均方值,常用符号v2表示。均方值的定义为 x'(o)dt 2.32) 如果仅对有限长的信号进行计算,则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根,为均 方根值(或有效值)x 方差的定义为 :=m#[()-ud 方差仅反映了信号x(1)中的动态部分。方差的正算术根Gx称为标准差。若信号x()的均 值为零,则均方值等于方差。若信号x(1)的均值不为零时,则有下式成立 yr- a (234) (3)概率密度函数 随机信号x()的取值落在区间内的概率可用下式表示 Pmbx<x()≤x+4=lm 式中,△T为信号x(1)取值落在区间(x,x+4x]内的总时间,T为总的观察时间 当Ax→0时,概率密度函数定义为 p(x)=lim[lim (2.3.6) 随机信号x(1)的取值小于或等于某一定值δ的概率,称为信号的概率分布函数。常用 P(x)表示。概率分布函数的定义为 P(x)=Pmx()≤=imd (237) 式中,团为信号x(1)取值满足x(1)≤δ的总时间,7为总的观察时间 (5)有量纲参数指标 有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。若随机信号x(η)符合 平稳、各态历经条件,且均值为零,概率密度函数为p(x),则有量纲参数指标的定义如下 l=1/2 p(x) (238) 1→∞
30 均方值，常用符号 2 ψ x 表示。均方值的定义为 2 2 1 0 lim ( ) T x T T ψ x t dt → ∞ = ∫ (2.3.2) 如果仅对有限长的信号进行计算，则结果仅是对其均方值的估计。均方值的正平方根，为均 方根值(或有效值) rms x 。 方差的定义为 [ ] ∫ = − → ∞ T T x T x x t dt 0 2 2 1 σ lim ( ) µ (2.3.3) 方差仅反映了信号 x(t) 中的动态部分。方差的正算术根σ x 称为标准差。若信号 x(t) 的均 值为零，则均方值等于方差。若信号 x(t) 的均值不为零时，则有下式成立 2 22 σ x xx = ψ µ − (2.3.4) (3) 概率密度函数 随机信号 x(t) 的取值落在区间内的概率可用下式表示 prb[ ( ) ] limT T P x xt x x T ∆ ∆ →∞ < ≤+ = (2.3.5) 式中，∆T 为信号 x(t) 取值落在区间(, ] x x x + ∆ 内的总时间，T 为总的观察时间。 当 ∆x → 0 时，概率密度函数定义为 ( ) 0 1 lim [ lim ] x T T p x ∆ x T ∆ → →∞ ∆ = (2.3.6) 随机信号 x(t) 的取值小于或等于某一定值δ 的概率，称为信号的概率分布函数。常用 P x( )表示。概率分布函数的定义为 ( ) [ ( ) ] lim prb T T Px P xt T ∆ δ δ → ∞ = ≤= (2.3.7) 式中，∆Tδ 为信号 x(t) 取值满足 x t( ) ≤ δ 的总时间，T 为总的观察时间。 (5) 有量纲参数指标 有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。若随机信号 x(t) 符合 平稳、各态历经条件，且均值为零，概率密度函数为 p(x) ，则有量纲参数指标的定义如下 1/ , 1/ 2 , 1 () = , 2 , r l l d rms p x l x l x x p x dx x l x l ∞ −∞ ⎧ = ⎪ ⎪ = ⎡ ⎤ = ⎨ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎪ ⎪ → ∞ ⎩ ∫ (2.3.8)
其中,x为方根幅值,x为平均幅值,xm为均方幅值,x为峰值,p(x)为概率密度函数, l为参数。另外,上述的有量纲参数指标也可在时域定义。当【∈(0,T)时,方根幅值、平均幅 值、均方幅值和峰值的定义为 T x(t x(odt E x() 其中,x为方根幅值,x为平均幅值,xm为均方幅值,x为峰值,T为信号观测时间长度, max|x(n)为信号x()最大值的平均 (6)无量纲参数指标 有量纲参数指标不但与机器的状态有关,且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。而 无量纲参数指标具有对信号幅值和频率变化均不敏感的特点。这就意味着理论上它们与机器 的运动条件无关,只依赖于概率密率函数的形状。所以无量纲参数指标是一种较好的机器状 态监测诊断参数。无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。无量 纲参数指标的定义如下 [) p(x)dr) 2.3.10) r p(x) 其中,p(x)为概率密度函数,l和m为参数。当式(2.3.10)中的l和m取不同值时,就得到如 下指标: (1)波形指标=2,m=1时,K=-m x (2)峰值指标|→∞,m=2时, (3)脉冲指标 →∞,m=1时,I= (裕浴度指标|-∞,m=12时,L=x 以上式中,κ为方根幅值,τ为平均幅值,x为均方幅值,x为峰值 31
31 其中， r x 为方根幅值， x 为平均幅值， rms x 为均方幅值， p x 为峰值， p(x) 为概率密度函数， l 为参数。另外，上述的有量纲参数指标也可在时域定义。当t ∈(0,T) 时，方根幅值、平均幅 值、均方幅值和峰值的定义为 2 0 0 1 2 2 0 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) max ( ) T r T d T rms p x x t dt T x x t dt x T x x t dt T x E xt ⎧ ⎡ ⎤ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ = ⎪ = ⎨ ⎪ ⎡ ⎤ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ = ⎡ ⎤ ⎩⎪ ⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ (2.3.9) 其中， r x 为方根幅值，x 为平均幅值， rms x 为均方幅值， p x 为峰值，T 为信号观测时间长度， max | x(t)为信号 x(t) 最大值的平均。 (6)无量纲参数指标 有量纲参数指标不但与机器的状态有关，且与机器的运动参数如转速、载荷等有关。而 无量纲参数指标具有对信号幅值和频率变化均不敏感的特点。这就意味着理论上它们与机器 的运动条件无关，只依赖于概率密率函数的形状。所以无量纲参数指标是一种较好的机器状 态监测诊断参数。无量纲参数指标包括了波形指标、峰值指标、脉冲指标和裕度指标。无量 纲参数指标的定义如下 [ ] [ ] m /m /l l x x p x dx x p x dx ζ 1 1 ( ) ( ) ∫ ∫ = ∞ −∞ ∞ −∞ (2.3.10) 其中， p(x) 为概率密度函数，l 和 m 为参数。当式(2.3.10)中的 l 和 m 取不同值时，就得到如 下指标： ⑴波形指标 l=2，m=1 时， x x K rms = ⑵峰值指标 l→∞，m=2 时， rms p x x C = ⑶脉冲指标 l→∞，m=1 时， x x I p = ⑷裕度指标 l→∞，m=1/2 时， r p x x L = 以上式中， r x 为方根幅值， x 为平均幅值， rms x 为均方幅值， p x 为峰值
2.32参数指标的应用 l)利用概率密度函数和概率分布函数进行产品质量控制,研究材料的强度和控制设备的 工作稳定性 信号的概率密度函数,是随机信号处理中最基本又很重要的分析内容,在随机信号分析 中得到广泛的应用。图23.1(a)是某一随机信号的波形图。2.3.1(b)是根据图2.31(a所示的时 间历程,分析出的各振幅的出现频次图。以随机信号的最大振幅(例如±5V)作为横座标、 以单位时间内振幅出现的次数作为纵座标,再除以振幅取值区间就得到近似的概率密度函数 图2.31(c)是相应的概率分布函数。 根据图23.1(b)、(a)所示曲线的形状及不同振幅出现的概率,就能对信号所代表的物理过程进 行适当的评价,并进行决策 当图2.31(a)代表一批零件的加工尺寸,则根据图23.1(b)、图23.1(c)可判断加工过程的 质量高低,进而可评价或判断机床工具是否应该调整、操作工人的技术熟练程度等 当图23.1(a)代表某一设备在各种工作状况下所承受的负载变动,则根据图2.31(b)、图 23.1(c)就可评价设备的强度利用率(或强度储备),或判定该设备在规定工作状况下的最合理 的设计强度指标 幅值 概率密度函数 +5幅值 4概率分布函数 (c) +5V幅值 (a)随机信号 (b)概率密度函数 (c)概率分布函数 图2.3.1振幅概率密度分布图
32 2.3.2 参数指标的应用 1) 利用概率密度函数和概率分布函数进行产品质量控制，研究材料的强度和控制设备的 工作稳定性 信号的概率密度函数，是随机信号处理中最基本又很重要的分析内容，在随机信号分析 中得到广泛的应用。图 2.3.1(a)是某一随机信号的波形图。2.3.1(b)是根据图 2.3.1(a)所示的时 间历程，分析出的各振幅的出现频次图。以随机信号的最大振幅（例如±5V）作为横座标、 以单位时间内振幅出现的次数作为纵座标，再除以振幅取值区间就得到近似的概率密度函数。 图 2.3.1(c)是相应的概率分布函数。 根据图 2.3.1(b)、(c)所示曲线的形状及不同振幅出现的概率，就能对信号所代表的物理过程进 行适当的评价，并进行决策。 当图 2.3.1 (a)代表一批零件的加工尺寸，则根据图 2.3.1 (b)、图 2.3.1 (c)可判断加工过程的 质量高低，进而可评价或判断机床工具是否应该调整、操作工人的技术熟练程度等。 当图 2.3.1 (a)代表某一设备在各种工作状况下所承受的负载变动，则根据图 2.3.1 (b)、图 2.3.1 (c)就可评价设备的强度利用率(或强度储备)，或判定该设备在规定工作状况下的最合理 的设计强度指标。 （b） -5V +5V 幅值 概率密度函数 0 (a)—随机信号 (b)—概率密度函数 (c)—概率分布函数 （c） -5V 0 +5V 幅值 概率分布函数 （a） 0 t 幅值 5V -5V 图 2.3.1 振幅概率密度分布图
当图2.3.1(a)代表某控制设备工作状态参数相对于期望值变动的时间历程,则根据图23.1 (b)、图2.3.1(c)就可确定该控制设备的工作稳定性程度等。如果工作状态参数的分布范围小, 说明设备受到外界激励影响后,工作状态参数变化不大,也即设备的工作稳定性好。反之, 设备的工作稳定性不好 2)利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱 如果将信号中上升的峰值A称为振幅峰(参见图2.3.2(a),以振幅峰作为横座标,以振 幅峰在观测时间内出现的频次作为纵座标,就得到振幅频次图(参见图2.3.2(b))。振幅频次图 给出了动态波形峰值出现的频次分布。对振幅频次图沿横坐标进行累计,就得到累计频次图 (参见图232(c) 根据图232(b)和(c)所给出的振幅频次图和累计频次图,人们便可以了解作用于材料的随 机载荷谱。这对环境模拟、进行材料的常规疲劳寿命试验以及强化试验的加载方式都是十分 重要的依据。 频次 (频率) M 幅值 (a)输入信号 (b)振幅频次分布 (c)累计频次分布 图2.3.2振幅频次分布 3)概率密度函数和参数指标在机器故障诊断中的应用 (1)概率密度函数用于机器状态判断 概率密度函数可以直接用于机器状态的判断。图2.3.3(a)与(b)是车床变速箱的噪音概率密 度函数。新旧两个变速箱的概率密度函数有着明显的差异。由于平均值没有携带机器状态的 信息,在平稳随机过程中保持定值,为方起见,可取平均值为0。因此,纵坐标位于x=0处 随机噪声的概率密度曲线是高斯曲线,正弦信号的概率密度曲线是中凹的曲线。新的变速箱 的噪声中主要是随机噪声,旧变速箱的噪声中就会出现不同频率的正弦波。因而,新变速箱 33
33 当图 2.3.1 (a)代表某控制设备工作状态参数相对于期望值变动的时间历程，则根据图 2.3.1 (b)、图 2.3.1 (c)就可确定该控制设备的工作稳定性程度等。如果工作状态参数的分布范围小， 说明设备受到外界激励影响后，工作状态参数变化不大，也即设备的工作稳定性好。反之， 设备的工作稳定性不好。 2) 利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱 如果将信号中上升的峰值 A 称为振幅峰（参见图 2.3.2(a)），以振幅峰作为横座标，以振 幅峰在观测时间内出现的频次作为纵座标，就得到振幅频次图（参见图 2.3.2(b)）。振幅频次图 给出了动态波形峰值出现的频次分布。对振幅频次图沿横坐标进行累计，就得到累计频次图 （参见图 2.3.2(c)）。 根据图 2.3.2(b)和(c)所给出的振幅频次图和累计频次图，人们便可以了解作用于材料的随 机载荷谱。这对环境模拟、进行材料的常规疲劳寿命试验以及强化试验的加载方式都是十分 重要的依据。 频次 （频率） (b) (c) 幅值 幅值 (a) A 1 A 2 A 3 （a）输入信号 （b）振幅频次分布 （c）累计频次分布 图 2.3.2 振幅频次分布图 3) 概率密度函数和参数指标在机器故障诊断中的应用 (1) 概率密度函数用于机器状态判断 概率密度函数可以直接用于机器状态的判断。图 2.3.3(a)与(b)是车床变速箱的噪音概率密 度函数。新旧两个变速箱的概率密度函数有着明显的差异。由于平均值没有携带机器状态的 信息，在平稳随机过程中保持定值，为方起见，可取平均值为 0。因此，纵坐标位于 x = 0 处。 随机噪声的概率密度曲线是高斯曲线，正弦信号的概率密度曲线是中凹的曲线。新的变速箱 的噪声中主要是随机噪声，旧变速箱的噪声中就会出现不同频率的正弦波。因而，新变速箱
噪声的概率密度曲线如图2.3.3(a)所示,旧变速箱噪声的概率密度曲线如图2.3.3(b)所示。 Aplx (a)新变速箱 (b)旧变速箱 图2.3.3车床变速箱噪音概率密度函数 利用噪音概率密度函数可以判断机器状态是因为:正常运行机器的噪声是由大量的、无 规则的,量值较小的随机冲击,因此其幅值概率分布比较集中,代表冲击能量的方差较小 当机器运行状态不正常时,在随机噪声中将出现有规则的、周期性的冲击,其量值要比随机 冲击大得多。例如,当机构中轴承磨损而间隙增大多,轴与轴承就会有撞击的现象。同样, 如果滚动轴承的滚道出现剥蚀,齿轮传动中某个齿面严重磨损或花键配合的间隙增加等情况 出现时,在随机噪声中都会出现周期信号使噪声功率大为增加,这些效应反映到噪声幅值分 布曲线的形状上则会使方差增加,分散度加大,甚至使曲线的顶部变平或出现局部的凹形 (2)机器状态的时域参数指标判断方法 参数指标诊断是使用较早,且比较有效的诊断方法。诊断参数指标一般应满足如下要求: ①易于测量和计算,所需计算机存储量小。 ②能敏锐地反映和预报机器的早期故障。 ③不受机器运行状态,如负载、转速等变化的影响 ④能够指示故障的存在,以便及时排査故障。 下面是一个用无量纲参数指标进行齿轮状态识别的例子。图234表示了28只汽车后桥 齿轮在不同运行状态下,由振动加速度信号计算得到的无量纲参数指标。由于28只齿轮的运 行状态不同,相对于不同运行状态下计算得到的无量纲指标也应该不同。如果针对某一无量 纲指标计算得到的28个无量纲指标值的变化大,就说明该无量纲指标对不同运行状态的反映 灵敏。反之,则说明该无量纲指标不能区分运行状态。由图2.34可见,波形指标K的变化很 小,没有足够的诊断能力:而峰值指标C和脉冲指标Ⅰ可以作为齿轮运行状态的优良诊断指 标。它们所提供的信息基本相同,曲线形状相似。但脉冲指标Ⅰ比峰值指标C的变化要更明 显一些。实际中,对于机器工作状况的识别,究竟应选择哪些参数指标,必须经过认真的分 析和实验加以确定
34 噪声的概率密度曲线如图 2.3.3(a)所示，旧变速箱噪声的概率密度曲线如图 2.3.3(b)所示。 (a) (b) 0 0 p(x) p(x) (a)新变速箱 (b)旧变速箱 x x 图 2.3.3 车床变速箱噪音概率密度函数 利用噪音概率密度函数可以判断机器状态是因为：正常运行机器的噪声是由大量的、无 规则的，量值较小的随机冲击，因此其幅值概率分布比较集中，代表冲击能量的方差较小。 当机器运行状态不正常时，在随机噪声中将出现有规则的、周期性的冲击，其量值要比随机 冲击大得多。例如，当机构中轴承磨损而间隙增大多，轴与轴承就会有撞击的现象。同样， 如果滚动轴承的滚道出现剥蚀，齿轮传动中某个齿面严重磨损或花键配合的间隙增加等情况 出现时，在随机噪声中都会出现周期信号使噪声功率大为增加，这些效应反映到噪声幅值分 布曲线的形状上则会使方差增加，分散度加大，甚至使曲线的顶部变平或出现局部的凹形。 (2) 机器状态的时域参数指标判断方法 参数指标诊断是使用较早，且比较有效的诊断方法。诊断参数指标一般应满足如下要求： ① 易于测量和计算，所需计算机存储量小。 ② 能敏锐地反映和预报机器的早期故障。 ③ 不受机器运行状态，如负载、转速等变化的影响。 ④ 能够指示故障的存在，以便及时排查故障。 下面是一个用无量纲参数指标进行齿轮状态识别的例子。图 2.3.4 表示了 28 只汽车后桥 齿轮在不同运行状态下，由振动加速度信号计算得到的无量纲参数指标。由于 28 只齿轮的运 行状态不同，相对于不同运行状态下计算得到的无量纲指标也应该不同。如果针对某一无量 纲指标计算得到的 28 个无量纲指标值的变化大，就说明该无量纲指标对不同运行状态的反映 灵敏。反之，则说明该无量纲指标不能区分运行状态。由图 2.3.4 可见，波形指标 K 的变化很 小，没有足够的诊断能力；而峰值指标 C 和脉冲指标 I 可以作为齿轮运行状态的优良诊断指 标。它们所提供的信息基本相同，曲线形状相似。但脉冲指标 I 比峰值指标 C 的变化要更明 显一些。实际中，对于机器工作状况的识别，究竟应选择哪些参数指标，必须经过认真的分 析和实验加以确定