《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第二章自动控制系统的数学模型.doc

第周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第二章：自动控制系统的数学模型授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解控制系统微分方程的编写，掌握传递函数的概念，熟悉结构图的等效变换和控制系统传递函数的求取、信号流图求传递函数。【重点】求传递函数。研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（MathematicalModel)。描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。经典控制理论中常用的数学模型有时域（TimeDomain）模型一微分方程，复频域（ComplexFrequencyDomain）模型一传递函数、动静态框图，频域（FrequencyDomain）模型一频率特性、Bode图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统概念、指标体系等易手人们理解和使用，但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。2.1控制系统的微分方程的编写一、微分方程的建立控制系统中的输出量和输入量通常都是时间t的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。建立系统微分方程的一般步骤或方法1.分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量）

课程名称：《自动控制原理》第周，第讲次摘要授课题目（章、节）第二章：自动控制系统的数学模型本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解控制系统微分方程的编写，掌握传递函数的概念，熟悉结构图的等效变换和控制系统传递函数的求取、信号流图求传递函数。【重点】求传递函数。研究一个自动控制系统，除定性了解组成系统各元件或环节的功能，以及它们之间的相互关系、工作原理以外，还必须定量分析系统的动、静态（稳态）过程，才能从本质上把握住系统的基本性能。描述系统性能的数学表达式，称为系统的数学模型（Mathematical Model）。描述系统动态及稳（静）态性能的数学表达式分别称为动态及稳（静）态模型。经典控制理论中常用的数学模型有时域（Time Domain）模型—微分方程，复频域（Complex Frequency Domain）模型—传递函数、动静态框图，频域（Frequency Domain）模型—频率特性、 Bode 图等。这些数学模型一般都是可以相互转换的。它们是经典控制理论中常用的时域分析方法、频域分析方法等研究系统的数学工具。通过时域分析方法，可以得到控制系统的时域响应曲线，它直观地反映了系统的动态过程，同时，它建立起来的系统慨念、指标体系等易于人们理解和使用。但是，一个控制系统的微分方程往往是高阶的微分方程式，求解这类方程式较困难。同时，通过时域解很难找出微分方程式系数（它们取决组成系统的元件的参数）对方程解的影响的一般规律。因而，使得控制系统的分析和校正较为困难。所以，人们往往通过建立频域和时域之间的联系来达到，通过频域法间接地达到分析和校正控制系统的目的。系统的数学模型可以用解析法或实验法建立。解析法适用于对系统中各元件的物理、化学等性质比较清楚的情况。根据系统的实际结构参数，从系统各元件所依据的物理、化学等规律出发建立系统的数学模型。如果不了解系统的运动规律，则应使用实验法建立数学模型，即：在系统或元件的输入端加入一定形式的输入信号，再根据测量的输出响应建立其数学模型。用解析法建立系统的数学模型时，应合理地简化其数学模型。模型过于简单，会使分析结果误差太大；模型过于复杂，则会导致分析计算上的困难。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。本章只讨论解析法建立系统的数学模型。 2．1 控制系统的微分方程的编写一、微分方程的建立控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为系统的阶数。建立系统微分方程的一般步骤或方法： 1．分析元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量（必要时还要考虑扰动量）

对后一回路，有且u。i.d由上三式消去中间变量il和i2，整理即得ui和uo之间动态关系的微分方程d'u.du +(RC, + R,C, +R,C,)o+u=uRCRCdt?dt由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应（或前一部分对后一部分的电源效应)。这反映在流过前一回路电容C1的电流上，没有后一回路时为il，而当串联上后一回路则为i1一12。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。如果在上述两个RC电路之间引入一个输入阻抗很高的隔离放大器，则可忽略它们之间的负载效应。这种方法在组合电路中经常采用，这也正是电气系统的一个优点。机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。例 2-3一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图2-3所示。m为物体质量，k为弹簧系数，为粘性阻尼系数，外力F(t)为输入量，位移x(t)为输出量。列写系统的运动方程。Z27/解在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为x、dx/dt、d’x/dt2。设外作用力F为输入量，位移x为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定K律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为d'xdxFkxmdt?dtdx(+ f d(+k(1)= F(0)即mxdt?dtk和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反：粘性摩擦力的方向和速度的方向相77777反。比较例2-1和例2-3可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例2-1的RLC串联网络系统和例2-3的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真研究。2.2传递函数一、传递函数的概念和定义?一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。.传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影

对后一回路，有且由上三式消去中间变量 i1 和 i2，整理即得 ui 和 uo 之间动态关系的微分方程由上例明显看出，系统中后一部分对前一部分的负载效应(或前一部分对后一部分的电源效应)。这反映在流过前一回路电容 C1 的电流上，没有后一回路时为 i1，而当串联上后一回路则为 i1 – i2。从能量的角度看，负载效应就是后一回路带走了前一回路的一部分能量。从信息传递的角度看，负载效应就是系统的两个部分之间所存在的信息的内部直接反馈作用。如果在上述两个 RC 电路之间引入一个输入阻抗很高的隔离放大器，则可忽略它们之间的负载效应。这种方法在组合电路中经常采用，这也正是电气系统的一个优点。机械系统机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移）和转动（相应的位移称为角位移）两种。例 2-3 一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图 2-3 所示。m 为物体质量，k 为弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力 F(t)为输入量，位移 x(t)为输出量。列写系统的运动方程。解在物体受外力 F 的作用下，质量 m 相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为 x、dx/dt、d 2x/dt2。设外作用力 F 为输入量，位移 x 为输出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为即 k 和 f 分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。比较例 2-1 和例 2-3 可见，虽然它们为两种不同的物理系统，但它们的数学模型的形式却是相同的，我们把具有相同数学模型的不同物理系统称为相似系统，例如例 2-1 的 RLC 串联网络系统和例 2-3 的弹簧-质量-阻尼器系统即为一对相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相似量。相似系统揭示了不同物理现象之间的相似性，可以进行仿真研究。 2．2 传递函数一、传递函数的概念和定义 ⚫ 一个控制系统性能的好坏，取决于系统的内在因素，即系统的结构参数，而与外部施加的信号无关。因而，对于一个控制系统品质好坏的评价可以通过对系统结构参数的分析来达到，而不需要直接对系统输出响应进行分析。 ⚫ 传递函数是在拉氏变换基础之上引入的描述线性定常系统或元件输入、输出关系的函数。它是和微分方程一一对应的一种数学模型，它能方便地分析系统或元件结构参数对系统响应的影 =  i dt C u o 2 2 1 o i o o u u dt du RC R C RC dt d u RC R C + ( 1 1 + 2 2 + 1 2 ) + = 2 2 1 1 2 2 x m F k kx dt dx F f dt d x m = − − 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 kx t F t dt dx t f dt d x t m + + =

响。 ⚫ 当初始条件为零时，线性定常系统或元件输出信号 c（t）的拉氏变换式与输入信号 r（t）的拉氏变换式之比，称为该系统或元件的传递函数，记为 G（s），即：控制系统微分方程式的一般形式为：设 r（t）、c（t）初始条件为零，并对上式进行拉氏变换，经整理得： M（s）──传递函数的分子多项式； N（s）──传递函数的分母之多项式。二、传递函数的性质 1. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量怎样变化无关。 2. 传递函数还可以用下式表达：上式中 ──零极点形式传递函数的增益； ──分子多项式M=0的根，称为零点； ──分母多项式N=0的根，称为极点。 N（s）=0是控制系统的特征方程式，它与微分方程式的特征方程式一一对应。－zi、－pi可为实数或复数。注意，只有当上式中的分子及分母多项式间没有公因子时，传递函数的零、极点才会和系统的零、极点完全相同；分母多项式的阶次才代表系统的阶次。 3．传递函数还可用时间常数的形式来表示传递函数的求取 1. 直接计算法对于元件或简单系统，首先建立描述元件或系统的微分方程式，然后在零初始条件下，对方程式进行拉氏变换，即可按传递函数的定义求得元件或系统的传递函数。 2. 求取无源网络或电子调节器的传递函数，采用阻抗法求取更为方便。下表列出了电路中电阻、电容和电感的阻抗传递函数。     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R s C s L r t L c t G s = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 b r t dt dr t b dt d r t b dt d r t b a c t dt dc t a dt d c t a dt d c t a m m m m m m n n n n n n + ++ + + ++ + = − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 N s M s a s a s a s a b s b s b s b R s C s G s n n n n m m m m = + +  + + + +  + + = = − − − −   = = − − − − + + = + + + + + + + + =  n j j m i i n g n n m m m n m s p s z K s c s c s c s d s d s d a b G s 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( )   n m g a b k = z (i 1,2, ,m) − i =  p ( j 1,2, , n) − j =    = = − − − − + + =  +  + +  +  +  + +  + =  n j j m i i n n n n m m m m T s s K c s c s c s d s d s d s a b G s 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 ( 1) ( 1) 1 1 ( )   

元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数电阻RU(s)u(t) = Ri(t)Z(s)RI(s)电感Lu(t) = L di()U(s)Z(s)LsI(s)dt电容CU(s)+Z(s)u(t)I(s)Cs3.利用动态框图求取传递函数R对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。4.利用梅逊公式求取传递函数该方法将在后面讨论。。例2-5解法1求例2-1在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感L、电容C和电阻R，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令Z1=R+Ls，为电阻和电感的复数阻抗之和：为电容的复数1阻抗。则1Z,U.(s)CsG(s) =U(s)LCs2+ RCs +1Z + Z,1R+ Ls +Cs解法2例2-1的RLC串联电路的微分方程为~d'u.(l)++ Rc d,@ + 1,()= u()LCdt?dt当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为1U.(s)G(s)U,(s)LCs2+ RCs +1三、典型环节的传递函数S若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态性能时，通常称这种简单形式为典型环节（TypicalElements）。控制系统中有许多结构性质不同的元件，只要它们的数学模型的形式相同，则其动态性能也必然存在内在的联系，因而可以把它们归成一类，以有利于研究系统内部各单元之间的动态关系。控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。同时，基于环节的定义，一个元福件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节。典型环节都可以用功能框（FunctionBlock）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。1.比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无Y(s)失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为=KG(s)X(s)

3. 利用动态框图求取传递函数对于复杂系统，应先求出元件的传递函数，再利用动态框图和框图运算法则，可方便地求解系统的传递函数。该方法将在后面讨论。 4. 利用梅逊公式求取传递函数该方法将在后面讨论。例 2-5 解法 1 求例 2-1 在推导电网络的传递函数时，对于无源元件电感 L、电容 C 和电阻 R，分别用它们的复阻抗求解往往是比较简便的。令 Z1=R+Ls，为电阻和电感的复数阻抗之和；为电容的复数阻抗。则解法 2 例 2-1 的 RLC 串联电路的微分方程为当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为三、典型环节的传递函数 ⚫ 若通过微分方程的最简单形式（如一阶或二阶微分方程式）描述元件或其中一部分的动态性能时，通常称这种简单形式为典型环节（Typical Elements）。 ⚫ 控制系统中有许多结构性质不同的元件，只要它们的数学模型的形式相同，则其动态性能也必然存在内在的联系，因而可以把它们归成一类，以有利于研究系统内部各单元之间的动态关系。 ⚫ 控制系统可视为由若干典型环节按一定方式组合而成。同时，基于环节的定义，一个元件可能是一个典型环节，但也可能包含数个典型环节，或者由数个典型环节构成一个环节。 ⚫ 典型环节都可以用功能框（Function Block）表示。功能框是用带框的图形符号（包含输入、输出信号间的功能关系）来表示功能相关的元件的组合体。 1．比例环节比例环节又称为放大环节，其输出量与输入量之间的关系成正比关系，既它的输出量能够无失真、无滞后地，按一定的比例复现输入量。其传递函数为 u(t) = Ri(t) dt di t u t L ( ) ( ) = =  i t dt C u t ( ) 1 ( ) R I s U s Z s = = ( ) ( ) ( ) Ls I s U s Z s = = ( ) ( ) ( ) I s Cs U s Z s 1 ( ) ( ) ( ) = = 电容C 电感L 电阻R 元件名称电路形式元件微分方程阻抗传递函数 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 + + = + + = + = = LCs RCs Cs R Ls Cs Z Z Z U s U s G s i o ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 u t u t dt du t RC dt d u t LC o i o o + + = 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 + + = = U s LCs RCs U s G s i o K X s Y s G s = = ( ) ( ) ( )

《自动控制原理》课程授课教案（讲稿）第二章 自动控制系统的数学模型

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