1表示招聘到第1位女士和第1位男士,用W1M2表示招聘 到第1位女士和第2位男士 ·(1)招聘男女播音员各一名时,样本空间是 ={W1M1,W1M2,W2M1,W2M2,W3M1,W3M2} 92中的元素是样本点 ·(2)招聘两名播音员时,样本空间是 2={W1W2,WW3,W2W3,W1M1,W1M2,W2M1 W2M2, w3M1, W3M2, MIM2 ·招聘到两名女士的事件A={W1W2,W1W3,W2W3} 事件与集合 当A,B都是事件,则 AUB,A∩B,A-B △ A∩B 都是事件.也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件(图示) 我们也用AB表示A∩B.当AB=φ时,也用A+B表示AUB. 当事件AB=,称事件A,B不相容.特别称A为A的对立事件或 逆事件. ·如果多个事件A1,A2,两两不相容:A1:A,=,i≠j就称他们互 不相容 注意,互不相容与后面要讲到的“独立”是完全不同的概念 从以上的叙述看出,从集合角度看,样本空间92是由试验S的可能结 果构成的全集,样本点就是Ω的元素,事件A就是Ω的子集 事件的运算符号和集合的运算符号也是相同的,例如
6 第一章 古典概型和概率空间 (2) 写出招聘两名播音员的样本空间 Ω 和事件 A=“招聘到两名女 士”. • 解 本“试验”是招聘播音员. 用 W1, W2, W3 分别表示第 1,2,3 位女 士, 用 M1,M2 分别表示第 1,2 位男士. • 用 W1M1 表示招聘到第 1 位女士和第 1 位男士, 用 W1M2 表示招聘 到第 1 位女士和第 2 位男士, · · · . • (1) 招聘男女播音员各一名时, 样本空间是 Ω = { W1M1, W1M2, W2M1, W2M2, W3M1, W3M2 }. Ω 中的元素是样本点. • (2) 招聘两名播音员时, 样本空间是 Ω = { W1W2, W1W3, W2W3, W1M1, W1M2, W2M1, W2M2, W3M1, W3M2, M1M2 }. • 招聘到两名女士的事件 A = { W1W2, W1W3, W2W3 }. 事件与集合 • 当 A, B 都是事件, 则 A ∪ B, A ∩ B, A − B △ = A ∩ B 都是事件. 也就是说事件经过集合运算得到的结果还是事件.(图示) • 我们也用 AB 表示 A ∩ B. 当 AB = ϕ 时, 也用 A + B 表示 A ∪ B. • 当事件 AB = ϕ, 称事件 A, B 不相容. 特别称 A 为 A 的对立事件 或 逆事件. • 如果多个事件 A1, A2, . . . 两两不相容: AiAj = ϕ, i ̸= j, 就称他们互 不相容. • 注意，互不相容与后面要讲到的“独立”是完全不同的概念。 • 从以上的叙述看出, 从集合角度看，样本空间 Ω 是由试验 S 的可能结 果构成的全集, 样本点 ω 就是 Ω 的元素, 事件 A 就是 Ω 的子集. • 事件的运算符号和集合的运算符号也是相同的, 例如:
1.2古典概型与几何概型 (1)A=B表示事件A,B相等 (2)AUB发生等价于至少A,B之一发生 (3)A∩B(或AB)发生等价于A和B都发生, (4)U=14发生表示至少有一个A1(1≤j≤n)发生,U=14发生 表示至少有一个A(j=1,2,…)发生, (5)m=14发生表示所有的A(1≤j≤n)都发生.n=14发生表 示所有的A1 )都发生 事件的运算 事件的运算公式就是集合的运算公式,例如1 AUB=BUA,A∩B=B∩A 2.AU(BUC)= AUBUC,An(BnC)=A∩B∩C, A(BUC)=(AB)U(AC),AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC) 4. AUB=A+AB A= AB+AB 5.对偶公式:AUB=A∩B,A∩B=AUB,进而有U=14=∩=14 其中的公式4和5是值得牢记的 1.2古典概型与几何概型 1.2.1古典概型 古典概率模型 ·设Ω是试验S的样本空间.对于Ω的事件A,我们用P(4)表示A 发生的可能性的大小,称P(A)是事件A发生的概率,简称为A的概 率 ·概率是介于0和1之间的数,描述事件发生的可能性的大小 ·按照以上原则,如果事件A,B发生的可能性相同,则有P(A)=P(B) 如果事件A发生的可能性比B发生的可能性大2倍,则有P(A) P(B) 1图示讲解
1.2 古典概型与几何概型 7 (1) A = B 表示事件 A, B 相等, (2) A ∪ B 发生 等价于 至少 A, B 之一发生, (3) A ∩ B (或 AB) 发生 等价于 A 和 B 都发生, (4) ∪ n j=1Aj 发生表示至少有一个 Aj (1 ≤ j ≤ n) 发生, ∪∞ j=1Aj 发生 表示至少有一个 Aj (j = 1, 2, · · ·) 发生, (5) ∩ n j=1Aj 发生表示所有的 Aj (1 ≤ j ≤ n) 都发生. ∩∞ j=1Aj 发生表 示所有的 Aj (j = 1, 2, · · ·) 都发生. 事件的运算 事件的运算公式就是集合的运算公式, 例如1 : 1. A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A , 2. A ∪ (B ∪ C) = A ∪ B ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = A ∩ B ∩ C, 3. A(B ∪ C) = (AB) ∪ (AC), A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), 4. A ∪ B = A + AB, A = AB + AB, 5. 对偶公式: A ∪ B = A¯∩B¯, A ∩ B = A¯∪B¯, 进而有 ∪∞ j=1Aj = ∩∞ j=1Aj , ∩∞ j=1A j = ∪∞ j=1Aj . 其中的公式 4 和 5 是值得牢记的. 1.2 古典概型与几何概型 1.2.1 古典概型 古典概率模型 • 设 Ω 是试验 S 的样本空间. 对于 Ω 的事件 A, 我们用 P(A) 表示 A 发生的可能性的大小, 称 P(A) 是事件 A 发生的概率, 简称为 A 的概 率. • 概率是介于 0 和 1 之间的数, 描述事件发生的可能性的大小. • 按照以上原则, 如果事件 A, B 发生的可能性相同, 则有 P(A) = P(B). 如果事件 A 发生的可能性比 B 发生的可能性大 2 倍, 则有 P(A) = 2P(B). 1图示讲解
第一章古典概型和概率空间 用#A,#分别表示事件A和样本空间9中样本点的个数 定义2.1设试验S的样本空间Ω是有限集合,AC9.如果9的每个 样本点发生的可能性相同,则称 P(A) (21) 为试验S下A发生的概率,简称为事件A的概率 ·能够用定义2.描述的模型称为古典概率模型,简称为古典概型. 概率的性质 因为#A≥0,当AB=d时,#(A+B)=#A+#B,所以从定义(21) 可以得到概率P的以下性质 (1)P(A)≥ 3)如果A,B不相容,则P(A+B)=P(A)+P(B 从以上的性质再得到 (4)如果A1,A2,…,An互不相容,则 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An), ·(5)P()=0,P(A)+P(A)=1,P(4)=P(AB)+P(AB) 实际上,我们由(3)得到P()+P(92)=P(),于是P(d)=0,由 A+=9和(3)得到P(A)+P(A)=1,由AB+AB=A和(3)得 到P(A)=P(AB)+P(AB) 利用古典概型计算概率 列出样本空间所有样本点,一定注意这些样本点应该是可能性完全相 同的: 计算样本空间样本点个数 计算事件A样本点个数 用公式(21)计算P(A)
8 第一章 古典概型和概率空间 • 用 #A, #Ω 分别表示事件 A 和样本空间 Ω 中样本点的个数. • 定义 2.1 设试验 S 的样本空间 Ω 是有限集合, A ⊂ Ω. 如果 Ω 的每个 样本点发生的可能性相同, 则称 P(A) = #A #Ω (2.1) 为试验 S 下 A 发生的概率, 简称为事件 A 的概率. • 能够用定义 2.1 描述的模型称为古典概率模型, 简称为古典概型. 概率的性质 • 因为 #A ≥ 0, 当 AB = ϕ 时，#(A+B) =# A+# B, 所以从定义 (2.1) 可以得到概率 P 的以下性质: • (1) P(A) ≥ 0, • (2) P(Ω) = 1, • (3) 如果 A, B 不相容, 则 P(A + B) = P(A) + P(B). • 从以上的性质再得到 • (4) 如果 A1, A2, · · · , An 互不相容, 则 P(A1 + A2 + · · · + An) = P(A1) + P(A2) + · · · + P(An), • (5) P(ϕ) = 0, P(A) + P(A) = 1, P(A) = P(AB) + P(AB). • 实际上, 我们由 (3) 得到 P(ϕ) + P(Ω) = P(Ω), 于是 P(ϕ) = 0, 由 A + A = Ω 和 (3) 得到 P(A) + P(A) = 1, 由 AB + AB = A 和 (3) 得 到 P(A) = P(AB) + P(AB). 利用古典概型计算概率 • 列出样本空间所有样本点，一定注意这些样本点应该是可能性完全相 同的； • 计算样本空间样本点个数； • 计算事件 A 样本点个数； • 用公式 (2.1) 计算 P(A)
1.2古典概型与几何概型 例 ·以下的例子中任取、随机抽取都是指等可能的抽取。假设硬币、骰子 等是均匀的。 掷一个均匀的硬币,用A表示正面朝上 P(A)=1/2 例22 掷一个均匀的骰子,用A表示掷出奇数,B表示掷出5 #9=6.#A=3.#B=1 P(A)=3,PB)=2 古典概型中的常用计数一加法原理 ·如果一个问题的做法分为两类,第一类有n种方法,第二类有m种 方法,这两类没有重叠而且仅有此两类,则问题的做法共有n+m种。 多类的情况类似。 例选班长时,可以从15个男生中选一个,也可以从10个女生中选 一个,那么一共有15+10=25种选法 古典概型中的常用计数一乘法原理 如果一个问题要两步完成,第一步有n种做法,第二步有m种做法 则问题有nm种做法 多步的情况类似。 例要选一个男生班长和一个女生班长组成领导核心,男生15人,女 生10人,则问题的做法有15×10=150种做法
1.2 古典概型与几何概型 9 例 2.1 • 以下的例子中任取、随机抽取都是指等可能的抽取。假设硬币、骰子 等是均匀的。 • 掷一个均匀的硬币, 用 A 表示正面朝上. • #Ω =2 #A =1 P(A) =1/2 例 2.2 • 掷一个均匀的骰子, 用 A 表示掷出奇数, B 表示掷出 5. • #Ω = 6, #A = 3, #B = 1。 • P(A) = 3 6 , P(B) = 1 6 . 古典概型中的常用计数—加法原理 • 如果一个问题的做法分为两类，第一类有 n 种方法，第二类有 m 种 方法，这两类没有重叠而且仅有此两类，则问题的做法共有 n + m 种。 • 多类的情况类似。 • 例 选班长时，可以从 15 个男生中选一个，也可以从 10 个女生中选 一个，那么一共有 15 + 10 = 25 种选法。 古典概型中的常用计数—乘法原理 • 如果一个问题要两步完成，第一步有 n 种做法，第二步有 m 种做法， 则问题有 nm 种做法。 • 多步的情况类似。 • 例 要选一个男生班长和一个女生班长组成领导核心，男生 15 人，女 生 10 人，则问题的做法有 15 × 10 = 150 种做法
第一章古典概型和概率空间 古典概型中常用计数一有重复的排列数 从n个不同元素中有放回地每次随机抽取一个,共抽取m次,有序 地记录结果,共有nm种等可能的不同结果。 ·例掷骰子3次,记录每次结果,结果一共有6×6×6=63种 例从52张扑克牌中随机有放回地抽取并记录3次,结果共有523 古典概型中常用计数一排列数 从n个不同元素中无放回地每次随机抽取一个,共抽取m次(m≤n) 有序地记录结果,共有 An=n(n-1)..(m-m+1)=2 种等可能的不同结果。 Am在有的教材中记为Pm 例从52张扑克牌中随机无放回地抽取3张,记录每次结果,结果有 52×51×50=A32种 古典概型中常用计数—组合数 从n个不同元素中无放回地每次抽取一个,共抽取m次(m≤n),不 计次序地记录结果(只要元素相同,不管次序是否相同都算是相同结 果),共有 n(n-1)..( 种等可能的不同结果 ·例从一副扑克牌的4张A中随机无放回抽取2张组成一手牌,不计 次序。有C2=4×3/2=6种结果。分别为 ▲y命◇·品9◇9:◇
10 第一章 古典概型和概率空间 古典概型中常用计数—有重复的排列数 • 从 n 个不同元素中有放回地每次随机抽取一个，共抽取 m 次，有序 地记录结果，共有 n m 种等可能的不同结果。 • 例 掷骰子 3 次，记录每次结果，结果一共有 6 × 6 × 6 = 63 种。 • 例 从 52 张扑克牌中随机有放回地抽取并记录 3 次，结果共有 523 种。 古典概型中常用计数—排列数 • 从 n 个不同元素中无放回地每次随机抽取一个，共抽取 m 次 (m ≤ n), 有序地记录结果，共有 A m n = n(n − 1). . .(n − m + 1) = n! (n − m)! 种等可能的不同结果。 • Am n 在有的教材中记为 P m n 。 • 例 从 52 张扑克牌中随机无放回地抽取 3 张，记录每次结果，结果有 52 × 51 × 50 = A3 52 种。 古典概型中常用计数—组合数 • 从 n 个不同元素中无放回地每次抽取一个，共抽取 m 次 (m ≤ n), 不 计次序地记录结果（只要元素相同，不管次序是否相同都算是相同结 果），共有 C m n = n(n − 1). . .(n − m + 1) m! = n! m!(n − m)! 种等可能的不同结果。 • 例 从一副扑克牌的 4 张 A 中随机无放回抽取 2 张组成一手牌，不计 次序。有 C 2 4 = 4 × 3/2 = 6 种结果。分别为 ♠♡ ♠♢ ♠♣ ♡♢ ♡♣ ♢♣