第_周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第四章：根轨迹法授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】熟悉和掌握根轨迹法的基本概念，根轨迹的绘制方法。了解用根轨迹法分析系统的暂态特性。【重点】根轨迹的绘制。闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，求解困难。1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法一一根轨迹法。在开环零、极点分布已知的情况下，绘制闭环极点随系统参数变化而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。用途：①对系统的性能进行分析；②确定系统应有的结构、参数；③进行设计和综合。41根轨迹的基本概念一、根轨迹图1.定义：根平面：在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为kg）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。2.用解析法绘制根轨迹已知：R(s)C(s)K$(0.5s + 1)Kk2Kk.=2K系统开环传递函数G(s) =s(0.5s +1)s(s + 2)s(s + 2)p2=-2开环有两个极点：pl=0，开环没有零点。闭环特征方程为：D(s) =s2 +2s + kg =0, =-1+/1-k, ; s, =-1-/1-k解得闭环特征根（亦即闭环极点）可见，当kg变化，两个闭环极点也随之连续变化。当kg从0-→8变化时，描点作出两个闭环极点的变化轨迹（1）当kg=0时，s1=0、s2=一2，此时闭环极点就是开环极点。（2）当0<kg<1时，sl、s2均为负实数，且位于负实轴的（一2，0）一段上。（3）当kg=1时，s1=s2=一1，两个负实数闭环极点重合在一起。jJk,-i
课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第四章：根轨迹法 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】熟悉和掌握根轨迹法的基本概念，根轨迹的绘制方法。了解用根轨迹法分析系统的 暂态特性。 【重 点】根轨迹的绘制。 ⚫ 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系 统其特征方程一般为高阶，求解困难。 ⚫ 1948 年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法——根轨迹法。 ⚫ 在开环零、极点分布已知的情况下，绘制闭环极点随系统参数变化而在 s 平面上移动的轨迹 （根轨迹）。 ⚫ 用途：① 对系统的性能进行分析； ② 确定系统应有的结构、参数； ③ 进行设计和综合。 4．1 根轨迹的基本概念 一、根轨迹图 1.定义： 根平面：在一个复平面（s 平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复 平面就称为根平面。 根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为 kg）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的 轨迹。 2.用解析法绘制根轨迹 已知： 系统开环传递函数 开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 闭环特征方程为： D(s) = s2 +2s + kg = 0 解得闭环特征根（亦即闭环极点） ； 可见，当 kg 变化，两个闭环极点也随之连续变化。 当 kg 从 0→∞变化时，描点作出两个闭环极点的变化轨迹 （1）当 kg = 0 时，s1 = 0、s2 = －2，此时闭环极点就是开环极点。 （2）当 0＜kg＜1 时，s1、s2 均为负实数，且位于负实轴的（－2，0） 一段上。 （3）当 kg = 1 时，s1 = s2 = －1，两个负实数闭环极点重合在一起。 ( 2) ( 2) 2 (0.5 1) ( ) + = + = + = s s k s s K s s K G s g k g = 2K g s = −1− 1− k k g 2 s1 = −1+ 1− j k g −1
(4）当1<kg<8时，sl2=-1±，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2的实部不随kg变化，其位于过（一1，0）点且平行于虚袖的直线上。（5）当kg=80时，sl=—1+j°0、s2=—1-j°0，此时sl、s2将趋于无限远处。 ja[s]112jk-3k2+i*=0！k=0a?0-17-2k—2k0.5-jk-32j11可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能：（1）根轨迹增益kg从0→时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的kg值下系统都是稳定的。（2）当0<kg<1时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。（3）当kg=1时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。（4）当kg>1时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，其阶跃响应为衰减的振荡过程。（5）有一个为0的开环极点，系统为型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。由上述分析过程可知，通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨迹图，这对高阶系统将是很紧重的和不现实的。为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。二、根轨迹方程绘制根轨迹的实质，在于在s平面寻找闭环特征根的位置。C(s)R(s)XG(s)H(s)G(s)C(s)闭环传递函数为Φ(s):R(s)1+G(s)H(s)闭环特征方程为l+G(s)H(s)=0即G,(s)=-1k,(s+z)m个开环零点n个开环极点（根轨迹方程）Gk(s)=-kg：根轨迹增益(s+ p,)j=l.在s平面上凡是满足上式的任意一个点s1、s2、...、s8o，都是闭环特征根，即闭环极点。三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程：s=α+jの为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。k,/(s+z,)=-1Gx(s)=I(s+ p,)i=l
（4）当 1＜kg＜∞时，s1，2 =－1± ，两个闭环极点变为一对共轭复数极点。s1、s2 的实部不随 kg 变化，其位于过（－1，0）点且平行于虚袖的直线上。 （5）当 kg＝∞时， s1 = －1+ j∞、s2 = －1－j∞，此时 s1、s2 将趋于无限远处。 可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益 kg 从 0→∞时，根轨迹均在 s 平面左半部，在所有的 kg 值下系统都是稳定的。 （2）当 0<kg< 1 时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （3）当 kg=1 时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （4）当 kg>1 时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为 0 的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差 ess 为零。 由上述分析过程可知，通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进 行分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨迹图，这对高阶系统将 是很繁重的和不现实的。为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系， 通过开环传递函数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的。 二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于在 s 平面寻找闭环特征根的位置。 闭环传递函数为 闭环特征方程为 即 m 个开环零点 n 个开环极点 （根轨迹方程） kg：根轨迹增益 ∴在 s 平面上凡是满足上式的任意一个点 s1、s2、.、 s∞，都是闭环特征根，即闭环极点。 三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程 ∵ 为复数，故根轨迹方程是一个向量方程。 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) C s G s s R s G s H s = = + 1+ G(s)H(s) = 0 GK (s) = −1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + = = = n j j m i g i K s p k s z G s s = + j 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 = − + + = = = n j j m i g i K s p k s z G s
幅值条件：e2ls+p,i=lEZ(s +z)-Z(s+p,)=(2k+1)元k=0,±1,±2,..相角条件：台j=l相角条件方程和kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。四、幅值条件和相角条件应用1.用相角条件求根轨迹（试探法）相角条件：≥4($+=,)-2(s+P,)=(2k+1)元k=0，±1,±2，..-1i=l例：已知系统的开环传递函数如下，试判断s(-1,jl)，s,(-0.5,-jl)是否在根轨迹上。kgGk(s) =s(s+ 1)解：sl：(s+z.)-ZZ(s + p,) = 0- Z(s + p)-Z(s + p2)==Zs, - 2(s +1)Zi=1=-135°-90°=225°不符合相角条件，s1不在根轨迹上。2: 0-2(s2 + p)-Z(s, + p,)=-(-116.6)-(-63.4°)=180°满足相角条件，s2在根轨迹上。2.用幅值条件确定kg的值幅值条件：s+p,Js+ps+pa.s+p,|_各开环极点至测试点向量长度之积Ks+zs+=2.s+zm各开环零点至测试点向量长度之积/s+≥/=例：求上例中根轨迹上s2(-0.5,-jl)点对应的kg。解：k, =|s, + pl/s + p2| =|-0.5- j +0-0.5- j+1|=1.118×1.118=1.25s2+pl、[s2+p2|也可以用直尺测量向量的长度。4.2绘制根轨迹的基本规则由开环零、极点→当kg为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。一、连续性1+Gk(s)=0是kg或其它参数的连续函数。当kg从0-+连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。二、对称性：线性系统特征方程系数均为实数，：闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根），根轨迹对称于实轴。三、根轨迹的分支数
( ) ( 1) g K k G s s s = + 2 1 2 2 0 ( ) ( ) ( 116.6 ) ( 63.4 ) 180 − + − + = − − − − = s p s p 2 1 2 2 0.5 0 0.5 1 1.118 1.118 1.25 g k s p s p j j = + + = − − + − − + = = 幅值条件： 相角条件： 相角条件方程和 kg 无关，s 平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值 条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的 kg 时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹 的充分必要条件。 四、幅值条件和相角条件应用 1.用相角条件求根轨迹（试探法） 相角条件： 例：已知系统的开环传递函数如下，试判断 ， 是否在根轨迹上。 解：s1： 不符合相角条件， s1 不在根轨迹上。 s2： 满足相角条件， s2 在根轨迹上。 2. 用幅值条件确定 kg 的值 幅值条件： 例：求上例中根轨迹上 点对应的 kg 。 解： 、 也可以用直尺测量向量的长度。 4．2 绘制根轨迹的基本规则 由开环零、极点→当 kg 为可变参数时，闭环极点的变化轨迹。 一、连续性 是 kg 或其它参数的连续函数。 当 kg 从 0→+∞连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。 二、对称性 ∵线性系统特征方程系数均为实数，∴闭环极点均为实数或共轭复数（包括一对纯虚根）， 根轨迹对称于实轴。 三、根轨迹的分支数 1 1 1 = + + = = n j j m i g i s p k s z = = + − + = + m i n j i j s z s p k 1 1 ( ) ( ) (2 1) k = 0，1， 2， = = + − + = + m i n j i j s z s p k 1 1 ( ) ( ) (2 1) k = 0，1， 2， ( 1, 1) 1 s − j ( 0.5, 1) 2 s − − j = = + − + m i n j i pj s z s 1 1 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 1 1 1 p2 = − s + p − s + ( 1) = −s1 − s1 + = −135 −90 = −225 1 2 1 2 1 1 各开环零点至测试点向量长度之积 各开环极点至测试点向量长度之积 = + + + + + + = + + = = = m n m i i n j j g s z s z s z s p s p s p s z s p k ( 0.5, 1) 2 s − − j 2 p2 s2 + p1 s + 1+GK (s) = 0
开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环数都为n个，当kg从0→+o变化时，n个根在s平面上连续形成n条根轨迹。条根轨迹对应一个闭环极点随kg的连续变化轨迹。根轨迹的分支数=系统的阶数四、根轨迹的起点和终点由幅值条件有：/s+z,n≥mK/s+p1.起点：kg=0，等式右边=8o，仅当s=-p,(j=1,2,",n）成立..n条根轨迹起始于系统的n个开环极点。2.终点：kg=80，等式右边=0①当s=-zi=1,2,.,m）成立，m条根轨迹终止于m个开环零点处；②由于>m时，只有s→8处s"=lim1方程左边=lim=05-→0 g" 5-0 51-m.另外n一m条根轨迹终止于处（土，相角可为任意方向）。结论：根轨迹以n个开环极点为起点；以m个开环零点为终点，另外n一m条根轨迹终止于无穷远处。五、实轴上的根轨迹①（s+pz）(s,+p3）两向量对称于实轴，引起的io5平面相角大小相等、方向相反；（s+z,）、（s,+=）两向量也对称于实轴，引起1-00的相角大小相等、方向相反判断s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。0-PP②位于s1左边的实数零、极点(s,+z）、（s+p4)向量引起的相角为0°8：判断s1是否落在根轨迹上，位于sI左边的零、R.Jo.-Ps极点不考虑。23③位于s1右边的实数零、极点：每个零、极点提供180°相角，其代数和为奇数，则满足相角条件。结论：s1右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则s1位于根轨迹上。六、根轨迹的渐近线若n>m，当kg从0+时，有(n-m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角9，截距为-O。的一组渐近线趋向无穷远处。= ±180(2k+1)k=0,1,2…．取够n-m个夹角n-m与实轴交点的坐标：Z(-p,)-E(-z,)开环极点和-开环零点和i=lj=lOan-mn-m仅当s足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近，kg→α，根轨迹才与渐近线重合
开环传递函数为 n 阶，故开环极点和闭环数都为 n 个，当 kg 从 0→+∞变化时，n 个根在 s 平面上连续形成 n 条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随 kg 的连续变化轨迹。 根轨迹的分支数=系统的阶数 四、 根轨迹的起点和终点 由幅值条件有： 1.起点：kg=0，等式右边= ∞，仅当 成立 ∴n 条根轨迹起始于系统的 n 个开环极点。 2.终点：kg= ∞ ，等式右边=0 ①当 成立，m 条根轨迹终止于 m 个开环零点处； ②由于 n>m 时，只有 s→ ∞处 ∴另外 n－m 条根轨迹终止于∞处（±∞，相角可为任意方向）。 结论：根轨迹以 n 个开环极点为起点；以 m 个开环零点为终点，另外 n－m 条根轨迹终止于无穷 远处。 五、实轴上的根轨迹 ① 、 两向量对称于实轴，引起的 相角大小相等、方向相反； 、 、 两向量也对称于实轴，引起 的相角大小相等、方向相反 ∴判断 s1 是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。 ② 位于 s1 左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为 0° ∴判断 s1 是否落在根轨迹上，位于 s1 左边的零、 极点不考虑。 ③ 位于 s1 右边的实数零、极点： 每个零、极点提供 180°相角，其代数和为奇数，则满足相角 条件。 结论：s1 右边的实数零、极点（开环）个数的总和为奇数，则 s1 位于根轨迹上。 六、根轨迹的渐近线 若 n>m，当 kg 从 0→+∞时，有(n–m)条根轨迹分支沿着实轴正方向夹角θ，截距为 的 一组渐近线趋向无穷远处。 与实轴交点的坐标： 仅当 s 足够大时，根轨迹才向渐近线逐渐逼近， kg→∞，根轨迹才与渐近线重合。 1 1 1 m i i n g j j s z n m K s p = = + = + s p ( j 1,2, ,n) = − j = s z (i 1,2, ,m) = − i = 0 1 = lim = lim = − → → n m s n m s s s s 方程左边 ( ) 1 p2 s + ( ) 1 p3 s + ( ) 1 2 s + z ( ) 1 3 s + z ( ) 1 1 s + z ( ) 1 p4 s + ( ) k 取够n m个夹角 n m k = − − + = 0,1,2, 180 2 1 n m n m p z n j m i j i a − − = − − − − − = =1 =1 开环极点和 开环零点和 ( ) ( ) − a
例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定s平面上根轨迹的渐近线方向。k,(s+1)Gx(s) =s(s+4)(s +2s+2)jo解：开环极点：-pi=0,-p2=-1+jl,-p=-1-jl,-p4=-4s平面开环零点：-2=-1n-m=33条趋于无穷远处-0, =- (0)+(-1+J)+(-1-J)-(-1) _ - 5413O截距0A?60°k=0180(2k+1)= 180 (2k +1)180°k=13n-m300°k=22夹角七、根轨迹的分离点和会合点tjco1.分析：1.如图，(-00,-z,][-P1,-,]为实轴上的根轨迹两条根轨迹分别由-P和-P出发，随-P2-2Pg的增大，会合于a点继而又分开，离开实轴，a0h进入复平面，再回到实轴，会合于b点再离开，一条终止于一Z，，另一趋于负无穷远处。若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般多出现在实轴上。2.规律：①若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点；②若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点：③若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。土180°在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角3.求分离角（会合角)）：0.=1为相分离的根轨迹分支数4.分离点的求取①重根法[A(s)=0特征方程：A(s)=0具有重根，则A(s)=0kg I(s +z)N(s)Gk (s)kgD(s)(s +pj)N(S)=0特征方程：1+kD(s)D(s)+ k_N(s)= 0A(s)= D(s)+k,N(s)= 0A'(s)= D(s)+ k,N'(s)= 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 D s N s k s p k s z G s n g j j m i g i K = + + = = = 例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定 s 平面上根轨迹的渐近线方向。 解：开环极点： 开环零点： 3 条趋于无穷远处 截距 夹角 七、根轨迹的分离点和会合点 1.分析：1.如图， ， 为实轴 上的根轨迹 两条根轨迹分别由 和 出发，随 kg 的增大，会合于 a 点继而又分开，离开实轴， 进入复平面，再回到实轴，会合于 b 点再离开， 一条终止于 ，另一趋于负无穷远处。 若两条根轨迹在复平面上的某一点相遇 后又分开，称该点为根轨迹的分离点或会合点。此点对应于二重根（实根和共轭复数根）。一般 多出现在实轴上。 2.规律：① 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点； ② 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点； ③ 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也 可能都没有。 3.求分离角（会合角）： 在分离点（会合点）上，根轨迹切线与正实轴的夹角 l 为相分离的根轨迹分支数 4. 分离点的求取 ① 重根法 特征方程： 具有重根，则 特征方程： ( ) ( )( ) 2 ( 1) 4 2 2 g K k s G s s s s s + = + + + − p1 = 0,−p2 = −1+ j1,−p3 = −1− j1,−p4 = −4 − z1 = −1 n−m = 3 3 5 4 1 (0) ( 1 1) ( 1 1) ( 1) = − − + − + + − − − − − = − j j a ( ) ( ) = = = = + = − + = 300 2 180 1 60 0 3 180 2 1 180 2 1 k k k k n m k ( , ] 1 − −z [ , ] −p1 −p2 − p1 2 − p 1 − z l d = 180 A(s) = 0 ( ) ( ) = = 0 0 A s A s 0 ( ) ( ) 1+ = D s N s kg D(s) + kgN(s) = 0 ( ) ( ) = + = = + = ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 A s D s k N s A s D s k N s g g