信息光学实验-实验1透镜的FT性质及图形的光学频谱分析一、实验目的1.了解透镜对入射波前的相位调制原理。2、加深对透镜复振幅传递函数透过率物理意义的认识。3.应用光学频谱分析系统观察常见图形的傅里叶（FT）频谱，加深空间频率域的概念。二、实验原理理论基础：波动方程、复振幅、光学传递函数。透镜由于本身厚度变化，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程不同，即所受时间延迟不同，因而具有位相调制能力，下图为简化分析，假设任意点入射的光线在透镜中的传播距离等于该点沿光轴方向的透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不变，仅产生大小正比于透镜各点厚度的位相变化，透镜传递函数记为：(1)t(x,y)=exp[jΦ(x,y))p(x,y) = kl(x,y)L(xy)：表示光程MNL(x,y) = nD(x,y) +[Do - D(x,y)) (2)Do：透镜中心厚度。D：透镜厚度。n：透镜折射率。D(xy)MD图1透镜相位变换原理图可见只要知道透镜厚度函数D（x，y）可得出其位相调制，在球面透镜伤轴区域，用抛物面近似球面，可得到球面透镜的厚度函数：D(x,y) = Do -(c2 + y2)(-)(3)R1，R2：构成透镜的两个球面的曲率半径。t(x,y) = exp(jknDo) ·exp[-jk(n -1),(x2 +y) (-)]（4）引入焦距f，其定义式为=(n-1)(-)代入（4）得：t(x, ) = exp(jknDo) exp[-j(x? + y2)1
1 信息光学实验 实验 1 透镜的 FT 性质及图形的光学频谱分析 一、实验目的 1. 了解透镜对入射波前的相位调制原理。 2. 加深对透镜复振幅传递函数透过率物理意义的认识。 3. 应用光学频谱分析系统观察常见图形的傅里叶（FT）频谱，加深空间频率域的概念。 二、实验原理 理论基础：波动方程、复振幅、光学传递函数。 透镜由于本身厚度变化，使得入射光在通过透镜时，各处走过的光程不同，即所受时间 延迟不同，因而具有位相调制能力，下图为简化分析，假设任意点入射的光线在透镜中的传 播距离等于该点沿光轴方向的透镜的厚度，并忽略光强损失，即通过透镜的光波振幅分布不 变，仅产生大小正比于透镜各点厚度的位相变化，透镜传递函数记为： 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒[𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)] （1） 𝛷𝛷(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑘𝑘𝑘𝑘(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦):表示光程 MN 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑛𝑛𝑛𝑛(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) + [𝐷𝐷0 − 𝐷𝐷(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)]（2） 𝐷𝐷0：透镜中心厚度。 𝐷𝐷：透镜厚度。 𝑛𝑛:透镜折射率。 图 1 透镜相位变换原理图 可见只要知道透镜厚度函数𝐷𝐷(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)可得出其位相调制，在球面透镜傍轴区域，用抛物 面近似球面，可得到球面透镜的厚度函数： 𝐷𝐷(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝐷𝐷0 − 1 2 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) � 1 𝑅𝑅1 − 1 𝑅𝑅2 � （3） 𝑅𝑅1，𝑅𝑅2：构成透镜的两个球面的曲率半径。 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = exp(𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐷𝐷0) ∙ exp�−𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑛𝑛 − 1) 1 2 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) � 1 𝑅𝑅1 − 1 𝑅𝑅2 �� （4） 引入焦距𝑓𝑓，其定义式为1 𝑓𝑓 = (𝑛𝑛 − 1) � 1 𝑅𝑅1 − 1 𝑅𝑅2 �代入（4）得： 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = exp(𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝐷𝐷0) 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)�
此即透镜位相调制的表达式。第一项位相因子仅表示透镜对于入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状。第二项起调制作用的因子，它表明光波通过透镜时的位相延迟与该点到透镜中心的距离平方成正比。而且与透镜的焦距有关，其物理意义在于，当入射光波ui(x,y）=1时，略去透镜的常量值相位延迟后，紧靠透镜之后的平面上复振幅分布为u(x,y) =u(x,y) ·t(x,y) = exp -j(x2 +y2)傍轴近似下，这是一个球面波。对于正透镜t>0，这是一个向透镜后方距离f处的F会聚的球面波。对于负透镜f<0，这是一个由透镜前方距离IfI处的虚焦点F发散的球面波。可见波面的变化，正是透镜具有exp[-j允(x2+y2)的位相因子。当然，在非傍轴挖条件下，会有波像差。考虑透镜孔径后，t(a,)=exp[(2+ y)] p(c,)p(x,y)为透镜的光瞳函数孔径内p(x,y) =其它0三、实验光路计算机16117图2实验光路图四、实验步骤1.扩束2.在试件夹16中装入任一件FT试件3.在FT透镜17的焦面附近移动CCD22，使成像清晰，锁定224.切换FT试件（微孔系列，口孔形波片，网状波片或光栅波片），观测频谱，记录频谱图。FT试件频谱图五、回答下列问题1.光学FT的特点是什么？2.光学FT有什么应用领域？2
2 此即透镜位相调制的表达式。第一项位相因子仅表示透镜对于入射光波的常量位相延迟，不 影响位相的空间分布，即波面形状。第二项起调制作用的因子，它表明光波通过透镜时的位 相延迟与该点到透镜中心的距离平方成正比。而且与透镜的焦距有关，其物理意义在于，当 入射光波𝑢𝑢𝑖𝑖(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 1时，略去透镜的常量值相位延迟后，紧靠透镜之后的平面上复振幅分 布为𝑢𝑢′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∙ 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� 傍轴近似下，这是一个球面波。对于正透镜𝑡𝑡 > 0，这是一个向透镜后方距离𝑓𝑓处的 F 会聚的 球面波。对于负透镜𝑓𝑓 < 0，这是一个由透镜前方距离|𝑓𝑓|处的虚焦点 F 发散的球面波。可见 波面的变化，正是透镜具有𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)�的位相因子。当然，在非傍轴挖条件下，会 有波像差。考虑透镜孔径后， 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� ∙ 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)为透镜的光瞳函数 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = � 1 孔径内 0 其它 三、实验光路 图 2 实验光路图 四、实验步骤 1．扩束 2．在试件夹 16 中装入任一件 FT 试件 3．在 FT 透镜 17 的焦面附近移动 CCD22，使成像清晰，锁定 22 4．切换 FT 试件（微孔系列，口孔形波片，网状波片或光栅波片），观测频谱，记录频 谱图。 FT 试件 频谱图 五、回答下列问题 1．光学 FT 的特点是什么？ 2．光学 FT 有什么应用领域？
实验24f光学系统FT及IFT系统1、实验目的1.进一步掌握透镜的FT性质，学习FT光路的原理：2.应用4f光学FT系统观察常见图样的反傅氏变换（IFT）图像，并与FT频谱的试件图样比较：3.观察渐晕效应。2、实验原理理论基础：衍射理论，角谱理论透镜之所以能够做FT，根本原因在于透镜的二次位相因子对入射波前起到位相调制作用。若以透镜后焦面为观察平面，物体相对于会聚透镜d.发生变化时，可以研究透镜的FT性质。试片UU9t(x.yt(xy)f图1图1表示物体紧靠透镜旋转FT逃跑，物体指透射型薄平面试片。采用振幅A的单色平面波照明，为求出透镜后焦面上的光强分布U，须逐面求出透镜前后平面光场分布U、U（I指lens）设物体的复振幅透过率t(x,y)，则有(1)Ui(x,y) = A t(x,y)不计透镜孔径作用，透镜的复振幅透过率t(x,y) = exp[-(c2 + y)](2)(3)那么u(x,y)=U(x,y)·ti(x,y)光波从透镜传播f距离后，根据菲涅尔衍射公式(4)U,(x,yr)=exp[(x2 + )] ×3[i(x,y)exp[(x2 +2)jnf式中f=，=兰，不计常量相位因子将1，2，4式代入3式，得u(xfyr)=exp[(c2+)]-(+)(5)式中T(fx,f)=3(f(x,y))式5表明，透镜后焦面上的光场分布正比于物体的FT，其频率取值后焦面坐标，其值，。xfxf当然，由于变换式前存在位相因子exp[崇（x+y)]，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布并不相同。但对光强响应型光电转换显示器件及目视效果来说，这一位相弯曲3
3 实验 24f 光学系统 FT 及 IFT 系统 1、实验目的 1．进一步掌握透镜的 FT 性质，学习 FT 光路的原理； 2．应用 4f 光学 FT 系统观察常见图样的反傅氏变换（IFT）图像，并与 FT 频谱的试件 图样比较； 3．观察渐晕效应。 2、实验原理 理论基础：衍射理论，角谱理论 透镜之所以能够做 FT，根本原因在于透镜的二次位相因子对入射波前起到位相调制作 用。若以透镜后焦面为观察平面，物体相对于会聚透镜𝑑𝑑0发生变化时，可以研究透镜的 FT 性质。 图 1 表示物体紧靠透镜旋转 FT 逃跑，物体指透射型薄平面试片。采用振幅 A 的单色平 面波照明，为求出透镜后焦面上的光强分布𝑈𝑈𝑓𝑓，须逐面求出透镜前后平面光场分布𝑈𝑈𝑙𝑙、𝑈𝑈𝑙𝑙（′ 𝑙𝑙 指 lens）设物体的复振幅透过率𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)，则有 𝑈𝑈𝑙𝑙(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝐴𝐴 ∙ 𝑡𝑡(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) （1） 不计透镜孔径作用，透镜的复振幅透过率 𝑡𝑡𝑙𝑙(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� （2） 那么𝑈𝑈𝑙𝑙 ′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑈𝑈𝑙𝑙(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∙ 𝑡𝑡𝑙𝑙(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) （3） 光波从透镜传播𝑓𝑓距离后，根据菲涅尔衍射公式 𝑈𝑈𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑓𝑓, 𝑦𝑦𝑓𝑓 � = 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� × ℑ�𝑈𝑈𝑙𝑙 ′ (𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)�� （4） 式中𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 ，𝑓𝑓𝑓𝑓 = 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 ，不计常量相位因子 将 1，2，4 式代入 3 式，得 𝑢𝑢𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑓𝑓, 𝑦𝑦𝑓𝑓 � = 𝐴𝐴 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑝𝑝 �𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� ⋅ 𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 � （5） 式中𝑇𝑇�𝑓𝑓𝑥𝑥 , 𝑓𝑓𝑦𝑦 � = ℑ{𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)} 式 5 表明，透镜后焦面上的光场分布正比于物体的 FT，其频率取值后焦面坐标，其值 是𝑓𝑓𝑙𝑙 = 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 ，𝑓𝑓𝑦𝑦 = 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 。 当然，由于变换式前存在位相因子𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑓𝑓 2 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 2��，后焦面上的位相分布与物体频 谱的位相分布并不相同。但对光强响应型光电转换显示器件及目视效果来说，这一位相弯曲
并无影响，所以I（xy）=（）T（·)的物理意义在于其后焦面上光强分布，恰恰是物体的功率谱。UoUU'Unt(xo.yo)t(xy)fdo图2图2表示物体放置在透镜前方d.距离，可推得U(fyr)=exp[(1-9)(2+)] (+)(6)可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体FT。而变换式前面的二次位相因子使物体频谱产生一个位相弯曲。当do=0时，公式（6）与图1情况完全一致，当do=时，公式（6）变为u(gy）=·(+)T此时，位相弯曲效应消失，后焦面上光场分布是物体准确的FT。这正是我们所用的FT运算光路。物体旋转在透镜后方，后焦面上仍然得到到物体的F和（相差一个二次位相因子）。当d=f时，即物体紧靠透镜后表面时，与紧靠透镜前方旋转效果一样。若需要对所得的物体频谱T(+兴)利用透镜再作一次变换，例如物体频谱位于透镜前焦面，观察平面选在透镜后焦面，即x，y'平面。透镜焦距不变。略去常系数，可以得到U(x,y') = JJ T (+)exp[-j(xrx + yry)]dxfdy, =Ct(-x,-y)(7)式中，C为常数。于是连续两次变换的结果是在空间域还原一个物体，它是原物体的个倒像。如果采用反射坐标系，即令x"=一x，y"=一y，则(8)U(x",y")=Ct(x",y")此时，透镜的作用可看作是实现了对物体频谱的傅里叶反变换（IFT）。颊谱面物体的像傅立叶透镜傅立叶透镜A物体图3X
4 并无影响，所以𝐼𝐼𝑓𝑓�𝑥𝑥𝑓𝑓, 𝑦𝑦𝑓𝑓 � = � 𝐴𝐴 𝜆𝜆𝜆𝜆 � 2 𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 ⋅ 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 �的物理意义在于其后焦面上光强分布，恰恰是物 体的功率谱。 图 2 表示物体放置在透镜前方𝑑𝑑0距离，可推得 𝑈𝑈𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑓𝑓, 𝑦𝑦𝑓𝑓� = 𝐴𝐴 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �𝑗𝑗 𝑘𝑘 2𝑓𝑓 �1 − 𝑑𝑑0 𝑓𝑓 � (𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� ⋅ 𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆� （6） 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体 FT。而变换式前面的二次位相因子使物 体频谱产生一个位相弯曲。 当𝑑𝑑0 = 0时，公式（6）与图 1 情况完全一致， 当𝑑𝑑0 = 𝑓𝑓时，公式（6）变为𝑈𝑈𝑓𝑓 �𝑥𝑥𝑓𝑓, 𝑦𝑦𝑓𝑓� = 𝐴𝐴 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 ⋅ 𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆� 此时，位相弯曲效应消失，后焦面上光场分布是物体准确的 FT。这正是我们所用的 FT 运算光路。 物体旋转在透镜后方，后焦面上仍然得到到物体的 F 和（相差一个二次位相因子）。当 𝑑𝑑 = 𝑓𝑓时，即物体紧靠透镜后表面时，与紧靠透镜前方旋转效果一样。 若需要对所得的物体频谱𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 �利用透镜再作一次变换，例如物体频谱位于透镜前 焦面，观察平面选在透镜后焦面，即𝑥𝑥′ , 𝑦𝑦′平面。透镜焦距不变。略去常系数，可以得到 𝑈𝑈(𝑥𝑥′ , 𝑦𝑦′ ) = ∬𝑇𝑇 � 𝑥𝑥𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆 + 𝑦𝑦𝑓𝑓 𝜆𝜆𝜆𝜆� 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �−𝑗𝑗 2𝜋𝜋 𝜆𝜆𝜆𝜆 �𝑥𝑥𝑓𝑓𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦𝑓𝑓𝑦𝑦′�� 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑓𝑓𝑑𝑑𝑦𝑦𝑓𝑓 = 𝐶𝐶𝐶𝐶(−𝑥𝑥′ , −𝑦𝑦′ ) （7） 式中，C 为常数。于是连续两次变换的结果是在空间域还原一个物体，它是原物体的一 个倒像。如果采用反射坐标系，即令x" = −𝑥𝑥，𝑦𝑦" = −𝑦𝑦，则 𝑈𝑈(𝑥𝑥",y")=Ct(x",y") （8） 此时，透镜的作用可看作是实现了对物体频谱的傅里叶反变换（IFT）
图3所示为4f系统原理图，物体经过第一傅立叶透镜后，在傅立叶透镜后焦面上形成物体的频谱，物体的频谱经过在距频谱面f距离的位置放置第二个傅立叶透镜后，经过逆傅立叶变换，在第二个傅立叶租金镜的后焦面上就可以得到物体相同大小的像。必须指出的是，当点淘汰位于有限距离，即采用球面波照明方式，透镜仍然可起FT作用，频谱面位于光源的像面位置，而不再后焦面上。另外，透镜孔径对FT变换有影响。害质原因是对参与变换的频率成分有滤波作用，通低频，阻高频，产生渐晕效应。孔径越大，越靠近物体，渐晕效应小。三、实验光路21161117四、实验步骤1.扩束2.在试件夹16中装入任一件FT试件3.在FT透镜26的焦面附近移动CCD，使成像清晰，锁定22，同时锁定174.在试件夹25上装入图像处理试片（IFT不需装试片），微调FT透镜17，观测计算机上IFT的图像和图像处理效果。5.切换图像处理试件，观测计算机上不同的图像处理效果。6.记录IFT图像，结合实验结果，整理出试件图样、FT图、滤波等处理效果图五、实验记录FT图形IFT图形5
5 图 3 所示为 4f 系统原理图，物体经过第一傅立叶透镜后，在傅立叶透镜后焦面上 形成物体的频谱，物体的频谱经过在距频谱面 f 距离的位置放置第二个傅立叶透镜后， 经过逆傅立叶变换，在第二个傅立叶租金镜的后焦面上就可以得到物体相同大小的像。 必须指出的是，当点淘汰位于有限距离，即采用球面波照明方式，透镜仍然可起 FT 作用，频谱面位于光源的像面位置，而不再后焦面上。另外，透镜孔径对 FT 变换有影 响。害质原因是对参与变换的频率成分有滤波作用，通低频，阻高频，产生渐晕效应。 孔径越大，越靠近物体，渐晕效应小。 三、实验光路 四、实验步骤 1．扩束 2．在试件夹 16 中装入任一件 FT 试件 3．在 FT 透镜 26 的焦面附近移动 CCD，使成像清晰，锁定 22，同时锁定 17 4．在试件夹 25 上装入图像处理试片（IFT 不需装试片），微调 FT 透镜 17，观测计算机 上 IFT 的图像和图像处理效果。 5．切换图像处理试件，观测计算机上不同的图像处理效果。 6．记录 IFT 图像，结合实验结果，整理出试件图样、FT 图、滤波等处理效果图 五、实验记录 FT 图形 IFT 图形