第周，第讲次课程名称：《自动控制原理》摘要第三章：自动控制系统的时域分析授课题目（章、节）本讲目的要求及重点难点：【目的要求】了解系统典型输入信号，一阶，二阶系统的阶跃响应，二阶系统的暂态特性分析，劳斯稳定判据的应用，稳态误差。【重点】劳斯稳定判据，二阶系统的暂态特性分析，稳态误差。●控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。·时域（TimeDomain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系统的微分方程或传递函数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输入作用下，自动控制系统时域响应（TimeResponse）的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线c()和性能指标（描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性）。·本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能。系统动态性能可以通过在典型输入信号作用下控制系统的过渡过程来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡过程。并对高阶系统的过渡过程作适当的介绍。3.1稳定性和代数稳定判据。设计控制系统时应满足的性能指标要求有很多，但首要的要求是系统在全部时间范围内必须能稳定工作。因为，一个控制系统一受到外界或内部扰动（如负载变化、电压波动等）就会偏离原来的工作状态：如果系统偏离平衡状态越来越远，当扰动消失后也不能恢复到原来的状态，显然这种系统是无法工作的，故稳定性是控制系统的重要性能，是系统能够正常工作的直要条件。.分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。.本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判定方法。一、稳定的概念任何控制系统在扰动作用下都会偏离平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性就是指系统.当扰动作用消失以后，由初始偏差状态恢复到平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。下图（a）所示，一个小球放在一个凹面上，原平衡位置在A点，当小球受到外力偏离A点，如移到B点，当外力消除之后，小球经过来回几次振荡，最终回到原平衡位置，则小球系统是稳定的；反之，图（b）所示，将小球放在一个凸面上A点，当小球受到外力，偏离原来的位置，外力消除之后小球也不能回到原来的位置，则小球系统是不稳定的。AOT1(b)(a)
课程名称：《自动控制原理》 第 周，第 讲次 摘 要 授课题目（章、节） 第三章：自动控制系统的时域分析 本讲目的要求及重点难点： 【目的要求】了解系统典型输入信号，一阶，二阶系统的阶跃响应，二阶系统的暂态特性分析， 劳斯稳定判据的应用，稳态误差。 【重 点】劳斯稳定判据，二阶系统的暂态特性分析，稳态误差。 ⚫ 控制系统的数学模型建立之后，就可以分析控制系统的性能。在经典控制理论中，常采 用时城分析法、根轨迹法或频率响应法来分析并综合线性定常系统的性能。 ⚫ 时域（Time Domain）分析法是在一定的输入条件下，根据描述系统的微分方程或传递函 数，使用拉氏变换直接求解在某种典型输入作用下，自动控制系统时域响应（Time Response）的表达式，从而得到控制系统直观而精确的输出时间响应曲线 c(t)和性能指标 （描述曲线来分析系统的稳定性、动态特性和稳态特性）。 ⚫ 本章的内容是分析研究控制系统的动态性能和稳态性能。系统动态性能可以通过在典型 输入信号作用下控制系统的过渡过程来评价，主要分析研究一阶系统、二阶系统的过渡 过程。并对高阶系统的过渡过程作适当的介绍。 3.1 稳定性和代数稳定判据 ⚫ 设计控制系统时应满足的性能指标要求有很多，但首要的要求是系统在全部时间范围内 必须能稳定工作。因为，一个控制系统一旦受到外界或内部扰动（如负载变化、电压波 动等）就会偏离原来的工作状态；如果系统偏离平衡状态越来越远，当扰动消失后也不 能恢复到原来的状态，显然这种系统是无法工作的，故稳定性是控制系统的重要性能， 是系统能够正常工作的首要条件。 ⚫ 分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。 ⚫ 本节主要研究线性定常系统稳定的概念、控制系统稳定的充要条件和稳定性的代数判 定方法。 一、稳定的概念 ⚫ 任何控制系统在扰动作用下都会偏离平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性就是指系统 当扰动作用消失以后，由初始偏差状态恢复到平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态， 就称系统是稳定的；若系统在扰动作用消失以后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大， 则称系统是不稳定的。 ⚫ 下图（a）所示，一个小球放在一个凹面上，原平衡位置在 A 点，当小球受到外力偏 离 A 点，如移到 B 点，当外力消除之后，小球经过来回几次振荡，最终回到原平衡位置， 则小球系统是稳定的；反之，图（b）所示，将小球放在一个凸面上 A´点，当小球受到 外力，偏离原来的位置，外力消除之后小球也不能回到原来的位置，则小球系统是不稳 定的
系统在扰动作用消失后，能够随着时间的推移恢复原平衡状态的稳定性，称为渐近稳定性。渐近稳定性是线性定常系统的一种特征。也就是说如果线性定常系统是稳定的，必定是渐近稳定的。·系统稳定性概念包括绝对稳定性与相对稳定性。绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度。二、线性定常系统稳定的充分必要条件上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲8(t），这时系统的输出增量为脉冲响应c()。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的问题。若t一>o0时，脉冲响应limc(t)=0t-o即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。1.推导设闭环传递函数KTI(s+z.)C(s)R(s) = L[s(t)]= 1Φ(s) =R(s)II(s+ p,)j=l则KTI(s+z.)KT(s+z,)nC(s) = Φ(s) =Za,e'Pytc(t)= L[(s)]= L/al(s+ p,)II(s+ p,)j=lj=lα,称为极点S=-P,处的留数limc(1)=0的充分必要条件是e-P"是衰减函数，P，具有负实部。2.线性系统稳定的充分必要条件系统特征方程的根（即系统的闭环极点）均为负实部和（或）具有负实部的共轭复数（也就是说，系统的全部闭环极点都在复数平面虚轴的左半部）。3.确定系统稳定的方法①一阶、二阶系统可以直接求解特征方程的根②确定具有全部负实部特征根的系统参数的范围（间接）劳斯、奈氏、伯德图三、劳斯稳定判据劳斯稳定判据是利用特征方程式的根与系数的关系，间接判断是否有位于复平面右半部的根，从而判别系统是否稳定。1.劳斯判据定理(RouthStabilityCriterion)设线性系统的特征方程为a,s"+a-s"-+..+a,s+a=0则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯阵的第一列的系数也为正值。劳斯阵的形式为
⚫ 系统在扰动作用消失后，能够随着时间的推移恢复原平衡状态的稳定性，称为渐近稳定 性。渐近稳定性是线性定常系统的一种特征。也就是说如果线性定常系统是稳定的，必 定是渐近稳定的。 ⚫ 系统稳定性概念包括绝对稳定性与相对稳定性。绝对稳定性是指系统稳定与否，而相对 稳定性是指在绝对稳定的前提下，系统稳定的程度。 二、线性定常系统稳定的充分必要条件 上述稳定性定义表明，线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。因 此，设线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲 ，这时系统的输出增量为脉冲 响应 。这相当于系统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡点的问题。若 时，脉 冲响应 即输出增量收敛于原平衡点，则线性系统是稳定的。 1.推导 设闭环传递函数 则 称为极点 处的留数 的充分必要条件是 是衰减函数， 具有负实部。 2.线性系统稳定的充分必要条件 系统特征方程的根（即系统的闭环极点）均为负实部和（或）具有负实部的共轭复数（也就是 说，系统的全部闭环极点都在复数平面虚轴的左半部）。 3.确定系统稳定的方法 ① 一阶、二阶系统可以直接求解特征方程的根 ② 确定具有全部负实部特征根的系统参数的范围（间接） 劳斯、奈氏、伯德图 三、劳斯稳定判据 劳斯稳定判据是利用特征方程式的根与系数的关系，间接判断是否有位于复平面右半部的根，从 而判别系统是否稳定。 1.劳斯判据定理(Routh Stability Criterion) 设线性系统的特征方程为 则线性系统稳定的充要条件为特征方程的全部系数为正值，并且由特征方程系数组成的劳斯 阵的第一列的系数也为正值。 劳斯阵的形式为 (t) c(t) t → lim ( ) = 0 c t t = = + + = = n j j m i i s p K s z R s C s s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R(s) = L (t) =1 = = + + = = n j j m i i s p K s z C s s 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = − = − − = = + + = = n j p t n j j j m i i j a e s p K s z c t L s L 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j a pj s = − lim ( ) = 0 c t t p t j e − − pj . 1 0 0 1 + 1 + + + = − a s a − s a s a n n n n
S4ana,-2a,-45-1an-1an-3a.-sSnbb,b,SnC,C,c5"-4d,d,d......s?ee,s'J.Sao劳斯阵的前两行由特征方程式的系数组成：第一行由第1、3、5....项系数组成：第二行由第2、4、6...项系数组成。以下各行系数由下列公式计算：aan- -a,an-sa.,an--a,an-7a.a.-,-a,an-3b. =b, =b,a,-1an-1an-1ba-- -b,an-ba-s -b,ar--ba-, -b,ar-lC, =C,=C=bb,b,在劳斯阵的第一行旁边注明s，第二行旁边注明s-1.。上述计算一直进行到第n行，即旁边注有s的行为止。劳斯阵的排列成倒三角形。B在展开劳斯阵列的过程中，可以用一个正整数去除或乘某一整行，不会改变所得的结论。结论：劳斯表第一列元素符号改变的次数为具有正实部根的个数。（右极点，不包括临界极点）劳斯阵计算过程中的两种特殊情况：1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行或不好判别。为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数。2)某行的各系数全为零这种情况下，劳斯表的计算工作也由于出现无穷大而无法继续进行。为了解决这个问题，可以利用各元为零的那一行的上一行各元作为系数，构成一个辅助方程，再用辅助方程求导一次后的系数来代替各元为零的那一行。辅助方程的解就是原特征方程的部分特征根，而且这部分特征根对称于原点，即必有虚根或右根。因此系统是不稳定的。例1已知三阶系统的特征方程如下，试确定系统稳定的充要条件。a,s+a,s+as+a=0
⚫ 劳斯阵的前两行由特征方程式的系数组成：第一行由第 1、3、5 .项系数组成；第二行由 第 2、4、6.项系数组成。以下各行系数由下列公式计算： ⚫ 在劳斯阵的第一行旁边注明 s n，第二行旁边注明 s n-1 .。上述计算一直进行到第 n 行，即 旁边注有 s 1 的行为止。劳斯阵的排列成倒三角形。 ⚫ 在展开劳斯阵列的过程中，可以用一个正整数去除或乘某一整行，不会改变所得的结论。 结论：劳斯表第一列元素符号改变的次数为具有正实部根的个数。（右极点，不包括临界极点） 劳斯阵计算过程中的两种特殊情况： 1）某行的第一列系数为零，而其余各系数不为零或不全为零 这种情况下，在计算下一行时将得到无穷大，致使劳斯阵的计算工作无法继续进行或不好判别。 为了解决这个问题，可以用一个很小的正数来代替等于零的该第一列系数。 2)某行的各系数全为零 这种情况下，劳斯表的计算工作也由于出现无穷大而无法继续进行。为 了解决这个问题，可以利用各元为零的那一行的上一行各元作为系数，构成一个辅助方程，再用 辅助方程求导一次后的系数来代替各元为零的那一行。辅助方程的解就是原特征方程的部分特征 根，而且这部分特征根对称于原点，即必有虚根或右根。因此系统是不稳定的。 例 1 已知三阶系统的特征方程如下，试确定系统稳定的充要条件。 n s n−1 s n−2 s n−3 s n−4 s n a a n−1 b1 a n−2 a n−3 2 b 2 c d2 1 c 1 d 1 e 1 f 0 a 2 s 1 s 0 s a n−4 a n−5 3 b 3 c d3 2 e . . . . . . . . 1 1 2 3 1 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 4 5 2 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 6 7 3 − − − − − = n n n n n a a a a a b 1 1 3 2 1 1 b b a b a c n− − n− = 1 1 5 3 1 2 b b a b a c n− − n− = 1 1 7 4 1 3 b b a b a c n− − n− = 1 0 0 2 2 3 a3 s + a s + a s + a =
解列劳斯表asSa,a2S2aoSiaa,-a,a0azSoa稳定的充要条件：①ai>0，②ala2一a0a3>0例2已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。s*+2s*+3s+4s+5=0解列劳斯表s435-S302 (1)4 (2)S2501S30so5：劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有2个正实部根例3试判别某系统的稳定性。其特征方程为s*+2s+3s2+6s+4=0解列劳斯表S4134S3260S2400(8)S10(68-8)/eSO4由于是很小的正数，所以(6ε-8)e为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次。因此，系统不稳定，特征方程有两个右根。例4试判别某系统的稳定性。设其特征方程为s°+s+5s*+3s*+8s2+2s+4=0解列劳斯表
解 列劳斯表 ∴稳定的充要条件：①ai＞0，② a1 a2－ a0 a3＞0 例 2 已知线性系统的特征方程如下，试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。 解 列劳斯表 ∴劳斯表的第一列系数有两次变号，故该系统是不稳定，且有 2 个正实部根 例 3 试判别某系统的稳定性。其特征方程为 解 列劳斯表 S4 S3 S2 S1 S0 1 3 4 2 6 0 0(ε) 4 0 (6ε-8)/ε 0 4 由于是很小的正数，所以(6ε-8)/ε为负数，则劳斯表第一列各元的符号改变了两次。因此，系统 不稳定，特征方程有两个右根。 例 4 试判别某系统的稳定性。设其特征方程为 解 列劳斯表 S 4 S3 S 2 S1 S 0 1 3 5 2（1） 4 （2） 0 1 5 0 -3 0 5 S 3 S 2 S 1 S 0 3 a 2 a 1 a 0 a 2 1 2 3 0 a a a − a a 0 a 0 2 3 4 5 0 4 3 2 s + s + s + s + = 2 3 6 4 0 4 3 2 s + s + s + s + = 5 3 8 2 4 0 6 5 4 3 2 s + s + s + s + s + s + =
S6584S53200 →25°+6s°+4=0S446（辅助方程S30(8)0(12)0(0)将辅助方程求导一次，得8.5°+125=0S2403S14/30SO4求解25+6s2+4=0得：sl，2=±j:$34=±//2故所以系统不稳定，有两对共轭虚根4、劳斯稳定判据的应用·分析系统参数变化对稳定性的影响（用劳斯稳定判据确定系统个别参数的取值范围）。.KP：临界放大系数.使系统稳定的开环放大系数的临界值。例5已知单位负反馈系统的开环传递函数为KG(s) =s(0.1s+1)(0.25s+1)试确定使系统稳定的开环放大倍数K的取值范围。解闭环系统的特征方程为：s(0.1s +1)(0.25s +1)+ K = 0s3+14s?+40s+40K=0根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件是：[K>014×40-1×40K>0使系统稳定的开环放大系数K的取值范围为：0<K<14开环临界放大系数为：Kp=14。确定系统的相对稳定性①相对稳定性的定义一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此，以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离表示系统的相对稳定性或稳定裕度。般来说，0愈大则系统的稳定度愈高。②利用劳斯稳定判据系统的稳定度a方法：以s-z-α代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件，则该系统的特征根都落在s平面中s--α直线的左半部分，即具有α以上的稳定裕度。jos平面Xx00X举例：上例若要系统具有α=1以上稳定裕度量，试确定K
S6 S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 5 8 4 1 3 2 0 2 6 4 0 （辅助方程 ） 0(8) 0(12) 0(0)将辅助方程求导一次，得 3 4 0 4/3 0 4 求解 得： s1，2=±j；s3，4=±j 故所以系统不稳定，有两对共轭虚根 4、劳斯稳定判据的应用 ⚫ 分析系统参数变化对稳定性的影响（用劳斯稳定判据确定系统个别参数的取值范围）。 ⚫ KP：临界放大系数.使系统稳定的开环放大系数的临界值。 例 5 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试确定使系统稳定的开环放大倍数 K 的取值范围。 解 闭环系统的特征方程为： 根据劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件是： 使系统稳定的开环放大系数 K 的取值范围为：0<K<14 开环临界放大系数为： K p=14。 确定系统的相对稳定性 ① 相对稳定性的定义 一个稳定系统的特征方程的根都落在复平面虚轴的左半部，而虚轴是系统的临界边界，因此， 以特征方程最靠近虚轴的根和虚轴的距离σ表示系统的相对稳定性或稳定裕度。 一般来说，σ愈大则系统的稳定度愈高。 ② 利用劳斯稳定判据系统的稳定度 a.方法：以 s=z-σ代入原系统的特征方程，应用劳斯判据于新的方程。若满足稳定的充要条件， 则该系统的特征根都落在 s 平面中 s=-σ直线的左半部分，即具有σ以上的稳定裕度。 举例：上例若要系统具有 以上稳定裕度量，试确定 K。 s平面 0 jω σ σ 2 6 4 0 4 2 → s + s + = 8 12 0 3 s + s = 2 6 4 0 4 2 s + s + = 2 (0.1 1)(0.25 1) ( ) + + = s s s K G s s(0.1s +1)(0.25s +1) + K = 0 14 40 40 0 3 2 s + s + s + K = − 14 40 1 40 0 0 K K =1