对于t>0时方程写为yr(t)+3yr(t)+2yt=6 齐次解:Cne+Cne2t 特解:设为P,求得P=3 yt)=Cne+Cne2+3,求得:Cn=4,Cn2=1 yt=4e+e21+3t≥0 全响应y(t)=yx(t)+yt)=4e+2e24ee2+3=-e2+3 2用LTI系统零状态响应的线形性质和微分性质求yt) 例:y(t)+2y(t)=f"(t)+f(t)+2ft)t=E()求yt) 输入分为3部分 设ft 系统 yI(t=T[o, f(t)] 满足方程:y1(t)+2y1(1=f(t)且y(0=0y+)=0 齐次解:Ce2→y(t)=Ce2+1=1e+=[l1e6() 特解 2f(t) 统 1(-e-2)·()+e2(1)=e2E(1) 0r(系统一y"(0 y1(=e26(1)-2e2()=(1)2e2E() yft=yn"t)+y1(t)+2y1(t)=06(1)+(12e-2)()
6 对于 t＞0 时,方程写为: yf ‘‘(t) + 3yf ‘ (t)+2 yf(t)= 6 齐次解: Cf1e -t+Cf2e -2t 特解: 设为 P0,求得 P0=3 yf(t)= Cf1e -t+Cf2e -2t +3, 求得: Cf1= -4, Cf2=1 ∴ yf(t)= -4e-t+e-2t +3 t≥0 全响应 y(t) = yx(t) + yf(t)= 4e-t -2e-2t -4e-t+e-2t +3= - e -2t +3 2 用 LTI 系统零状态响应的线形性质和微分性质求 yf(t) 例: y ‘ (t) +2y(t)= f ‘‘(t) + f ‘ (t)+2 f(t) f(t)= (t) 求 yf(t) 输入分为 3 部分： 设 ○1 f(t) 系统 y1(t)=T[0,f(t)] 满足方程: y1 ‘ (t) +2y1(t)= f(t) 且 y1(0-)=0 y1(0+)=0 齐次解: C1e -2t y1(t )=C1e -2t + 2 1 =- 2 1 e -2t + 2 1 = 2 1 [ 1-e -2t] (t) 特解: P0= 2 1 ○2 f ‘ (t) 系统 y1 ‘ (t) y1 ‘ (t)= 2 1 (1-e -2t)· (t) + e -2t (t) = e -2t (t) ○3 f ‘‘(t) 系统 y1 ‘‘(t) y1 ‘‘(t)= e -2t (t)-2 e -2t (t) = (t)-2 e -2t (t) yf(t)= y1 ‘‘(t)+ y1 ‘ (t)+2 y1 (t)= (t) +(1-2 e -2t) (t)
§22冲击响应和阶跃响应 求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法在这种方法中,冲击响 应和阶跃响应是非常重要的概念是系统的基本响应反映系统特性 经典法 方法一:f(t) cL →y/()+yx( 方法二:f(t) LTI →h(t)→V;()用h(+)表示 冲击响应h(t) def TI{0},{o(t)} 1定义 8(t) x(0)={0} 巴LT t 0 2h(t)的求解方法 情况一:等号右端只含激励ft),--经典法 (n)(+any(n-1)(t+…+ay(=ft) hm)(t)+anh(m-()+…+ah(t)=6(t)输入为6(1) h(0.)=0,j=0、1、2…n-l 初始状态为0 0-初始值hO(O-)=hO(O)=0j=0、1、2…n2 h 0+)=h-)(0.)+1=1 h(形式h()=(∑Ce1)·E(t)
7 §2.2 冲击响应和阶跃响应 求零状态响应的一种重要方法是卷积积分法.在这种方法中,冲击响 应和阶跃响应是非常重要的概念.是系统的基本响应,反映系统特性. 一 冲击响应 h(t) def T[{0},{ (t) }] 1 定义: 2 h(t)的求解方法: 情况一: 等号右端只含激励 f(t), ------经典法 y (n) (t)+ an-1y (n−1) (t)+…+ a1y (t)=f(t) h (n) (t)+ an-1h (n−1) (t)+…+ a1h (t)= (t) 输入为 (t) h ( j) (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 初始状态为 0 0+初始值 h ( j) (0+)= h ( j) (0-)=0 j=0、1、2 … n-2 h (n−1) (0+)= h (n−1) (0-)+1=1 h(t)的形式: h(t)= ( = n i t e Ci i 1 )· (t)
例:22-1h(t)满足rh(t+5h(t+6h(t)=(t) h(0.)=h(0.)=0 ◎确定0初始值:方程两端奇异函数平衡 h(t)连续,h(0-)=h(0) (t)跃变,h(0+)≠h(0.) 方程两边积分: h"(ot+50h(t+650h()=6()dt [h(0+}-h(0.)+5[h(0+)-h(0.)+0=1 h(0+)=h(0.)=0 h(0+)=h(0.)+1=1 ⑥考虑t>0(或=0以后)的系统响应,此时激励为0P2] 齐次方程:h(t)+5h(t)+6h(t)=0 解的形式:h(t)=Ce2+C2e3tt≥0 h(t=-2Ce21-3C h(0=C1+C2=0 C1=1 h(0+)=-2C1-3C2=1 C2=- h(t)=(e2-e3)·E(t) 情况二:等号右端除t外,还有f(m)(t y (n)(t) an-ly (n-D(t).+ay((t)+ aoy(t) bmf (m)(t)+bm- f (m-D)(t)+. +bIf o(+ bof(t)
8 例: 2.2-1○1 h(t) 满足 h ‘‘(t)+5 h ‘ (t)+6 h(t)= (t) h ‘ (0-)= h (0-)=0 ○2 确定 0+初始值：方程两端奇异函数平衡 h (t)连续，h (0+) =h (0-) h ‘ (t)跃变， h ‘ (0+)≠h ‘ (0-) 方程两边积分： + − 0 0 h ‘‘(t)dt+5 + − 0 0 h ‘ (t)dt+6 + − 0 0 h (t)= + − 0 0 (t) dt [h‘ (0+)- h ‘ (0-)]+5[ h (0+)- h (0-)]+0=1 ∴ h (0+) =h (0-)=0 h ‘ (0+)=h‘ (0-)+1=1 ○3 考虑 t＞0(或 t=0+以后)的系统响应，此时激励为 0 [P52] 齐次方程：h ‘‘(t)+5 h ‘ (t)+6 h(t)=0 解的形式：h(t)= C1e -2t + C2e -3t t≥0 h ‘ (t)= -2C1e -2t -3C2e -3t h(0+)= C1+ C2 =0 C1 =1 h ‘ (0+)= -2C1 -3C2 =1 C2 = - 1 ∴ h(t)= (e-2t - e -3t)· (t) 情况二：等号右端除 f(t)外,还有 f (m) (t) y (n) (t)+ an-1y (n−1) (t)+…+ a1y (1) (t)+ a0y(t) = bm f (m) (t)+ bm-1 f (m−1) (t)+……+ b 1 f (1) (t)+ b0f(t)
(-1)()+…+a1h(()+aoh(t bm6(m)(t)+bm16(m-1)(t)+…+b16()(t)+bo8() h(D)(0.)=0,j=0、1、2 求θ初始值较复杂求解思路分二步 第一步:输入仅为∂(D)时,设响应为h() hy(n)(tHan-h1 (n-D)(t) .+ah O)(t)+aoh(t8(t) h(t)用方法一求出 第二步:用线性性质和微分特征 h(t)=bm hI ( m)(t)+bm-1 hr bihi((t)+ bohi(t) 例:2.2-2y"(t)+5y(t+6yt)=f(t)+2f(t)+3ft) 解:①设δ(1)→h(t) h1"()5h1()+6h()=6(1)-同上例,h()=(e2x-e2)·(1) Qh(t)=h1(t)+2h1(t)+3hi(t) h1(t)=(2e24+3e)·E(1)+(e2-3)·(1)=(-2 E(1) h1"()=(4e29-)·E()+(-2e2+3 =(4e29e3)·E(1)+6 h(t)=6()+(3 1)·5 二阶跃响应 定义:gt)derT[{0},{E(1)月
9 h (n) (t)+ an-1h (n−1) (t)+…+ a1h (1) (t)+ a0h (t) = bmδ (m) (t)+ bm-1δ (m−1) (t)+……+ b 1δ (1) (t)+ b0δ(t) h ( j) (0-)=0, j=0、1、2 … n-1 求 0+初始值较复杂,求解思路分二步： 第一步：输入仅为 (t) 时，设响应为 h1(t) h1 (n) (t)+ an-1h1 (n−1) (t)+…+ a1h1 (1) (t)+ a0h1 (t)= (t) h1(t)用方法一求出 第二步：用线性性质和微分特征 h (t) = bm h1 (m) (t)+ bm-1 h1 (m−1) (t)+……+ b 1h1 (1) (t)+ b0h1(t) 例：2.2-2 y‘‘(t)+5y‘ (t)+6y(t)= f ‘‘(t)+2 f ‘ (t)+3 f(t) 解：○1 设 (t) → h1(t) h1 ‘‘(t)+5h1 ‘ (t)+6 h1(t)= (t) ⎯⎯⎯⎯→ 同上例 h1(t)= (e-2t - e -3t)· (t) ○2 h(t)=h1 ‘‘(t)+2h1 ‘ (t)+3 h1(t) ∵ h1 ‘ (t) = (-2e-2t+3e-3t)· (t) + (e-2t - e -3t)· (t) =(-2e-2t+3e-3t)· (t) h1 ‘‘(t) = (4e-2t -9e-3t)· (t) + (-2e-2t +3 e-3t)· (t) =(4e-2t -9e-3t)· (t) + (t) ∴ h(t)= (t) +(3 e-2t -6e-3t)· (t) 二 阶跃响应 1 定义：g(t) def T[{0},{ (t) }]