第7卷第6期 智能系统学报 Vol.7 No.6 2012年12月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Dec.2012 D0I:10.3969/j.i8sn.1673-4785.201205029 网络出版t地址：htp://www.cnki.net/kcma/detail/23.1538.TP.20121116.1703.013.html 基于Schweizer--Sklar三角范数簇诱导的 剩余蕴涵簇的反向三I算法 罗敏霞，桑脱，何华灿2 (1.中国计量学院理学院，浙江杭州310018：2.西北工业大学计算机学院，陕西西安710072) 摘要：Schweizer-Sklar三角范数簇具有柔化性，使得由其构造的逻辑系统在模糊推理中具有良好的属性.将 Schweizer-Sklar三角范数簇与模糊推理反向三I算法结合起来，给出基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的刹余蕴 涵簇的反向三I算法和a-反向三I算法，并给出对应三I解的表达式.结合Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余 蕴涵簇的特点，讨论当参数取特殊值时对应的特殊蕴涵算子一→p,,→。，一→p的反向三I算法及对应三I解的表达 式.提供一种柔化性的模糊推理反向三I算法. 关键词：模糊推理；反向三I算法；Schweizer--Sklar三角范数簇；FMP问题；FMT问题 中图分类号：TP18文献标志码：A文章编号：16734785(2012)06049407 The reverse triple I algorithms based on a class of residual implications induced by the family of Schweizer-Sklar t-norms LUO Minxia',SANG Ni',HE Huacan2 (1.College of Sciences,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China;2.School of Computer Science,Northwestern Polytech- nical University,Xi'an 710072,China) Abstract:Since the family of Schweizer-Sklar t-norms is flexible,they have good characteristics for fuzzy reasoning based on the logic systems which are based on these operators.Combining the fuzzy reasoning reverse triple I algo- rithm and a class of residual implications induced by the family of Schweizer-Sklar t-norms,the reverse triple I al- gorithms and o-reverse triple I algorithm are proposed,as well as the corresponding expressions of reverse triple I solutions and a-reverse triple I solutions.Combined with the characteristics of the class of residual implications in- duced by the family of Schweizer-Sklar t-norms,this paper discusses the reverse triple I algorithm based on, ,when the parameter takes some special values,and the corresponding expressions of reverse triple I solutions are proposed.A flexible fuzzy reasoning reverse triple I algorithm is provided. Keywords:fuzzy reasoning;reverse triple I algorithm;Schweizer-Sklar t-norms;fuzzy modus ponens;fuzzy modus tollens 模糊推理作为模糊控制理论的基础，也是近似 FMT:给定规则A→B并输入B·,输出A”. 推理的一个分支，近年来受到国内外学者的广泛关 其中A,A·∈F(X),B,B*∈F(Y),F(U)表示 注).模糊推理中的基本推理模型是推理形式模糊 论域U的全体模糊子集构成的集合. 假言推理(FMP)问题和模糊反驳推理(MT)问 王国俊教授首先提出了模糊推理的全蕴涵三I 题2： 算法2]，其基本思想如下： FMP:给定规则A→B并输入A”,输出B·. 已知A∈F(X)和B∈F(X),并且A·∈F(X) (或者B*∈F(Y)),寻求最优的B*∈F(Y)(或者 收稿日期：201205-16.网络出版日期：2012-11-16. A∈F(X)),使得A→B最大程度地支持A→B,即 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61273018)：浙江省自然科学 基金资助项目(Y1110651). (A(x)+B(y)→(A'(x)+B*(y),x∈X,y∈Y, 通信作者：罗敏霞.E-mail:minxialuo(@163.com (1)
第6期 罗敏膜，等：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法 ·495· 具有最大的可能值， 1 预备知识 宋士吉和吴澄在文献[3]中首次提出模糊推理 的反向三I算法.反向三I算法的基本思想如下： 定义1[6] Schweizer-Sklar三角范数簇为[0， 在式(1)成立的前提下，寻求最优的B·∈ 1]上含参数m的三角范数⑧m:[0,1]2→[0,1]，且 F(Y)(或者A·∈F(X)),使得A·→B最大程度支 对任意x,y∈[0,1]，m∈R, 持A→B,即式(2)有最大可能值： 0V(x+y-1),m≠0， (4*(x)→B*(y)+(A(x)→B(y)x∈X,y∈Y x☒my= xY, m=0. (2) 特别地，当m=+∞时， -反向三I算法的基本思想如下： 在式(1)成立的前提下，对于给定的a∈[0， x®y=®r=0,” xΛy,￥Vy=1(突变积) 其他. 1],寻求最优的B·∈F(Y)(或者A·∈F(X)),使 当m=1时，x⑧my=x⑧y=(x+y-1)V0 得A·→B*最大程度支持A→B,即式(3)成立. (Lukasiewizc三角范数)；当m=0时，x⑧my= (A(x)→B”(y))→(A(x)+B(y))≥a, x⑧py=y(乘积三角范数)；当m=-o时，x⑧my= xeX,y∈Y (3) x☒wy=x八y(极小三角范数) 以往的三I算法及反向三I算法大都是选取不 定义2[6列] 由Schweizer--Sklar三角范数簇诱导 含参数的由左连续三角范数诱导的剩余蕴涵算子. 的剩余蕴涵簇→m:[0,1]2→[0,1]，且对任意 文献[4]中给出了基于Lukasiewizc蕴涵的反向三I x,y∈[0,1]，meR, 解的正确表达式.文献[5]讨论了基于某些常见蕴 涵算子的反向三I算法.本文将寻求更具一般性的 1Λ(1-x+y)立，m≠0： x→my= 含参数的蕴涵算子，并与模糊推理反向三I算法结 (1 A X m=0. 合起来，为实际应用提供更具一般性的模糊推理算 为避免歧义，当m<0时作如下规定：0→0=1， 法.Schweizer与Sklar提出了Schweizer-Sklar三角范 数簇67]，该三角范数簇包含了4个最基本的三角 当x≠0时，x→m0=0 特别地，当m=+∞时， 范数.2003年，Whalen在文献[8]中研究了由 Schweizer-Sklar三角范数簇导出的剩余蕴涵簇，并 ￥→y=x一o=,其他（突变蕴涵）； 将其中的参数与模糊规则之间交互作用的强度联系 起来.文献[9]研究了基于Schweizer-Sklar三角范数 当m=1时，x→my=x→y=1Λ(1-x+y) 簇的模糊逻辑系统UL*,证明了该系统的可靠性 (Lukasiewizc蕴涵)；当m=0时，x一→my=x→py= 和完备性，并说明了系统UL*中参数的含义及其 1∧y(Goguen蕴涵)当m=-o时， 在近似推理中的应用.文献[l0]讨论了基于Schwei- zer-Sklar三角范数簇的模糊推理模型的连续性.文 x→my=x→十y= 1,x≤y:(Cdel蕴涵) Ly,x>y. 献[11]中给出了基于Schweizer-Sklar三角范数簇的 命题1 Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的蕴 三I算法. 涵簇关于第1变元和第2变元是左连续的，当m> Schweizer-Sklar三角范数簇具有柔化性，使得 0时，关于第1变元是连续的 由其构造的逻辑系统在模糊推理中具有良好的属 证明当m>0时， 性.本文将模糊推理反向三I算法与由Schweizer- 1， x≤y; Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇结合起来，并 x十my= 讨论基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴 1(1-x+y)六，x>y 涵簇的反向三I算法和-反向三I算法，并给出对 根据连续性定义很容易得出→m关于x、y都是连 续的 应三I解的表达式.根据Schweizer-Sklar三角范数簇 诱导的剩余蕴涵簇的特点，讨论当参数取特殊值 当m=0时，x一={4，>y0. x≤y 取y=0, 时，所对应的特殊蕴涵算子→p、、→c、→p的反 向三I算法，同时讨论对应的三I解的表达式， lim(x一→n0)=0≠(0→n0)=1,因此→m关于x不是
·496 智能系统学报 第7卷 右连续的.对任意yo∈[0,1]，lim(x一→my)= 于第1个变元不增，且关于第2变元不减，则式 y0 m（)=(x一0），因此.关于y左连续同样可 (2)的最大值是 M(x,y)=(A(x)+0)+(A(x)→B(y), 证→n关于x左连续 若+关于第1个变元和第2变元都是左连续的，则 x≤y; FMP-反向三I解是惟一的， 当m<0时，x→ny x>y=0: 定理1假设FMP问题中的蕴涵算子是 (1-x0+y)六，x>y>0. Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇，那 取y=0,lim（x→n0)=0≠(0→n0)=1,因此 么FMP-反向三I解的表达式为：对x∈X,y∈Y, →m关于x不是右连续的.对任意y%∈[0,1]， im{(A(x)→B(y）)®A(x)}, im(xy）=lim(1-x”+y)六=(xno),因此， X5,（x）+X(x),m≤0； B·(y)= →m关于y左连续同样可证→m关于x左连续 inf{(A(x)→B(y)☒A*(x)V0}, Xs,e（x）+K级（x),m>0. 2基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱 式中： 导的剩余蕴涵簇的FMP-反向三I E,={x∈X1m≤0，A(x)→B(y)≠1}， 算法 E2={x∈XIm>0,(1-(A*(x))m)V (A(x)→B(y)<1}, 定义3[3】假设集合X和Y是非空集合，A, Xa表示集合A的特征函数，即 A·∈F(X),B∈F(Y).在MP问题中，如果B·是 F(Y)中使式(2)取最大值的最大模糊集，则称B 0-6在 为FMP-反向三I解. 证明由引理1知式(2)的最大值是： 引理1若二元算子：[0,1]2→[0,1]关 x∈X,y∈Y, m≤0或m>0,(1-(A(x))≤A(x)+B(y), ）={A(》+(d→B》)片，m>0,1-4()>A)→B) 对x∈X,y∈Y作下面几种情形讨论： B(y)时.此时M(x,y）=1,那么A(x)→B(y)≤ 1)当m=0时.此时M(x,y)=1,那么A·(x)A(x)→B(y).若A(x)→B(y）=1,则B(y)=1. →B*(y)≤A()-→B(y).若A(x)→B(y）=1,则若A(x)-→B(y)≠1，(1-(A(x)+(B(y))≤ B(=1.若到-8()1具0≤a(e)4B.所以 B(y),所以B(y)≤A·(x)×(A(x)→B(y)= B(y）≤(A(x)→B(y)+(A(x)"-1)÷= (A(x)→B(y)⑧A"(x),则B'(y)=imf (A(x)→B(y))☒A(x), 4B配)*1 则B()=1(A()→B(y)⑧ {(A(x)→B(y)⑧A(x). (1-(4"(国)m)m≤A()-B() 2)当m<0时.此时M(x,y)=1,那么A(x) A*(x) →B·(y)≤A(x)→B(y).若A(x)→B(y)=1,则 4)当m>0且(1-(A°(x)")÷>A(x)→ B(y)=1.若A(x)→B(y)≠1，(1-(A·(x)+ B(y)时.此时M(x,y)=(A（x)+（A(x)→ (B*(y))≤A(x)→B(y),所以 B(y))<1,那么(1-（A*(x)→B·（y)m+ B(y)≤(A(x)→B(y)+(A'(x)m-1)= (A(x)→B(y))点=(A(x)m+(A(x)→ (A(x)→B(y)⊙A(x), 则B·(y)=imf{(A(x)→B(y）)☒A(x). B(y)),所以(A（x)+B（y)=1- A)B武yr1 (A(x).若A(x)=0,则B*（y)=1.若 3)当m>0且(1-(A·（x)))a≤A(x)+A·(x)≠0，那么
第6期 罗敏膜，等：基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的反向三I算法 ·497· A“(x)→B·(y)=1-(A(x))m=A·(x)0,则 F(X)中使式(2)取最大值的最小模糊集，则称A· B(y)=0. 为MT-反向三I解. 综上4种情形，定理1中的表达式是MP-反 引理21若二元算子：[0,1]2→[0,1]关 向三I解 于第1变元不增，则式(2)的最大值是 推论1假设FMP问题中的蕴涵算子是突变蕴 N(x,y)=(1→B(y))→(A(x)+B(y), 涵，那么FP-反向三I解B”的表达式为：对x∈X, 若→关于第1变元连续，则FT反向三I解是惟一的. y∈Y,B*（y）=im{A(x)→oB(y)xg,(x)+Xs(x),其 由引理2和命题1，下面仅讨论当Schweizer- 中，E,={xeXA(x)=1且A(x)→B(y)≠1} Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m>0 推论2（文献[4]的定理2.1）假设MP问题 时，对应的MT问题反向三I解的表达式， 中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMP-反向 定理2假设T问题中的蕴涵算子是 三I解B·的表达式为：对x∈X,y∈Y,B·(y)= Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇(m> i1(A(x)→B()+A'(x)-1)V0X,(x)+ O),FMT-反向三I解A的表达式为：对x∈X,y∈Y, A(x)={(A(x)-B(y)B(y)A1X.（y), Xs（x),其中E,={x∈XI（1-A*(x))V (A(x)→B(y)<1: 其中，E.={yeYIm>0,B*(y)V(A(x)→B(y))<1}. 证明对m>0,由引理2知，式(2)的最大值 推论3假设FMP问题中的蕴涵算子是 是：对任意x∈X,y∈Y,有 Goguen蕴涵，那么MP-反向三I解B·的表达式 1,B*(y)≤A(x)→By): 为：对x∈X,y∈Y,B(y）=imf{(A(x)+cB(y)× 黑E N(x,y）={(1-(B*(y)m+(A(x)→By)), A(x){XE,（x)+Xe(x),其中，E,={x∈X1A(x) B(y)>A(x)→By) →cB(y)≠1}. 对x∈X,y∈Y,作下面几种情形讨论： 推论4假设MP问题中的蕴涵算子是Gdel 1)当m>0,B·(y)≤A(x)→B(y)时，此时 蕴涵，那么MP反向三I解B*的表达式为：对x∈ N(x,y)=1,那么A"(x)→B(y)≤A(x)→B(y) X,y∈Y,B*(y)=it{(A(x)→B(y)AA*(x)i 若A(x)→B(y)=1,则A·(x)=0.若A(x)→ XE,（x)+Xe(x),其中，E,={x∈XIA(x)→pB(y）≠ B(y)≠1，(1-(A*(x))+(B(y))≤A(x)→ 1. B(y),所以A（x)≥（1-(A(x)→B(y))m+ 注释1推论1~4分别是定理1中令Schwei- (B·(y)))=(A(x)→B(y)→B*(y),则A*(x)= zer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m取 +∞、1、0、-∞.本文中的推论2是文献[4]中的 gm(a()B()一→B(). 定理2.1.文献[5]的定理1.1.5给出了基于 2)当m>0,B·(y)>A(x)→B(y)时，此时 Goguen蕴涵的FMP-反向三I解的表达式存在一些 N(x,y)=(1-B*(y)+(A(x)→B(y))),即 疏漏：如果对给定的y∈Y,存在x∈X,使得 (1-(A(x)→B*(y))+(A(x)→B(y)))六= A(x)+cB(y)=1且A°(x)>0,此时反向三I解 (1-(B*(y))+(A(x)+B(y)m),那么 B(y)=1,但由文献[5]的定理1.1.5得到的 A·(x)B·(y)=B·(y).若B·(y)=1,则A·(x)= B*(y)=imf{(A(x)},E,={x∈XIA*(x)>0{,一般 0.若B*(y)≠1，则A(x)=1. 情祝下，B*(y)≠1 综上2种情形，定理2中的表达式是MT-反向三 3 基于Schweizer-Sklar三角范数簇诱导 I解 推论5假设MT问题中的蕴涵算子是突变蕴 的剩余蕴涵簇的MT-反向三I算法 涵，那么FMT-反向三I解A·的表达式为：对x∈X, 本节讨论的是当Schweizer-Sklar三角范数簇诱 y∈Y,A*(x)=XE.（y).其中，E={y∈YIB*(y)≠ 导的剩余蕴涵簇的参数m>0时的情形 1,A(x)+oB(y)≠1. 定义43)假设集合X和Y是非空集合，A∈ 推论6（文献[4]的定理2.2）假设FMT问题 F(X),B,B·∈F(Y).在FMT问题中，如果A·是 中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMT-反向
·498. 智能系统学报 第7卷 三I解A的表达式为：对x∈X,yeY,A·（x)= A*(x)→B·(y)≤a0=0,即A“(x)→B·(y)=0, 咒(1-(A(x)→B(y)+B(y)A1X.(y), 则B(y)=0;如果A(x)→B(y)≠0，(1-(A(x) 其中，E.={y∈YIB·(y)V(A(x)→B(y)<1. +(B(y))≤(1-a+(A(x)→B(y)m),那 注释2推论5、6分别是定理2中令Schweizer- 么，B(y)≤((A(x)→B(y)m+(A·(x)) Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m取+ a)=a→(A(x)→B(y)⑧A(x),则B·(y）= ∞与1.推论6是文献[4]中的定理2.2. 9g2a-4()-8@4（✉)1. 4基于Schweizer-Slar三角范数簇诱 若m=0,82≤4)→B(2,B°(y)≤ 导的剩余蕴涵簇的-反向三I算法 A(x) 本节中讨论的FMT问题是当Schweizer-Sklar A(x)-→B2xA'(a)=&→(A(x)-→B(y)® Q 三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇的参数m>0时的 A'(x)),B(y）=int{ax→((A(x)→B(y)☒ 情形. A()B()sa 定义53)假设集合X和Y是非空集合，A, A(x). A·∈F(X),B∈F(Y).在FMP问题中，如果B*是 若m>0,(1-(A(x))+(B·(y)m)≤(1- F(Y)中满足式(3)的最大模糊集，则称B·为FMP. a+(A(x)→B(y)),B*（y）≤(A(x)→ α-反向三I解， B(y)"+(A'(x)-a)品=&→(A(x)→ 定义6)假设集合X和Y是非空集合，A∈ B(y)⑧A·(x)),则 F(X),B,B∈F(Y).在MT问题中，如果A*是 B*(y）=it{a→((A（x)+B(y)☒ F(X)中满足式(3)的最小模糊集，则称A·为FMP- 4()<a -反向三I解。 A"(x)). 引理3[)若二元算子→：[0,1]2→[0,1]关 综上，定理3的表达式是FMP-α-反向三I解。 于第1变元不增，关于第2变元不减，且关于第1 推论7假设MP问题中的蕴涵算子是突变蕴 和第2变元都是左连续的，则在 涵，那么FMP-a反向三I解B。的表达式为：对 0<a≤(A*(x)+0)→(A(x)+B(y)) x∈Y,y∈Y, 条件下，MP问题的-反向三I解是惟一的， B.(y）=A(x)→B(y）)X（x）+Xe（x). 引理4)若二元算子→：[0,1]2→[0,1]关 式中： 于第1变元不增且连续，则在 E,1={x∈XIA*(x)=1,A(x)+oB(y)<1,a=1}, 0<a≤((1→B·(y))→(A(x)→+B(y))) E,2={x∈XIA(x)→DB(y)≤a或A(x)→B(y）< 条件下，MT问题的c-反向三I解是惟一的. x<1} 定理3假设FMP问题中的蕴涵算子是 推论8（文献[4]的定理4.1）假设FMP问题 Schweizer-Sklar三角范数簇诱导的剩余蕴涵簇，那 中的蕴涵算子是Lukasiewizc蕴涵，那么FMP-a-反 么FMP-a-反向三I解B。的表达式为：对x∈X,y∈ 向三I解B。的表达式为：对x∈X,y∈Y, Y,B。(y）=i{a→((A(x)→B(y))⑧A(x)) B。(y）=inf{(4(x)→oB(y)+A'(x)-axg,(x), ￥e Xsm（x)+Xe(x),其中，E={xeXA(x)→B(y)<a. 式中：E,={x∈XIA(x)→B(y)<a}. 证明对x∈X,y∈Y,由三角范数性质知，式 推论9（文献[5]的定理2.1.5）假设FMP问 (3)等价于 题中的蕴涵算子是Goguen蕴涵，那么FMP-a-反向 A(x)→B·(y)≤a→(A(x)→B(y)).(4) 三I解B。的表达式为：对x∈X,y∈Y, 当A(x)→B(y)≥a时，A(x)→B·(y)≤1， B()=4）-eB2xA(x(x. 则B·(y)=1. 当A(x)→B(y)<a时，A*(x)→B*(y)<1, 式中：E,={x∈XIA(x)→cB(y）<a} A·(x)>B*(y). 推论10假设FMP问题中的蕴涵算子是Gdel 若m<0,如果A(x)+B(y)=0,那么 蕴涵，那么FMP--反向三I解B。的表达式为：对