2.1.1信号的滤波处理 信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声,保留有用信号的过程,而把实现滤波功能的系统 称之为滤波器。滤波器可分为两大类,即经典滤波器和现代滤波器 1.经典滤波器 当噪声和有用信号处于不同的频带时,噪声通过滤波器将被衰减或消除,而有用信号得 以保留。这样的滤波器称为经典滤波器。根据幅频特性的不同,滤波器分为低通滤波器、高 通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型。根据处理信号类型的不同,滤波器可分为模拟 滤波器和数字滤波器。对于数字滤波器来说,根据滤波器的单位脉冲响应序列长度的无限和 有限,数字滤波器可进一步分为无限冲击响应滤波器(IR)和有限冲击响应滤波器(FR)两类 1)经典的信号滤波原理 经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上。设获取信号x(1)中包含有效成分和噪声, 即x()=S(t)+n(t)。设滤波后的信号为y(),频域变换结果H(O)=Y()/X()称为滤波 器的传递函数,或滤波器的频率响应函数。在噪声频带和有用成分频带分离的情况下,通过 设计如下的滤波器函数 H(o)=1,当S(o)≠0时 H(o)=0,当S()=0时 H(ω)与输入信号频域变换结果X(ω)=S(a)+N(ω)相乘后得Y(o)=S()。根据傅里叶 变换,不难得到 y(D)=x(1)* h(t) (2.1.1) 其中,h(1)=F-{H(o)称为滤波器的单位脉冲响应函数,即当输入信号x()等于单位脉冲 信号()时,输出信号y(1)=h(t)。 同理,对于离散时间序列x(n△M),y(n△n),h(nA),设采样间隔为Δt秒,频域变换分别为 XA(O),Y(o),H(o),则在[-1/2A,12△)]频带内,不难得到如下公式 y(n△)=x(n△)*h(n△A) (21.2) Yo)=H,O)X(o) 2)理想模拟滤波器 理想模拟滤波器是一个理想化的模型,对其讨论有助于进一步了解和改进实际滤波器的 性能,从而达到逼近理想滤波器的目的。理想模拟滤波器的幅频特性曲线如图2111所示14
20 2.1.1 信号的滤波处理 信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声，保留有用信号的过程，而把实现滤波功能的系统 称之为滤波器。滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波器。 1．经典滤波器 当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得 以保留[1]。这样的滤波器称为经典滤波器。根据幅频特性的不同，滤波器分为低通滤波器、高 通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型。根据处理信号类型的不同，滤波器可分为模拟 滤波器和数字滤波器。对于数字滤波器来说，根据滤波器的单位脉冲响应序列长度的无限和 有限，数字滤波器可进一步分为无限冲击响应滤波器(IIR)和有限冲击响应滤波器(FIR)两类 [1,2,3,4]。 1）经典的信号滤波原理[5] 经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上。设获取信号 x(t) 中包含有效成分和噪声， 即 x(t) = s(t) + n(t) 。设滤波后的信号为 y(t) ，频域变换结果 H(ω) = Y(ω) / X (ω) 称为滤波 器的传递函数，或滤波器的频率响应函数。在噪声频带和有用成分频带分离的情况下，通过 设计如下的滤波器函数： ⎩ ⎨ ⎧ = = = ≠ 当 时 当 时 ( ) 0, ( ) 0 ( ) 1, ( ) 0 ω ω ω ω H S H S H(ω) 与输入信号频域变换结果 X (ω) = S(ω) + N(ω) 相乘后得Y(ω) = S(ω) 。根据傅里叶 变换，不难得到 y(t) = x(t) * h(t) (2.1.1) 其中， ( ) { ( )} 1 h t F H ω − = 称为滤波器的单位脉冲响应函数，即当输入信号 x( )t 等于单位脉冲 信号δ ( )t 时，输出信号 yt ht () () = 。 同理，对于离散时间序列 x( ), ( ), ( ) n t yn t hn t ∆∆∆ ，设采样间隔为 ∆t 秒，频域变换分别为 (ω), (ω), (ω) X∆ Y∆ H∆ ，则在[−∆ ∆ 1/(2 ), 1/(2 ) t t ]频带内，不难得到如下公式： yn t xn t hn t ( ) ( )( ) ∆= ∆∗ ∆ (2.1.2) (ω) (ω) (ω) Y∆ = H∆ X∆ (2.1.3) 2）理想模拟滤波器 理想模拟滤波器是一个理想化的模型，对其讨论有助于进一步了解和改进实际滤波器的 性能，从而达到逼近理想滤波器的目的。理想模拟滤波器的幅频特性曲线如图 2.1.1 所示[1,4]
JH(jo )I H(jo川 jh (jo ) JH (jo ) )低通 (b)高通 c)带通 (d)带阻 虚线一实际滤波器实线一理想滤波器 图21.1模拟滤波器的幅频特性 理想低通滤波器能使信号中低于频率ω。的各频率分量以同样的放大倍数通过,使高于ω。 的频率成分减小为零。我们把O称为滤波器的截止频率,O<O的频率范围称为低通滤波器 的通带,>的频率范围称为低通滤波器的阻带 高通滤波器与低通滤波器正好相反,它的通带为>的频率范围,阻带为@<.的 频率范围。带通滤波器的通带为Oa和a2之间的频带,带阻滤波器的阻带为Oa:和O2之间 的频带 由于理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。同时,理想高通、带通和带阻 滤波器均可以由理想低通滤波器串联得到。因此,以后均以理想低通滤波器为例来说明。理 想低通滤波器的矩形幅频、相频特性可表示为: JHGO)=1 lo]<Oc lo(o)=-To@ ol 幅频特性 相频特性 图2.1.2理想低通滤波器的幅频、相频特性 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数为: h() sino (t-To)o csin co (t-to) (21.5) 丌(t-t0) 因此,理想低通滤波器的单位脉冲响应函数,是一个延时了0的抽样函数 sinco(t-0) 其波形如图2.13所示。由于单位脉冲响应函数在激励出现之前(<0)就已经出现,理想低通
21 | H ( j ω )| ω ( a ) 低通 ωc | H( j ω )| ω ( b ) 高通 ωc | H ( j ω )| ω ( c ) 带通 ωc1 ωc2 | H ( j ω )| ω ( d ) 带阻 c1 c2 ω ω 虚线－实际滤波器 实线－理想滤波器 图 2.1.1 模拟滤波器的幅频特性 理想低通滤波器能使信号中低于频率ωc 的各频率分量以同样的放大倍数通过，使高于ωc 的频率成分减小为零。我们把ωc 称为滤波器的截止频率，ω <ωc 的频率范围称为低通滤波器 的通带，ω > ωc 的频率范围称为低通滤波器的阻带。 高通滤波器与低通滤波器正好相反，它的通带为ω > ω c 的频率范围，阻带为ω < ω c 的 频率范围。带通滤波器的通带为ωc1和ωc2 之间的频带，带阻滤波器的阻带为ωc1和ωc2 之间 的频带。 由于理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。同时，理想高通、带通和带阻 滤波器均可以由理想低通滤波器串联得到。因此，以后均以理想低通滤波器为例来说明。理 想低通滤波器的矩形幅频、相频特性可表示为： ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − < = < c c j H j ϕ ω τ ω ω ω ω ω ω ( ) ( ) 1 0 (2.1.4) | H( jω )| ω -ωc 0 ωc 1 幅频特性 ϕ( jω ) ω 0 -τ0ω 相频特性 图 2.1.2 理想低通滤波器的幅频、相频特性 理想低通滤波器的单位脉冲响应函数为： [ ] sin c[ ( )] ( ) sin ( ) ( ) 0 0 0 ω τ π ω π τ ω τ = − − − = t t t h t c c c (2.1.5) 因此，理想低通滤波器的单位脉冲响应函数，是一个延时了 0 τ 的抽样函数sin c[ ( )] 0 ω t −τ c ， 其波形如图 2.1.3 所示。由于单位脉冲响应函数在激励出现之前( t < 0 )就已经出现，理想低通
滤波器是一个物理上不可实现的非因果系统。 h(t) 234 (a)理想低通滤波器的单位脉冲响应函数(b)不同截止频率理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 图2.1.3理想低通滤波器的冲击响应函数 当理想低通的截止频率O。增大时,单位脉冲响应函数h)在t=z处两边的第一零点 0±丌/逐渐靠近于t点,并且有当。→∞时h(1)→>(1),频谱上输入信号(1)的频 谱宽度是无限的。反之,当理想低通滤波器的截止频率越低,输出h(口)与输入δ()相比失 真越大。 3)实际滤波器及其基本参数 对于理想滤波器我们只需规定截止频率ω就可以完整描述其幅频特性。实际的滤波器为 了物理上可实现,通常在通带和阻带之间设置过渡带。如果将滤波器幅频特性|H(e")。=。|归 一化为1时,实际的低通滤波器如图2.1.4所示。截止频率ω指当滤波器幅值等于0.707 (√1/2)时对应的频率,该截止频率点也称滤波器的半功率点。通带边缘频率C,和阻带边 缘频率,称为划分通带、过渡带和阻带的两个指标。即频率范围[OO)为通带,频率范围 On,O,)为过渡带,频率范围[o2,∞)为阻带。实际滤波器的幅频特性幅值在通带和阻带内 般不严格为1和0。它们分别允许的波动量分别为d和δ,波动的大小分别用通带和阻带内 的衰减an和两个指标表示 lEGo 图2.1.4实际的低通滤波器
22 滤波器是一个物理上不可实现的非因果系统。 0 • τ0 π ωC π ωC t h( t ) h( t ) ω = 2 ω = 3 ω = 4 t c c c ( a )理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 ( b )不同截止频率理想低通滤波器的单位脉冲响应函数 图 2.1.3 理想低通滤波器的冲击响应函数 当理想低通的截止频率ω c 增大时，单位脉冲响应函数 h(t) 在 0 t = τ 处两边的第一零点 π ωc τ / 0 ± 逐渐靠近于 0 τ 点，并且有当ωc → ∞ 时 h(t) → δ (t) ，频谱上输入信号δ (t) 的频 谱宽度是无限的。反之，当理想低通滤波器的截止频率ω c 越低，输出 h(t) 与输入δ (t) 相比失 真越大。 3）实际滤波器及其基本参数 对于理想滤波器我们只需规定截止频率ωc 就可以完整描述其幅频特性。实际的滤波器为 了物理上可实现，通常在通带和阻带之间设置过渡带。如果将滤波器幅频特性| ( ) | ω=0 jω H e 归 一化为 1 时，实际的低通滤波器如图 2.1.4 所示。截止频率ωc 指当滤波器幅值等于 0.707 （ 1/2 ）时对应的频率，该截止频率点也称滤波器的半功率点。通带边缘频率ω p 和阻带边 缘频率ω s 称为划分通带、过渡带和阻带的两个指标。即频率范围[0, ) ωp 为通带，频率范围 [,) ωp s ω 为过渡带，频率范围[ ,) ωs ∞ 为阻带。实际滤波器的幅频特性幅值在通带和阻带内一 般不严格为 1 和 0。它们分别允许的波动量分别为δ p 和δ s ，波动的大小分别用通带和阻带内 的衰减α p 和α s 两个指标表示。 ⏐H(jω)⏐ ω 0 1 ωp ωs δs 1-δp ωc 0.707 图 2.1.4 实际的低通滤波器
an=20g(")=1=-20lg|H(e")|-20g(1-6) T H(epl) a=20lg H(e)=0 I H(e 20lg|H(e)-0lg(1-o,) 其中,Op是[Q.]频率范围内|H(e°)最小值所处的频率点,O1是[O,∞)频率范围内 H(e)最小值所处的频率点。 此外,实际滤波器的参数还有:波纹幅度、带宽、品质因数和倍频程选择性等。它们共 同决定了模拟滤波器的特性曲线 4)数字滤波器的设计 数字滤波器有无限冲击响应IR型滤波器和有限冲击响应FIR型滤波器之分。ⅢR型数字 滤波器的传递函数是 H(z)=-=0 (2.1.6) 1+>az 其中,ak,(k=1,2,…,N)和b,(r=0.1,2,…,M)分别是分母和分子多项式的系数 FIR型数字滤波器的传递函数是 H()=∑hn) (2.1.7) 其中,h(n),(n=0,1,2,…,N-1)是滤波器的单位脉冲响应函数 这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有着很大的差别。FIR型数字滤波器可 以对给定的频率特性直接进行设计。FIR型数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器 频率特性作某种近似的基础上的。这些近似方法有窗函数法、频率抽样法等:IR型数字滤波 器的设计属于间接设计法。IR型数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成熟的模拟 滤波器的设计方法来进行设计。而模拟滤波器的设计方法又有巴特沃斯( Butterworth)滤波器、 切比雪夫( hebyshev)和椭圆滤波器等不同的设计方法。 不论是FIR型数字滤波器还是IR型数字滤波器的设计都包括三个步骤阿: (1)给出所需要的滤波器技术指标 (2)设计一个H(=),使其逼近所需要的技术指标 (3)实现所设计的H() 数字滤波器具体的设计方法参加文献6]
23 1 1 0 |( ) | 20lg 20lg | ( ) | 20lg(1 ) | ( )| p p j j p j p H e H e H e ω ω ω α ω δ = = =− =− − 1 1 0 |( ) | 20lg 20lg | ( ) | 20lg(1 ) | ( )| s s j j s j s H e H e H e ω ω ω α ω δ = = =− =− − 其中，ω p1是[0, ] ω p 频率范围内| ( )| jω H e 最小值所处的频率点，ω s1 是[ ,) ωs ∞ 频率范围内 | ( )| jω H e 最小值所处的频率点。 此外，实际滤波器的参数还有：波纹幅度、带宽、品质因数和倍频程选择性等。它们共 同决定了模拟滤波器的特性曲线。 4）数字滤波器的设计 数字滤波器有无限冲击响应 IIR 型滤波器和有限冲击响应 FIR 型滤波器之分。IIR 型数字 滤波器的传递函数是[6] ∑ ∑ = − = − + = N k k k M r r r a z b z H z 1 0 1 ( ) (2.1.6) 其中， ak ，( k = 1,2,", N )和 r b ，( r = 0,1,2,", M )分别是分母和分子多项式的系数， j t z e ω∆ = 。 FIR 型数字滤波器的传递函数是[6] ∑ − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n H z h n z (2.1.7) 其中， h(n)，( n = 0,1,2,", N −1)是滤波器的单位脉冲响应函数。 这两类滤波器无论是在性能上还是在设计方法上都有着很大的差别。FIR 型数字滤波器可 以对给定的频率特性直接进行设计。FIR 型数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器 频率特性作某种近似的基础上的。这些近似方法有窗函数法、频率抽样法等；IIR 型数字滤波 器的设计属于间接设计法。IIR 型数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成熟的模拟 滤波器的设计方法来进行设计。而模拟滤波器的设计方法又有巴特沃斯(Butterworth)滤波器、 切比雪夫(Chebyshev)和椭圆滤波器等不同的设计方法。 不论是 FIR 型数字滤波器还是 IIR 型数字滤波器的设计都包括三个步骤[6]： (1) 给出所需要的滤波器技术指标； (2) 设计一个 H(z) ，使其逼近所需要的技术指标； (3) 实现所设计的 H(z) 。 数字滤波器具体的设计方法参加文献[6]
2.现代滤波器 当噪声频带和有用信号频带相互重叠时,经典滤波器就无法实现滤波功能。现代滤波器 也称统计滤波器,从统计的概念出发对信号在时域进行估计,在统计指标最优的意义下,用 估计值去逼近有用信号,相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除。根据不同的划 分,统计滤波器也可分为不同的类型。常用的统计滤波器有维纳滤波器和卡尔曼滤波器两类 1)维纳滤波器 在许多实际问题中,人们所观测或接收到的信号x()=s(1)+n(1),s(1)为信号,n(1)为 噪声。当信号s(t)和噪声n(t)的统计特性确定时,为了从观测信号x(1)中提取或恢复出信号 s(门),就需要设计一个滤波器对x(ω)进行滤波,使滤波器的输出尽可能地逼近s(),这类滤 波器称为最佳滤波器1。 20世纪40年代第二次世界大战期间,由于军事上的需要, Wiener提出并解决了平稳过程 的最佳线性滤波问题。当信号s()和x(1)是平稳随机信号时,采用线性最小均方误差估计准 则,设计的最佳滤波器称为维纳( Wiener)滤波器。维纳滤波的原理如下啊 设滤波器的单位脉冲响应函数为h(),当观测时间段为[o,1]时,以x(1)作为输入,滤 波器的输出s(1)为 s(1)=x(r)h(-r (21.8) 令e()=s()-(1)为估计误差,脉冲响应函数h()按最小均方误差准则确定,即 E(e()=min(E[s(0-s(oP) 2.1.9) 根据式(21.9)的最小均方误差准则,就可求出维纳滤波器的单位脉冲响应h()。 维纳滤波器可根据t时刻,及t以前时刻的观测值x(),t∈[t0t],实现以下三个方面 的应用别 (1)过滤或滤波:估计t=t时刻的信号s(1)。 (2)平滑:估计某一时刻o<t<t的信号S() (3)预测:估计某一时刻t>t的信号s(t)。 2)卡尔曼滤波器 维纳滤波器由于计算量大,难以作实时处理,故不能广泛应用,同时它对非平稳信号的 滤波也无能为力。直到60年代初由于航天事业发展的需要,卡尔曼( Kalman)和布西(Bucy)在 解决非平稳、多输入输出随机序列的估计问题中引入了状态变量,在克服维纳滤波某些局限 的基础上,提出了被后人称为卡尔曼滤波的新滤波方法。该方法在雷达、通信、控制、生物 和勘探等领域得到了广泛的应用810 卡尔曼滤波是线性最小均方误差滤波器的另一种处理方法。它利用离散观察信号x(m)对
24 2．现代滤波器 当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能。现代滤波器 也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用 估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除。根据不同的划 分，统计滤波器也可分为不同的类型。常用的统计滤波器有维纳滤波器和卡尔曼滤波器两类。 1）维纳滤波器 在许多实际问题中，人们所观测或接收到的信号 x(t) = s(t) + n(t)，s(t) 为信号， n(t) 为 噪声。当信号 s(t) 和噪声 n(t) 的统计特性确定时，为了从观测信号 x(t) 中提取或恢复出信号 s(t) ，就需要设计一个滤波器对 x(t) 进行滤波，使滤波器的输出尽可能地逼近 s(t) ，这类滤 波器称为最佳滤波器[3,7,8]。 20 世纪 40 年代第二次世界大战期间，由于军事上的需要，Wiener 提出并解决了平稳过程 的最佳线性滤波问题。当信号 s(t) 和 x(t) 是平稳随机信号时，采用线性最小均方误差估计准 则，设计的最佳滤波器称为维纳(Wiener)滤波器[8]。维纳滤波的原理如下[9]： 设滤波器的单位脉冲响应函数为 h(t) ，当观测时间段为[ , ] 0 f t t 时，以 x(t) 作为输入，滤 波器的输出 sˆ(t) 为 s t x τ h t τ dτ f t ∫t = − 0 ˆ( ) ( ) ( ) (2.1.8) 令e(t) = s(t) − sˆ(t) 为估计误差，脉冲响应函数 h(t) 按最小均方误差准则确定，即 { } 2 2 Ee t Est st { ( )} min [ ( ) ( )] = − ˆ (2.1.9) 根据式(2.1.9)的最小均方误差准则，就可求出维纳滤波器的单位脉冲响应 h(t) [9]。 维纳滤波器可根据t 时刻，及t 以前时刻的观测值 x(t) ， [ ] 0, f t ∈ t t ，实现以下三个方面 的应用[3,8]： (1)过滤或滤波：估计 f t = t 时刻的信号 s(t) 。 (2)平滑：估计某一时刻 f t < t < t 0 的信号 s(t) 。 (3)预测：估计某一时刻 f t > t 的信号 s(t) 。 2）卡尔曼滤波器 维纳滤波器由于计算量大，难以作实时处理，故不能广泛应用，同时它对非平稳信号的 滤波也无能为力。直到 60 年代初由于航天事业发展的需要，卡尔曼(Kalman)和布西(Bucy)在 解决非平稳、多输入输出随机序列的估计问题中引入了状态变量，在克服维纳滤波某些局限 的基础上，提出了被后人称为卡尔曼滤波的新滤波方法。该方法在雷达、通信、控制、生物 和勘探等领域得到了广泛的应用[7,8,10]。 卡尔曼滤波是线性最小均方误差滤波器的另一种处理方法。它利用离散观察信号 x(n) 对