射线方程的解 用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程,射 线方程一般形式为 (2.7 as 式中,p为特定光线的位置矢量,s为从某一固定参考点起 的光线长度。选用圆柱坐标(r,O,z),把渐变型多模光纤的子午 面(r-z)示于图25。 如式(26)所示,一般光纤相对折射率差都很小,光线和中 心轴线z的夹角也很小,即sine≈0。由于折射率分布具有圆对称 性和沿轴线的均匀性,n与9和z无关。在这些条件下,式(27) 可简化为 2
式中，ρ为特定光线的位置矢量， s为从某一固定参考点起 的光线长度。选用圆柱坐标(r, φ，z)，把渐变型多模光纤的子午 面(r - z)示于图2.5。 如式(2.6)所示，一般光纤相对折射率差都很小，光线和中 心轴线z的夹角也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圆对称 性和沿轴线的均匀性，n与φ和z无关。在这些条件下， 式(2.7) 可简化为 dr dn dz d r n dz dr n dz d = = 2 2 ( ) (2.8) 射线方程的解 用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程， 射 线方程一般形式为 n ds d n ds d ( ) = (2.7)
纤芯m(r) 图2.5渐变型多模光纤的光线传播原理
图 2.5 渐变型多模光纤的光线传播原理 o i dz r i r m p 纤 芯n(r) r * z r 0 dr
把式(26)和g-2代入式(28)得到 2△r 2△r dz (29 解这个二阶微分方程,得到光线的轨迹为 r(z=Csin(Az)+C2 Cos(Az) (2.10) 式中,A=√2△/a,C1和C2是待定常数,由边界条件确定。 设光线以从特定点(=0,r=)入射到光纤,并在任意点(,r)以 θ*从光纤射出。 由方程(2.10)及其微分得到 (=0)=r C a dz (2.11)
解这个二阶微分方程， 得到光线的轨迹为 r(z)=C1 sin(Az)+C2 cos(Az) (2.10) 式中，A= ， C1和C2是待定常数，由边界条件确定。 设光线以θ0从特定点(z=0, r=ri )入射到光纤，并在任意点(z, r)以 θ*从光纤射出。 由方程(2.10)及其微分得到 2 / a 2 2 2 2 2 [1 ( ) ] 2 2 a r a r a r dz d r − − − = (2.9) C2= r (z=0)=ri C1= ( 0) 1 z = dz dr A (2.11) 把式(2.6)和g=2代入式(2.8)得到
由图25的入射光得到dr/dz=tanO≈;≈60m0)=m(0),把这 近似关系代入式(2.11)得到 An(r) 把C1和C2代入式(210)得到 r2=rcos(Az)+ sin( az) (212a) An(r) 由出射光线得到dd=-tan≈伏0*m(),由这个近似关系 和对式(2.10)微分得到 B*=-An(r)rsin(az)+Bo Cos(az) (2.12b) 取n(r)≈mn(O),由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为
由图2.5的入射光得到dr/dz=tanθi≈θi≈θ0 /n(r)≈θ0 /n(0)， 把这 个近似关系代入式 (2.11) 得到 由出射光线得到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)，由这个近似关系 和对式(2.10)微分得到 θ*=-An(r)ri sin(Az)+θ0 cos(Az) (2.12b) 取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为 ( ) 0 1 An r C = i C = r 2 把C1和C2代入式(2.10)得到 r(z)=ricos(Az)+ sin( ) ( ) 0 Az An r (2.12a)
COS(AZ sin(az) An(0) An(o) sin(az) COS(Az) 这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据
r θ* = cos(Az) -An(0) sin(Az) cos(Az) sin( ) (0) 1 AZ An r1 0 这个公式是第三章要讨论的自聚焦透镜的理论依据。 (2.13)