信号s(n)进行滤波和预测。卡尔曼滤波建立在已知随机信号模型的基础上,包括模型的阶次、 模型的参数和激励白噪声的统计特性。其原理是用信号s(n)前一时刻的估计值s(n-1)与测量 值的误差项x(n)-acs(n-1)的加权平均作为当前时刻的估计值s(mn) s(n)=as(n-1)+G,[(n)-acs(n-DI (21.10) 其中,常数a和c分别表示参数模型和测量模型的参数,用G表示n时刻的加权系数。 卡尔曼滤波的特点是把信号的先验知识用信号的模型表达出来:在时域上引入状态变量 法进行处理;采用递推型的线性最小均方误差算法。 卡尔曼滤波和维纳滤波在理论和应用上两者存在共同点,也各有显著的特点。卡尔曼滤 波和维纳滤波都是在应用随机信号和观测噪声的前二阶矩的统计特性,以线性最小均方估计 解决随机信号的滤波问题。但两者对随机信号的规定,以及在理论方法上也存在着明显的差 别。维纳滤波需要给出随机信号和噪声的有理谱形式;卡尔曼滤波则要求把随机信号规定为 白噪声驱动的线性系统的输出。维纳滤波理论适应于平稳随机过程;卡尔曼滤波适用于有限 初始时间的非平稳随机过程 22信号的采样 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样,它包含了离散和量化两个主要 步骤。本节主要介绍采样过程中采样与混频、量化与误差、采样长度与分辨率及窗函数与泄 露四方面的内容 22.1采样与混频 设模拟信号为x(),间距为△的采样脉冲函数为p()=∑0(t-n),从理论上看采 样过程是x(t)和p()相乘,得到离散信号x(n△)① x(nM)=∑x(n△)5(t-m△) (22.1) 设x()的傅里叶变换为X(O),如图22.1(a)、图22.1(b所示。采样脉冲函数p(1)的傅 里叶变换P()为 P()= P(o)也是脉冲序列,如图2.2.1(c)、图2.2.1(d)所示。 根据频域卷积定理可知,则式(2.21)所示离散信号x(n△)的傅里叶变换XA(O)为
25 信号 s(n) 进行滤波和预测。卡尔曼滤波建立在已知随机信号模型的基础上，包括模型的阶次、 模型的参数和激励白噪声的统计特性。其原理是用信号 s(n) 前一时刻的估计值 s n ˆ( 1) − 与测量 值的误差项 x n acs n ( ) ( 1) − − ˆ 的加权平均作为当前时刻的估计值 s n ˆ( ) 。 ˆˆ ˆ ( ) ( 1) [ ( ) ( 1)] n s n as n G x n acs n = −+ − − (2.1.10) 其中，常数 a 和c 分别表示参数模型和测量模型的参数，用Gn 表示 n 时刻的加权系数。 卡尔曼滤波的特点是把信号的先验知识用信号的模型表达出来；在时域上引入状态变量 法进行处理；采用递推型的线性最小均方误差算法[9] 。 卡尔曼滤波和维纳滤波在理论和应用上两者存在共同点，也各有显著的特点。卡尔曼滤 波和维纳滤波都是在应用随机信号和观测噪声的前二阶矩的统计特性，以线性最小均方估计 解决随机信号的滤波问题。但两者对随机信号的规定，以及在理论方法上也存在着明显的差 别。维纳滤波需要给出随机信号和噪声的有理谱形式；卡尔曼滤波则要求把随机信号规定为 白噪声驱动的线性系统的输出。维纳滤波理论适应于平稳随机过程；卡尔曼滤波适用于有限 初始时间的非平稳随机过程[10]。 2.2 信号的采样 将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要 步骤。本节主要介绍采样过程中采样与混频、量化与误差、采样长度与分辨率及窗函数与泄 露四方面的内容。 2.2.1 采样与混频 设模拟信号为 x(t) ，间距为 ∆t 的采样脉冲函数为 () ( ) + n=- p t = δ t - n t ∆ ∞ ∞ ∑ ，从理论上看采 样过程是 x(t) 和 p(t) 相乘，得到离散信号 x(n∆t) [1] ∑ ∞ ∞ ∆ ∆ ∆ + n=- x(n t ) = x( n t)δ ( t - n t ) (2.2.1) 设 x(t) 的傅里叶变换为 X (ω) ，如图 2.2.1(a)、图 2.2.1(b)所示。采样脉冲函数 p(t) 的傅 里叶变换 P(ω) 为 ∑ ∞ ∞ ∆ − ∆ + m=- t m δ t P = ) 2 ( 2 ( ) π ω π ω (2.2.2) P(ω) 也是脉冲序列，如图 2.2.1(c)、图 2.2.1(d)所示。 根据频域卷积定理可知，则式(2.2.1)所示离散信号 x(n∆t) 的傅里叶变换 X ( ω) ∆ 为
X(O) XO 223) 上式中离散信号x(n△)及其频谱XA(O)如图22.(e)、图22.l(所示。离散信号的频谱 X△(m)相当于将原信号的频谱X(O)依次平移O,=2/至各采样脉冲函数对应的频域序 列点上,然后全部叠加而成。因此,离散信号的频谱就变为周期为2/的函数 (1) (a)原函数 (b)原函数频谱 P(O) ,=2π/A (c)样冲击函数 (d)采样冲击函数的频谱 ).P(I) l-八八 e)离散时间信号 (f)采样序列的频谱 图22.1时域采样过程及其对应的频谱 若采样间隔M太大,使得平移距离2丌/过小。移至各采样脉冲函数对应的频域序列点 上的频谱X(aO)就会有一部分相互重叠,如图21.l()虚线部分所示,由此造成离散信号的频 谱与原信号频谱不一致,这种现象称为混叠。混叠改变了原信号的频谱,这样就不可能由频 谱X(ω)准确地恢复原信号x(1)。为避免混叠,采样频率ωs必须不小于信号中最高频率 Om的两倍,即有≤2onm 如果Om是信号中的最高频率,则在选择采样间隔M这时应保证M≤丌/omx,或 M≤1(2/mx),其中∫是信号中的最高频率(Hz)。这就是所谓的采样定理。 实际中采样频率的选取往往留有余地,一般选取采样频率Os为处理信号中最高频率的 2.5~4倍。另外,由于测量信号中的高频部分往往是由干扰引起的噪声或我们不感兴趣的频 谱,因此采样前须先对信号进行低通滤波(又称抗混滤波)。然后再根据滤波后信号的最高频率
26 ∑ ∞ ∞ ∆ ∆ ∆ + m=- t m X - t X = ) 2 ( 2 ( ) π ω π ω (2.2.3) 上式中离散信号 x(n∆t) 及其频谱 X ( ω) ∆ 如图 2.2.1(e)、图 2.2.1(f)所示。离散信号的频谱 X ( ω) ∆ 相当于将原信号的频谱 X (ω) 依次平移 2 s ω = π ∆t 至各采样脉冲函数对应的频域序 列点上，然后全部叠加而成。因此，离散信号的频谱就变为周期为 2π ∆t 的函数。 0 t x ( t ) ( a )原函数 0 ω X ( ω ) ( b )原函数频谱 -ω max ω max 0 t • • • p ( t ) 1 ( c )采样冲击函数 ∆ t • • • 0 ω • • • P ( ω ) ( d )采样冲击函数的频谱 • • • ω s= 2 π /∆ t 0 n • • • x ( n )= x ( t ) ⋅p ( t ) ( e )离散时间信号 • • • ∆ t 0 ω X ( ω ) * P (ω ) ( f ) 采样序列的频谱 ω s= 2 π /∆ t -ω max ω max 图 2.2.1 时域采样过程及其对应的频谱 若采样间隔 ∆t 太大，使得平移距离 2π ∆t 过小。移至各采样脉冲函数对应的频域序列点 上的频谱 X (ω) 就会有一部分相互重叠，如图 2.1.1(f)虚线部分所示，由此造成离散信号的频 谱与原信号频谱不一致，这种现象称为混叠。混叠改变了原信号的频谱，这样就不可能由频 谱 X ( ω) ∆ 准确地恢复原信号 x(t) 。为避免混叠，采样频率ωS 必须不小于信号中最高频率 ω max 的两倍，即有 max ∆ ω t ≤ 2 。 如果ω max 是信号中的最高频率，则在选择采样间隔 ∆t 这时应保证 max ∆ πω t ≤ / ，或 max ∆t f ≤1/(2 ) ，其中 max f 是信号中的最高频率（Hz）。这就是所谓的采样定理。 实际中采样频率的选取往往留有余地，一般选取采样频率ωS 为处理信号中最高频率的 2.5～4 倍。另外，由于测量信号中的高频部分往往是由干扰引起的噪声或我们不感兴趣的频 谱，因此采样前须先对信号进行低通滤波(又称抗混滤波)。然后再根据滤波后信号的最高频率
Om设定采样间隔At 222量化与误差 量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。量化结果以一定位数的数字近似表示 信号在采样点的取值。由于模/数转换器的位数有限,模/数转换器的输出只能表达一系列具有 定间隔的电平。当模拟信号在采样点上的取值落在两个相邻电平之间时,就要舍入到相近 的一个电平上,我们把这一过程称之为量化 若设模数转换器的位数为N,采用二进制编码,转换器转换的电压范围为±V,则相邻 电平之间的增量△为 △Δ N-1 (224) 量化误差E的最大值应为±42。一般认为E在(-4/2,+4/2)区间内等概率分布,概 率分布密度为1/4,均值为零。量化误差E的均方值为 22.3窗函数或泄漏 理论上信号的长度是无限的,但任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。因此, 信号采样过程须使用窗函数,将无限长信号截断成为有限长度的信号。从理论上看,截断过 程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数。最简单的窗函数是矩形窗,矩形窗 函数及其频谱分别如图22.2(a)和图222(b)所示。 (a)矩形窗函数 (b)矩形窗函数幅频曲线 图222矩形窗函数及其幅频特性曲线 矩形窗函数w()及其幅频特性W()分别为 It<T It>T
27 ω max 设定采样间隔 ∆t 。 2.2.2 量化与误差 量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。量化结果以一定位数的数字近似表示 信号在采样点的取值。由于模/数转换器的位数有限，模/数转换器的输出只能表达一系列具有 一定间隔的电平。当模拟信号在采样点上的取值落在两个相邻电平之间时，就要舍入到相近 的一个电平上，我们把这一过程称之为量化。 若设模/数转换器的位数为 N ，采用二进制编码，转换器转换的电压范围为 ±V ，则相邻 电平之间的增量 ∆ 为 2 −1 ∆ = N V (2.2.4) 量化误差ε 的最大值应为 ±Δ2 。一般认为ε 在( -∆ 2 , + ∆ 2) 区间内等概率分布，概 率分布密度为1 Δ，均值为零。量化误差ε 的均方值为 ∆ dε = ∆ σ = ε ∆ ε ∆ 12 1 2 2 2 2 2 ∫− (2.2.5) 2.2.3 窗函数或泄漏 理论上信号的长度是无限的，但任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。因此， 信号采样过程须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。从理论上看，截断过 程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数。最简单的窗函数是矩形窗，矩形窗 函数及其频谱分别如图 2.2.2( a )和图 2.2.2( b )所示。 w( t ) t 0 T 1 ( a ) 矩形窗函数 -T W( ω ) ω 0 ( b ) 矩形窗函数幅频曲线 T π - 2T T π 图 2.2.2 矩形窗函数及其幅频特性曲线 矩形窗函数 w(t) 及其幅频特性W (ω) 分别为： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ | t | > T . | t | = T | t | < T w t = 0 0 5 1 ( ) (2.2.6)
W(o)=2 T SIn(oT) (227) 若原信号及其频谱分别为x()和X(ω),根据频域卷积定理,截断后信号的频谱为X(ω) 与W(O)的卷积。由于W(O)为一个无限带宽函数,所以即使x(1)为有限带宽信号,截断后 信号的频谱必然是无限带宽的。这就说明信号的能量分布在截断后扩展了。由此可见,信号 截断必然会带来一定的误差,这一现象称为泄漏 泄漏与截断长度、所使用的窗函数等有关。如果增大截断长度,则从图2.2.2(b)中可以看 出W(o)图形将被压缩变窄。虽然理论上W(o)的频谱范围仍为无穷,但中心频率以外频率分 量的衰减速度加快,泄漏误差减少。当T→>∞时,W()函数变为δ(O)函数,W()与(o) 的卷积仍然为W(ω)。这说明不进行信号截断就没有泄漏误差。另外,使用不同的窗函数泄漏 大小也不同。泄漏取决于窗函数频谱的旁瓣。如果窗函数的旁瓣小,相应的泄漏也小, 除了矩形窗函数外,信号处理中常用的窗函数还有三角窗、汉宁窗等。这两种窗函数及 其幅频曲线如图22.3(a)、(b)及图22.3(c)、(d)所示。窗函数的选择应根据被分析信号 的性质和处理要求来确定。如果仅要求精确获得主瓣的频率,可选择矩形窗函数:如果处理 要求幅值精度高,泄漏量小,应选择汉宁窗等。 (1) (a)三角窗函数 (b)三角窗函数幅频曲线 Wo) (c)汉宁窗函数 (d)汉宁窗函数幅频曲线 图223矩形窗、汉宁窗及它们的幅频特性 三角窗函数v(1)及其幅频特性W(O)分别为 |≤T 228) It>T 28
28 T T W = T ω ω ω sin( ) ( ) 2 (2.2.7) 若原信号及其频谱分别为 x(t) 和 X (ω) ，根据频域卷积定理，截断后信号的频谱为 X (ω) 与W (ω) 的卷积。由于W (ω) 为一个无限带宽函数，所以即使 x(t) 为有限带宽信号，截断后 信号的频谱必然是无限带宽的。这就说明信号的能量分布在截断后扩展了。由此可见，信号 截断必然会带来一定的误差，这一现象称为泄漏。 泄漏与截断长度、所使用的窗函数等有关。如果增大截断长度，则从图 2.2.2( b )中可以看 出W (ω) 图形将被压缩变窄。虽然理论上W (ω) 的频谱范围仍为无穷，但中心频率以外频率分 量的衰减速度加快，泄漏误差减少。当T → ∞时，W (ω) 函数变为δ (ω) 函数，W (ω) 与δ (ω) 的卷积仍然为W (ω) 。这说明不进行信号截断就没有泄漏误差。另外，使用不同的窗函数泄漏 大小也不同。泄漏取决于窗函数频谱的旁瓣。如果窗函数的旁瓣小，相应的泄漏也小。 除了矩形窗函数外，信号处理中常用的窗函数还有三角窗、汉宁窗等。这两种窗函数及 其幅频曲线如图 2.2.3（a）、（b）及图 2.2.3（c）、（d）所示。窗函数的选择应根据被分析信号 的性质和处理要求来确定。如果仅要求精确获得主瓣的频率，可选择矩形窗函数；如果处理 要求幅值精度高，泄漏量小，应选择汉宁窗等。 w( t ) t 0 T 1 ( a ) 三角窗函数 -T W( ω ) ω 0 ( b ) 三角窗函数幅频曲线 T 2π - T 2π T w( t ) t 0 T ( c ) 汉宁窗函数 -T W(ω ) ω 0 ( d ) 汉宁窗函数幅频曲线 T 1 - T 1 T 图 2.2.3 矩形窗、汉宁窗及它们的幅频特性 三角窗函数 w(t) 及其幅频特性W (ω) 分别为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > − ≤ | t | T | t | | t | T w t = T 0 1 1 ( ) (2.2.8)
sin(aT /2) (229) oT/2 汉宁窗函数w()及其幅频特性W(O)分别为 m()=12+2cox7)|≤7 (2.2.10) t>T (2.2.11) 224采样长度与分辩率 数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。数字信号的时间分辨率即采样间隔Δ 它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。数字信号的频率分辨率为1m2个,其 中,T=NMt为数字信号的时间跨度,N为数字信号的长度。频率分辨率表示了数字信号的 频谱在频域中取值点之间的细密程度。因此,当采样频率或采样间隔确定后,增大采样点数N 就可增加信号的时间长度T和分辨率△。 23时域统计分析 信号的时域统计分析是指对信号的各种时域参数、指标的估计或计算。常用的时域参数 和指标包括:1)均值:2)均方值:3)均方根值:4)方差:5)标准差:6)概率密度函数 ⑦)概率分布函数;8)联合概率密度函数等。本节先介绍常见参数的概念,然后给出它们的应 用 2.3.1时域指标参数 (1)均值 当观测时间T趋于无穷时,信号在观测时间T内取值的时间平均就是信号x()的均值。 均值的定义为 4,=lim+x(dt (23.1) 式中,T是信号的观测区间。实际中T不可能为无穷,算出的μ值必然包含统计误差,只能 作为真值的一种估计。 (2)均方值和方差 当观测时间T趋于无穷时,信号在观测时间T内取值平方的时间平均值就是信号x(1)的
29 2 / 2 sin( / 2) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ T T W = T ω ω ω (2.2.9) 汉宁窗函数 w(t) 及其幅频特性W (ω) 分别为 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > + ≤ t | T | t | T T t w t = 0 | cos( ) 2 1 2 1 ( ) π (2.2.10) 2 1 ( ) sin( ) 1 ( ) π ω ω ω ω T T W = − ⋅ (2.2.11) 2.2.4 采样长度与分辩率 数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。数字信号的时间分辨率即采样间隔 ∆t ， 它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。数字信号的频率分辨率为 T = π ω 2 ∆ ，其 中，T = N∆t 为数字信号的时间跨度，N 为数字信号的长度。频率分辨率表示了数字信号的 频谱在频域中取值点之间的细密程度。因此，当采样频率或采样间隔确定后，增大采样点数 N 就可增加信号的时间长度T 和分辨率 ∆ω 。 2.3 时域统计分析 信号的时域统计分析是指对信号的各种时域参数、指标的估计或计算。常用的时域参数 和指标包括：1) 均值；2) 均方值；3) 均方根值；4) 方差；5) 标准差；6) 概率密度函数； 7) 概率分布函数；8) 联合概率密度函数等。本节先介绍常见参数的概念，然后给出它们的应 用。 2.3.1 时域指标参数 (1) 均值 当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值的时间平均就是信号 x(t) 的均值。 均值的定义为 ∫ → ∞ = T T T x x t dt 0 1 µ lim ( ) (2.3.1) 式中，T 是信号的观测区间。实际中T 不可能为无穷，算出的 µ x 值必然包含统计误差，只能 作为真值的一种估计。 (2) 均方值和方差 当观测时间T 趋于无穷时，信号在观测时间T 内取值平方的时间平均值就是信号 x(t) 的