国家重点实验室 环 。非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： >)集合R在加法运算下构成阿贝尔群 >2)乘法有封闭性 >3)乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律 。环=阿贝尔加群十乘法半群 ·相关概念 >有单位元环（乘法有单位元） >交换环（乘法满足交换率） >整环（无零因子环）
环 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和乘， 且满足： ➢1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 ➢2) 乘法有封闭性 ➢3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配律 环＝阿贝尔加群＋乘法半群 相关概念 ➢有单位元环（乘法有单位元） ➢交换环（乘法满足交换率） ➢整环（无零因子环）
国家垂点实验室 域 定义：非空集合F,若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： >1)F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 >2)F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元记为1 >3)加法和乘法之间满足分配律 。域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 ·元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或F表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域
域 定义：非空集合F，若F中定义了加和乘两种运算，且满 足： ➢ 1) F关于加法构成阿贝尔群，加法恒等元记为0 ➢ 2) F中所有非零元素对乘法构成阿贝尔群，乘法恒等元 记为1 ➢ 3) 加法和乘法之间满足分配律 域是一个可换的、有单位元、非零元素有逆元的环，且域 中一定无零因子。 元素个数无限的域称为无限域；元素个数有限的域称为有 限域，用GF(q)或Fq表示q阶有限域。有限域也称为伽逻 华域
国家重点实验室 子环 。定义 >若环R中的子集S,在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 。判定 >非空子集S是R的子环的充要条件是： ·对任何两个元素a,b∈S,恒有a-b∈S; ·对任何两个元素a,b∈S,恒有ab∈S; 。例子 >全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如3，集合{，-3， 0,3,…}构成一个子环
定义 ➢若环R中的子集S，在环R中的定义的代数运算也构 成环，则称S为R的子环，R为S的扩环 判定 ➢非空子集S是R的子环的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈S ， 恒有a-b∈S； • 对任何两个元素a, b∈S， 恒有ab ∈S； 例子 ➢全体整数集合构成一个可换环。以某一整数m的倍 数全体构成其中的一个子环。如m=3, 集合{…, -3, 0, 3, …}构成一个子环 子环
国家重点实验室 理想 。理想 >非空子集是交换环R的理想的充要条件是： ·对任何两个元素a,b∈I,恒有a-b∈；→Abel加群 ·对任何两个元素a∈l,r∈R,恒有ar=ra∈l;→若包含了a, 则包含了a的一切倍元 >构成一个Abe加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 。主理想 >若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 >在可换环R中，由一个元素a∈R所生成的理想a)={ra +nar∈R,n∈☑称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元
理想 理想 ➢非空子集I是交换环R的理想的充要条件是： • 对任何两个元素a, b∈I ， 恒有a-b ∈I；→Abel加群 • 对任何两个元素a ∈I, r∈R， 恒有ar=ra ∈I；→若I包含了a， 则包含了a的一切倍元 ➢I构成一个Abel加群，所以可用它作为一个正规子群， 把R中的元素进行分类划分陪集 主理想 ➢若理想中的元素由一个元素的所有倍数及其线性组合 生成，则称这个理想为主理想。 ➢在可换环R中，由一个元素a ∈R所生成的理想I(a)={ra + na|r ∈R, n ∈Z}称为环R的一个主理想，称元素a为 该主理想的生成元
国家重点实验室 剩余类环 。定义 >设R是可换环，为R的一个理想，于是R模构成一 个可换环，称它为环R以理想为模的剩余类环 ·例 >R=Z,13={,3,0,+3,…},R以划分陪集为 0=…,-3,0,3,… 1=…,-2,1,4,… 2=…,-1,2,5,… >集合 {0,1,2} 构成一个可换环
剩余类环 定义 ➢设R是可换环，I为R的一个理想，于是R模I构成一 个可换环，称它为环R以理想I为模的剩余类环 例 ➢R=Z，I3={…, -3, 0, +3, …}，R以I划分陪集为 ➢集合 构成一个可换环 0 , 3,0,3, ; = − 1 , 2,1,4, ; = − 2 , 1,2,5, = − 0, 1, 2