(3) (4) dr2-xe")(y-x)+ 2(-xe")ye"-o1 y+2=3(x+1)。 7.(1) d-y 1 s2(2)d2y_1+t d (3) 1-1)°(1+1) 8.(1)0.6006:(2)0.8747;(3)0.01:(4)2.0125。 n2,S:=( 0.33% 10.=0.33%。 §4微分学中值定理 (-2,1),使f(x)=0,i=1,2 2.提示:作函数f(x)=x3+3px2+3gx+r,证明∫递增 3.提示:作函数F(x)=f(x)-x。 4.提示:存在a13a2∈(a,b),使f(a1)=0,i=1,2。 略。 6.提示:作函数F(x)=f(x)f(1-x)。 7.提示:作函数F(x)=,-f(x),证明F有最大值点x∈(0,+∞) 8.(2)提示:考虑函数e-f(x),先证有两点f(x)-f(x)=0,再作函数 F(x=e('(x)-f(x) b 9.提示:作函数F(x)=(x+, f(x),x∈|a 0.提示:利用 Lagrange中值定理先证有两点51∈(-2,0),2∈(0,2),使得 f(,≤1,1=1,2,再证函数F(x)=f(x)+f(x)2在[51,52]内部取到最大值。 §5 法则 6
6 （3） 2 3 2 ( ) 1 dx x y d y ； （4） ( ) 2(1 )( 1) (1 ) 2 2 3 2 xy xy xy xy y x x e ye x e e dx d y 。 5． y 2 3(x 1) 。 6．0。 7．（1） 2 csc 4 1 4 2 2 t dx d y ；（2） 3 2 2 2 1 t t dx d y ；（3） 3(1 ) (1 ) 2 2 3 2 dx t t d y 。 8．（1）0.6006；（2）0.8747；（3）0.01；（4）2.0125。 9． 2 A 37.70 cm ， 0.33% A 。 10． 0.33% R 。 §4 微分学中值定理 1． ( 2, 1) 3 2 7 1, 2 x ，使 f (xi ) 0，i 1, 2。 2．提示：作函数 f (x) x 3px 3qx r 3 2 ，证明 f 递增。 3．提示：作函数 F(x) f (x) x 。 4．提示：存在 , ( , ) a1 a2 a b ，使 f (ai ) 0，i 1, 2。 5．略。 6．提示：作函数 F(x) f (x) f (1 x)。 7．提示：作函数 ( ) 1 ( ) 2 f x x x F x ，证明 F 有最大值点 (0, ) x0 。 8．（2）提示：考虑函数 e f (x) x ，先证有两点 f (x) f (x) 0 ，再作函数 F(x) e ( f (x) f (x)) x 。 9．提示：作函数 ( ) 2 ( ) f x b a F x f x ， 2 , a b x a 。 10．提示：利用 Lagrange 中值定理先证有两点 ( 2, 0) 1 ， (0, 2) 2 ，使得 f (i ) 1，i 1, 2 ，再证函数 2 2 F(x) f (x) [ f (x)] 在 [ , ] 1 2 内部取到最大值。 §5 L’Hospital 法则
1);(2)-;(3)1;(4)2;(5 7 (9)1;(10)-2;(11)e-;(12)-1;(13)1;(14)1;(15)-c;(16)2sec2 x tan x; 2 (18)1;(19) 86 Taylor公式 1.(1) V-x)1+3x+15235315 x+—x+ x +olx (2) x 2+o(r) (3)、01+x5=1+5x+15x2+5 x4+o(x4)。 2.(1)h(2+x)=hn2+x-x2+…+( x”+o(x"); (2)h(2-3x+x2)=m_3b 2n+1 28 x+o(x"); (3) =1 1+-x+-x (2n-1) x”+o(x"); (4)x2cos32x=x2-x2+…+(-1) x2+o(x2)。 (2n-2) 3.(1)tan x3+o(x4) (2)e2cosx=1-x2+o(x3)。 4.xhnx=(x-1)+(x-1)21 (x-1)3+o(x-1)3)。 5 5.A=2,B 6.√62≈78402,误8(32/000 7.R2-<0.00021 7
7 1．（1） 2 3 ；（2） 2 1 ；（3）1；（4）2；（5） 32 7 ；（6）4；（7） 3 2 ；（8） 2 ； （9）1；（10） 2 ；（11） 1 e ；（12）1 ；（13）1；（14）1；（15） 2 e ；（16） 2sec x tan x 2 ； （17） 3 2 ；（18）1；（19） 6 1 e 。 §6 Taylor 公式 1．（1） 3 (1 ) 1 x ( ) 128 315 16 35 8 15 1 3 2 3 4 4 x x x x o x ； （2） 2 1 x x ( ) 2 1 3 4 x x o x ； （3） 5 (1 x) ( ) 128 5 16 5 8 15 2 5 1 2 3 4 4 x x x x o x 。 2．（1） ln( 2 x) ( ) 2 1 ( 1) 8 1 2 1 ln2 2 1 n n n n x o x n x x ； （2） ln( 2 3 ) 2 x x ( ) 2 2 1 8 5 2 3 ln2 2 n n n n x o x n x x ； （3） 1 x 1 ( ) 2 ! (2 1)!! 8 3 2 1 1 2 n n n x o x n n x x ； （4） x x 2 2 cos ( ) (2 2)! 2 ( 1) 2 2 2 3 2 4 1 n n n- n x o x n x x 。 3．（1） tan x ( ) 3 1 3 4 x x o x ； （2） e x x cos 2 2 ( ) 12 1 1 4 5 x o x 。 4． xln x ( 1) (( 1) ) 6 1 ( 1) 2 1 ( 1) 2 3 3 x x x o x 。 5． A 2 ， B 1， 4 5 C 。 6． 62 7.87402 ，误差 0.000017 32 1 8 2 R 。 7． 0.00021 4 1 3 R
(1)--;(2)--;(3) 3(4)、1 9.提示:对f在点x处用 Taylor公式 10.提示:对∫在点x处用 Taylor公式,再分别代入x-h,x+h 11.提示:对∫在点x=a+b 用 Taylor公式,再分别代入x=a,b。 12.提示:对f(x0+h)写出在点x=x0的n+1阶的带 Peano余项 Taylor公式。 §7函数的单调性和凸性 1.(1)f在(-∞,-1和[5,+∞)上分别递增,在[-1,5]上递减,在x=-1处取到 极大值13,在x=5处取到极小值-95 (2)∫在-1和,+上分别递减,在-,上递增,在 √2√2 x=⊥处取到极小、在x=处取到极万“ (3)f在(-∞,-2]和⑩,+∞)上分别递增,在[-2,-1)和(-1,0]上分别递减,在 x=-2处取到极大值-4,在x=0处取到极小值0 (4)f在[e-1,+∞)上递增,在(-1,e-1-1上递减,在x=e-1-1处取到极小 值 2.(3)提示:作f(x) sIn x 3.提示:令x=一,作f(x)=hx2(x-1) x+1 4.略 5.(1)fm=f(-3)=36,fm=f(1)=4; (2)fmn=f(1) (3)fm=f(-2)=-9,f 144(2 7)49(7 (4)fmn=f(0)=3,fms=f(m2)=4 6.当a≥e时,方程有一个实根;当a<e时,方程有三个实根。提示:考虑 辅助函数 7.最优批量为70711件。 8.所求点为2,4 4.2),最大面积为 9 10.(1)曲线在(-∞,1上上凸,在[1+∞)上下凸,拐点为(1-2) (2)曲线在[0,+∞)上上凸,在(-∞,0上下凸,拐点为(0,0) (3)曲线在(-∞,-2]上上凸,在[-2,+∞)上下凸,拐点为(-2,-2e-2) (4)曲线在(-∞,-√3],[0,√3]上上凸,在[-3,0],[3,+∞)上下凸,拐点为
8 8．（1） 2 1 ；（2） 4 1 ；（3） 3 2 ；（4） 2 1 ；（5）1． 9．提示：对 f 在点 x 处用 Taylor 公式。 10．提示：对 f 在点 x 处用 Taylor 公式，再分别代入 x h, x h。 11．提示：对 f 在点 2 a b x 用 Taylor 公式，再分别代入 x a, b 。 12．提示：对 ( ) f x0 h 写出在点 0 x x 的 n 1 阶的带 Peano 余项 Taylor 公式。 §7 函数的单调性和凸性 1．（1） f 在 (, 1] 和 [5, ) 上分别递增，在 [1, 5] 上递减，在 x 1 处取到 极大值 13，在 x 5 处取到极小值95 ； （2） f 在 2 1 , 和 , 2 1 上分别递减，在 2 1 , 2 1 上递增，在 2 1 x 处取到极小值 2 1 2 1 e ，在 2 1 x 处取到极大值 2 1 2 1 e ； （3） f 在 (, 2] 和 [0, ) 上分别递增，在 [2, 1) 和 (1, 0] 上分别递减，在 x 2 处取到极大值 4 ，在 x 0 处取到极小值 0； （4） f 在 [ 1, ) 1 e 上递增，在 ( 1, 1] 1 e 上递减，在 1 1 x e 处取到极小 值 1 e 。 2．（3）提示：作 x x x f x 3 cos sin ( ) ； 3．提示：令 a b x ，作 1 2( 1) ( ) ln x x f x x 。 4．略 5．（1） fmax f (3) 36, fmin f (1) 4 ； （2） 2 1 (1) fmin f ； （3） fmin f (2) 9， 3 1 max 7 2 49 144 7 5 f f ； （4） fmin f (0) 3， fmax f (ln 2) 4。 6．当 e a e 时，方程有一个实根；当 e a e 时，方程有三个实根。提示：考虑 辅助函数 f (x) log 1 a x a x 。 7．最优批量为 70711 件。 8．所求点为 4 , 4 a a ，最大面积为 8 2 a 。 9．r 。 10．（1）曲线在 (, 1] 上上凸，在 [1, ) 上下凸，拐点为 (1, 2) ； （2）曲线在 [0, ) 上上凸，在 (, 0] 上下凸，拐点为 (0, 0) ； （3）曲线在 (, 2] 上上凸，在 [2, ) 上下凸，拐点为 ( 2, 2 ) 2 e ； （4）曲线在 (, 3]，[0, 3] 上上凸，在 [ 3, 0]，[ 3, ) 上下凸，拐点为
√3 11(1)拐点为(4);:(2)拐点为(+2a3 √3 12.略 元函数积分学练习题 §1定积分的概念、性质和微积分基本定理 1.(1)[x3ax;(2) xd (4) 0 2.(2)提示:1+x°≤(1+x3)2。 3.(1)21+tan+x tan xsec2x:(2) +ln2(1+x +l(1+x2)。 1+ 4.(1)-;(2) 5.(1);(2)h2:(3)√2-1:(4)e。 6.提示:作函数(x)=+ad+。,em,证明厂单调。 提示 (a-x)f(x)x≥0。 8.提示:作函数F0=J()-(小(可()),证明F递增 9.提示:用 Cauchy不等式。 10提是示:记c=2,「(xk=丁(x)+1(x),在这两个积分中 分别对∫用 Lagrange中值定理。 1l.提是示:注意f(x)=Jm/(o,(x)=J,f(o)d,再分别用 Cauchy不等式 12.提示:(1)用反证法,否则,估计积分2(,可得 「x-30(x-4)x=0:(2)先证明35∈[0,使得(5)<4 13.提示:先证∫“(x2+13f(x)≤∫“(ax+13f(x),再放大后一个积分 §2不定积分的计算 1.(1)223 +C:(2)=x2-2x+c:(3)x--x-arcsin x+c In 2-In 3 9
9 4 3 3, ，(0, 0)， 4 3 3, 。 11．（1）拐点为 (1, 4) ； （2）拐点为 2 3 , 3 2 a a 。 12．略。 一元函数积分学练习题 §1 定积分的概念、性质和微积分基本定理 1．（1） 1 0 3 x dx ；（2） 1 0 2 1 x xdx ；（3） 1 0 2 1 x xdx ；（4） 1 0 ln(1 x)dx e 。 2．（2）提示： 6 3 2 1 x (1 x ) 。 3．（1） x x x 4 2 2 1 tan tan sec ；（2） ln(1 ) 1 ln 1 ln (1 ) 2 2 x x x 。 4．（1） 3 1 ；（2） 3 8 。 5．（1） 2 1 ；（2） ln 2 ；（3） 2 1 ；（4） e。 6．提示：作函数 x f x t dt 0 4 ( ) 1 0 cos 2 x t e dt ，证明 f 单调。 7．提示： ( ) ( ) 0 1 1 a a a x f x dx a x 。 8．提示：作函数 t t a a F t x f x dx t f x dx a f x dx 0 0 ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ，证明 F 递增。 9．提示：用 Cauchy 不等式。 10．提示：记 2 a b c ， b a f (x) dx c a f (x) dx b c f (x) dx ，在这两个积分中， 分别对 f 用 Lagrange 中值定理。 11．提示：注意 x x f x f t dt f x f t dt 0 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ，再分别用 Cauchy 不等式。 12 ． 提 示 ：（ 1 ） 用 反 证 法 ， 否 则 ， 估 计 积 分 1 0 ( ) 2 1 x f x dx ，可得 ( ) 4 0 2 1 1 0 x f x dx ；（2）先证明 [0,1] ，使得 f () 4。 13．提示：先证 u a (u 1) f (x)dx 2 2 u a (ux 1) f (x)dx 2 ，再放大后一个积分。 §2 不定积分的计算 1．（1） c x x ln 2 ln 3 2 3 ；（2） x 2 x c 7 2 2 7 ；（3） x x arcsin x c 3 1 3 ；
(4)5x2+3x+3Inx-+c:(5)tan x+secx-x+c (6)x+six +arctan x+c 2.(1)m(2x2+5)+c; (2)2h(x2+2x+2)- arctan(x+1)+c (3)√x2+4+(x+√x2+4)+c:(4) arcsin2x+c 2 (5)l(3e2+1)-x+c (6)-(1-x2) (7)-cos=+c (8) Intan x+c 2 2 (9) arccose-+c (10)=(x+1) (x+ x-+C (11)-2√4-sn2x+c (12) +C: (13) In/x+Inx+c (14)-h +1+ (15)h In (16) arcsin√x-(2+√x)1-x+c; (17) arcsin x+ x+c (18)hn +c +x+ (19)-h arctan x I --arctan x+c (20)-ln (21)-hx+ 2 2x+ xX-1+ 3.(1) 31 sin 2x+sin 4x+c (2)= cos 2x+c (3)x+=In/ sin+cos x+c: (4) x+cot x-cscx+c tar (5)arctan( 2 tan x)-2x+c:(6 √6 tan --1 10
10 （4） c x x x x 1 3 3ln 2 1 2 ；（5） tan x sec x x c ； （6） x c x x 3arctan 2 sin 。 2．（1） ln( 2x 5) c 4 1 2 ； （2） 2ln( x 2x 2) arctan( x 1) c 2 ； （3） x 4 ln( x x 4) c 2 2 ； （4） x c 2 arcsin 2 1 ； （5） e x c x ln( 3 1) 3 4 ； （6） x c 2 3 2 (1 ) 3 1 ； （7） c x 2 cos 2 1 ； （8） ln tan x c ； （9） e c x arccos ； （10） x x x c 2 5 2 3 2 5 5 2 ( 1) 3 2 ( 1) 5 2 ； （11） x c 2 2 4 sin ； （12） c x x 4 1 2 ； （13） ln x ln x c ； （14） c x x 1 ln 3 1 3 3 ； （15） ln x x 1 c x x 2 1 5 1 2 1 5 1 ln 5 1 ； （16） arcsin x (2 x) 1 x c ； （17） x x c 2 arcsin 1 ； （18） c x x 1 1 1 1 ln ； （19） x c x x x x 2 2 2 arctan 2 arctan 1 1 ln 2 1 ； （20） c x x 1 2 1 2 ln 4 2 2 2 ； （21） c x x x x x x x x x 1 2 5 2 ln 2 5 2ln 1 2 5 2 5 2 2 2 。 3．（1） x x sin 4x c 32 1 sin 2 4 1 8 3 ； （2） ln cos 2x c 4 1 ； （3） x ln 2sin cos x c 5 2 5 1 ； （4） x cot x csc x c ； （5） arctan( 2 tan x) 2x c 2 3 ； （6） c x x 1 6 2 tan 1 6 2 tan ln 6 1 ；