《分析化学》课程教学资源（作业习题）02 误差与数据处理（含解答）

误差和分析数据的处理习题1.指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？(1)码被腐蚀；(2)天平的两臂不等长(3)容量瓶和移液管不配套；(4)试剂中含有微量的被测组分；(5)天平的零点有微小变动；(6)读取滴定体积时最后一位数字估计不准：(7)滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液：(8)标定HCI溶液用的NaOH标准溶液中吸收了CO2。答：（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。（4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。（5）随机误差。（6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。（7）过失误差。（8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。2.如果分析天平的称量误差为士0.2mg，拟分别称取试样0.1g和1g左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？解：因分析天平的称量误差为±0.2mg。故读数的绝对误差Ea=±0.0002gEa×100%可得根据E，T±0.0002g×100%=±0.2%Ero.1g=-0.1000g±0.0002g×100%=±0.02%Erlg =1.0000g这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。3.滴定管的读数误差为士0.02mL。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL和20mL左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？解：因滴定管的读数误差为±0.02mL，故读数的绝对误差Ea=±0.02mLE.根据E，a×100%可得K±0.02mL×100%=±1%Er2ml2mL6

6 误差和分析数据的处理习题 1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？ （1） 砝码被腐蚀； （2） 天平的两臂不等长； （3） 容量瓶和移液管不配套； （4） 试剂中含有微量的被测组分； （5） 天平的零点有微小变动； （6） 读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7） 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液； （8） 标定 HCl 溶液用的 NaOH 标准溶液中吸收了 CO2。 答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 （5）随机误差。 （6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （7）过失误差。 （8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg，拟分别称取试样 0.1g 和 1g 左右，称量的相对误差 各为多少？这些结果说明了什么问题？ 解：因分析天平的称量误差为  0.2mg 。故读数的绝对误差 a = 0.0002g 根据 100%    = a r 可得 100% 0.2% 0.1000 0.0002 0.1  =    = g g r g 100% 0.02% 1.0000 0.0002 1  =    = g g r g 这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当 被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。 3．滴定管的读数误差为±0.02mL。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为 2mL 和 20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？ 解：因滴定管的读数误差为  0.02mL ，故读数的绝对误差 a = 0.02mL 根据 100%    = a r 可得 100% 1% 2 0.02 2  =    = mL mL r mL

±0.02mL×100%=±0.1%E.20ml20mL这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。4.下列数据各包括了几位有效数字？(1)0.0330(2)10.030(3)0.01020(4)8.7×10-5(5)pKa=4.74(6)pH=10.00答：（1）三位有效数字（2）五位有效数字（3）四位有效数字（4）两位有效数字（5）两位有效数字（6）两位有效数字5.将0.089gMg2P20沉淀换算为Mg0的质量，问计算时在下列换算因数（2Mg0/Mg2P20）中取哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效数字报出。答：：0.36应以两位有效数字报出。6.用返滴定法测定软锰矿中MnO2的质量分数，其结果按下式进行计算：0.800058.00×0.1000x10-3)×86.94A2126.07×100%Mno,=0.5000问测定结果应以几位有效数字报出？答：应以四位有效数字报出。7.用加热挥发法测定BaClz·2HO中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g，问测定结果应以几位有效数字报出？答：应以四位有效数字报出。8.两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为3.5g，分别报告结果如下：甲：0.042%，0.041%；乙：0.04099%，0.04201%。问哪一份报告是合理的，为什么？答：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字，所以计算结果应和称样时相同，都取两位有效数字。9，标定浓度约为0.1mol·L-1的NaOH，欲消耗NaOH溶液20mL左右，应称取基准物质H2C204·2H20多少克？其称量的相对误差能否达到0.1%？若不能，可以用什么方法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？解：根据方程2NaOH+H2C2O4-H2O-=Na2C2O4+3H20可知，需H2C204H20的质量m1为：0.1×0.020126.07=0.13gm, =20.002g×100%=0.15%相对误差为Er=0.13g则相对误差大于0.1%，不能用HC2O4-H2O标定0.1mol-L-l的NaOH，可以选用相对分子质量大的作为基准物来标定。若改用KHC：H4O4为基准物时，则有：KHCsH4O4+NaOH==KNaCH4O4+H00.1×0.020x204.22=0.41g需KHCsH4O4的质量为m2，则m，=20.0002gx100%=0.049%Er20.41g相对误差小于0.1%，可以用于标定NaOH。7

7 100% 0.1% 20 0.02 20  =    = mL mL r mL 这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当 被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。 4．下列数据各包括了几位有效数字？ （1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 答：（1）三位有效数字 （2）五位有效数字 （3）四位有效数字 （4） 两位有效数字 （5） 两位有效数字 （6）两位有效数字 5．将 0.089g Mg2P2O7沉淀换算为 MgO 的质量，问计算时在下列换算因数（2MgO/Mg2P2O7） 中取哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效数字报出。 答:：0.36 应以两位有效数字报出。 6．用返滴定法测定软锰矿中 MnO2 的质量分数，其结果按下式进行计算： 100% 0.5000 ) 86.94 2 5 8.00 0.1000 10 126.07 0.8000 ( 3 2  −     = −  MnO 问测定结果应以几位有效数字报出？ 答:：应以四位有效数字报出。 7．用加热挥发法测定 BaCl2·2H2O 中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样 0.5000g，问测定结果应以几位有效数字报出？ 答:：应以四位有效数字报出。 8．两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为 3.5g，分别报告结果如下： 甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。问哪一份报告是合理的，为什么？ 答:：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字，所以计算结果应和称样时相同， 都取两位有效数字。 9．标定浓度约为 0.1mol·L -1的 NaOH，欲消耗 NaOH 溶液 20mL 左右，应称取基准物质 H2C2O4·2H2O 多少克？其称量的相对误差能否达到 0. 1%？若不能，可以用什么方法予以 改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？ 解：根据方程 2NaOH+H2C2O4·H2O==Na2C2O4+3H2O 可知， 需 H2C2O4·H2O 的质量 m1 为： m 126.07 0.13g 2 0.1 0.020 1  =  = 相对误差为 100% 0.15% 0.13 0.0002  1 =  = g g r 则相对误差大于 0.1% ，不能用 H2C2O4·H2O 标定 0.1mol·L-1 的 NaOH ，可以选 用相对分子质量大的作为基准物来标定。 若改用 KHC8H4O4 为基准物时，则有： KHC8H4O4+ NaOH== KNaC8H4O4+H2O 需 KHC8H4O4 的质量为 m2 ，则 m 204.22 0.41g 2 0.1 0.020 2  =  = 100% 0.049% 0.41 0.0002  2 =  = g g r 相对误差小于 0.1% ，可以用于标定 NaOH

10.有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol·L-"），结果如下：甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差0.00%）；乙：0.1243.0.1237.0.1240（相对平均偏差0.16%）。你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度？答：乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知，他们是用分析天平取样。所以有效数字应取四位，而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高，但从分析结果的精密度考虑，应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。11.当置信度为0.95时，测得Al20的u置信区间为（35.21土0.10）%，其意义是（）A.在所测定的数据中有95%在此区间内；B.：若再进行测定，将有95%的数据落入此区间内；C.总体平均值u落入此区间的概率为0.95；D.在此区间内包含μ值的概率为0.95；答：D)12.衡量样本平均值的离散程度时，应采用（A.标准偏差B.相对标准偏差C.极差D.平均值的标准偏差答：D13.某人测定一个试样结果应为30.68%，相对标准偏差为0.5%。后来发现计算公式的分子误乘以2，因此正确的结果应为15.34%，问正确的相对标准偏差应为多少？s解：根据S,==×100%xs得0.5%=×100%则S=0.1534%30.68%S0.1534%×100%=1.0%Sr2==×100%=当正确结果为15.34%时，15.34%x14.测定某铜矿试样，其中铜的质量分数为24.87%。24.93%和24.69%。真值为25.06%，计算：（1）测定结果的平均值；（2）中位值；（3）绝对误差：（4）相对误差。24.87%+24.93%+24.69%2=24.83%解：(1)x=3(2)24.87%(3) E。=x-T=24.83%-25.06%=0.23%E×100%= -0.92%(4)E, =T15.测定铁矿石中铁的质量分数（以WFe.0,表示），5次结果分别为：67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。计算：（1）平均偏差（2）相对平均偏差（3）标准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差。8

8 10．有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol·L -1），结果如下： 甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差 0.00%）； 乙：0.1243,0.1237,0.1240（相对平均偏差 0.16%）。 你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度？ 答：乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知，他们是用分析天平取样。所以 有效数字应取四位，而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高，但从分析结果的 精密度考虑，应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。 11．当置信度为 0.95 时，测得 Al2O3的μ置信区间为（35.21±0.10）%，其意义是（ ） A. 在所测定的数据中有 95%在此区间内； B. 若再进行测定，将有 95%的数据落入此区间内； C. 总体平均值μ落入此区间的概率为 0.95； D. 在此区间内包含μ值的概率为 0.95； 答：D 12. 衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ） A. 标准偏差 B. 相对标准偏差 C. 极差 D. 平均值的标准偏差 答：D 13. 某人测定一个试样结果应为 30.68%，相对标准偏差为 0.5%。后来发现计算公式的分子 误乘以 2，因此正确的结果应为 15.34%，问正确的相对标准偏差应为多少？ 解：根据 1 = − 100% x S Sr 得 100% 30.68% 0.5% =  S 则 S=0.1534% 当正确结果为 15.34%时， 100% 1.0% 15.34% 0.1534% 2 = 100% =  = − x S Sr 14. 测定某铜矿试样，其中铜的质量分数为 24.87%。24.93%和 24.69%。真值为 25.06%， 计算：（1）测定结果的平均值；（2）中位值；（3）绝对误差；（4）相对误差。 解：（1） 24.83% 3 24.87% 24.93% 24.69% = + + = − x （2）24.87% （3）  = − = 24.83% − 25.06% = −0.23% − a x T （4） = 100% = −0.92% T E E a r 15. 测定铁矿石中铁的质量分数（以 WFe2O3 表示），5 次结果分别为：67.48%，67.37%， 67.47%，67.43%和 67.40%。 计算：（1）平均偏差（2）相对平均偏差 （3）标 准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差

67.48% + 67.37%+67.47%+67.43% +67.40%= 67.43%解：（1）50.05%+0.06%+0.04%+0.03%=0.04%50.04%d(2) d.×100%x100%=0.06%67.43%xEa(0.05%)2 + (0.06%)2 + (0.04%) + (0.03%)2=0.05%(3)Sn-15-1S0.05%(4) S.-×100%×100%=0.07%67.43%x（5）Xm=X*-X小=67.48%-67.37%=0.11%16.某铁矿石中铁的质量分数为39.19%，若甲的测定结果（%）是：39.12，39.15，39.18；乙的测定结果（%）为：39.19，39.24，39.28。试比较甲乙两人测定结果的准确度和精密度（精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之）。x39.12%+39.15%+39.18%=39.15%解：甲：Xx1=3nEal= x-T=39.15%39.19%=0.04%Zdi(0.03%)2 +(0.03%)2S=0.03%3-1n-1S,0.03%S.×100%x100%=0.08%39.15%x39.19%+39.24%+39.28%=39.24%Z:x,3E2=x=39.24%-39.19%=0.05%Zd?(0.05%)2+(0.04%)2S,=0.05%3-1S.0.05%×100%x100% = 0.13%Sr, =39.24%X2由上面Eai<Eaz可知甲的准确度比乙高。Si<S2、Sri<Sr2可知甲的精密度比乙高。综上所述，甲测定结果的准确度和精密度均比乙高。17.现有一组平行测定值，符合正态分布（u=20.40，α2=0.042)。计算：（1）x-20.30和x=20.46时的u值；（2）测定值在20.30-20.46区间出现的概率。X-μ得解：（1）根据1 =a9

9 解：（1） 67.43% 5 67.48% 67.37% 67.47% 67.43% 67.40% = + + + + = − x  = + + + = = − 0.04% 5 0.05% 0.06% 0.04% 0.03% | | 1 di n d （2） 100% 0.06% 67.43% 0.04% = 100% =  = − − x d dr （3） 0.05% 5 1 (0.05%) (0.06%) (0.04%) (0.03%) 1 2 2 2 2 2 = − + + + = − =  n d S i （4） 100% 0.07% 67.43% 0.05% = 100% =  = − x S Sr （5）Xm=X 大-X 小=67.48%-67.37%=0.11% 16. 某铁矿石中铁的质量分数为 39.19%，若甲的测定结果（%）是：39.12，39.15， 39.18；乙的测定结果（%）为：39.19，39.24，39.28。试比较甲乙两人测定结果 的准确度和精密度（精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之）。 解：甲： 39.15% 3 39.12% 39.15% 39.18% 1 = + + =  = − n x x  1 = − = 39.15% − 39.19% = −0.04% − a x T 0.03% 3 1 (0.03%) (0.03%) 1 2 2 2 1 = − + = − =  n d S i − = x S Sr 1 1 100% 0.08% 39.15% 0.03% 100% =  = 乙： 39.24% 3 39.19% 39.24% 39.28% 2 = + + = − x  2 = = 39.24% − 39.19% = 0.05% − x a 0.05% 3 1 (0.05%) (0.04%) 1 2 2 2 2 = − + = − =  n d S i 100% 0.13% 39.24% 0.05% 100% 2 2 2 =  =  = − x S Sr 由上面|Ea1|<|Ea2|可知甲的准确度比乙高。 S1<S2﹑Sr1<Sr2 可知甲的精密度比乙高。 综上所述，甲测定结果的准确度和精密度均比乙高。 17. 现有一组平行测定值，符合正态分布（μ=20.40，σ 2 =0.042）。计算：（1）x=20.30 和 x=20.46 时的 u 值；（2）测定值在 20.30 -20.46 区间出现的概率。 解：（1）根据  −  = x u 得

20.30-20.4020.46-20.40-2.5=1.5u=u,=0.040.04(2) ul=--2.5u2=1.5，由表3—1查得相应的概率为0.4938，0.4332则P(20.30<x<20.46)=0.4938+0.4332=0.927018.已知某金矿中金含量的标准值为12.2gtl（克·吨-），8=0.2，求测定结果大于11.6的概率。x-μ_11.6-12.22元-3解：u0.2a查表3-1，P=0.4987故，测定结果大于11.6gt的概率为：0.4987+0.5000=0.998719.对某标样中铜的质量分数（%）进行了150次测定，已知测定结果符合正态分布N（43.15，0.233）。求测定结果大于43.59%时可能出现的次数。u=X-μ_ 43.59-43.15解：~1.90.23a查表3-1，P=0.4713故在150次测定中大于43.59%出现的概率为：0.5000-0.4713=0.0287因此可能出现的次数为150×0.0287=4（次）20.测定钢中铬的质量分数，5次测定结果的平均值为1.13%，标准偏差为0.022%。计算：（1）平均值的标准偏差；（2）μ的置信区间；（3）如使u的置信区间为1.13%土0.01%，问至少应平行测定多少次？置信度均为0.95。_0.022%~0.01%解：(1)0. =n5（2）已知P=0.95时，u=±1.96，根据μ=xtuo得μ=1.13%±1.96×0.01%=1.13%±0.02%钢中铬的质量分数的置信区间为1.13%土0.02%S(3）根据μ=X±1p0：=±元s=±0.01%得x=0.01%t=0.5已知s=0.022%，故Vn0.022%2.090.5查表3-2得知，当f=n-1=20时，to.95.20=2.09此时V21即至少应平行测定21次，才能满足题中的要求。21.测定试样中蛋白质的质量分数（%），5次测定结果的平均值为：34.92，35.11，35.01，35.19和34.98。（1）经统计处理后的测定结果应如何表示（报告n，x和s）？10

10 u1= 2.5 0.04 20.30 20.40 = − − 1.5 0.04 20.46 20.40 2 = − u = （2）u1=-2.5 u2=1.5 . 由表 3—1 查得相应的概率为 0.4938，0.4332 则 P(20.30≤x≤20.46)=0.4938+0.4332=0.9270 18. 已知某金矿中金含量的标准值为 12.2g•t -1（克·吨-1），δ=0.2，求测定结果大于 11.6 的概率。 解：  −  = x u = 3 0.2 11.6 12.2 = − − 查表 3-1，P=0.4987 故，测定结果大于 11.6g·t-1 的概率为： 0.4987+0.5000=0.9987 19. 对某标样中铜的质量分数（%）进行了 150 次测定，已知测定结果符合正态分布 N（43.15，0.23²）。求测定结果大于 43.59%时可能出现的次数。 解：  −  = x u = 1.9 0.23 43.59 43.15  − 查表 3-1，P=0.4713 故在 150 次测定中大于 43.59%出现的概率为： 0.5000-0.4713=0.0287 因此可能出现的次数为 150  0.0287  （次） 4 20. 测定钢中铬的质量分数，5 次测定结果的平均值为 1.13%，标准偏差为 0.022%。 计算：（1）平均值的标准偏差；（2）μ的置信区间；（3）如使μ的置信区间为 1.13% ±0.01%，问至少应平行测定多少次？置信度均为 0.95。 解：（1） 0.01% 5 0.022% − = =  x n   （2）已知 P=0.95 时， u = 1.96 ，根据 =  − − x  x u 得  = 1.13% 1.96 0.01% = 1.13%  0.02% 钢中铬的质量分数的置信区间为 1.13% 0.02% （3）根据 n s x t s x t p f x =  p, f =  , − −  − 得 − =  , = 0.01% − n s x t  p f 已知 s = 0.022% ， 故 0.5 0.022% 0.01% = = n t 查表 3-2 得知，当 f = n −1 = 20 时， t 0.95,20 = 2.09 此时 0.5 21 2.09  即至少应平行测定 21 次，才能满足题中的要求。 21. 测定试样中蛋白质的质量分数（%），5 次测定结果的平均值为：34.92，35.11， 35.01，35.19 和 34.98。（1）经统计处理后的测定结果应如何表示（报告 n，x 和 s）？