D0I:10.13374/i.issnl00113.2007.12.046 第29卷第12期 北京科技大学学报 Vol.29 No.12 2007年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dee.2007 不连续三状态反馈实现维线性系统混沌反控制 张晓丹王震 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要为拓展混沌控制与混沌同步在保密通信等领域方面的应用，通过对一类维不稳定线性系统添加非连续状态反馈 控制项，实现了不连续三状态线性反馈系统混沌反控制，并对这一类高维耦合混沌系统的动力学性质进行了理论分析，给出 了定理和证明.然后分别给出了具有特殊形式的系统和一般系统的例子，计算机数值模拟及计算Lyapunov指数验证这样构 造的高维系统确实存在混沌 关键词线性微分系统：混沌反控制；非连续；耦合系统 分类号TP271+.71:0415.5 自从20世纪混沌现象被发现之后，经过众多 a土iP(a0,≠0，i=N-1)和特征值3(Re(3) 科学家、学者深入细致的工作，混沌理论得到了长 <0). 足的发展，混沌控制和反控制的重要性也日益突 添加控制项u(x),也就是x=Ar十∫十 出，引起了研究人员的兴趣和广泛关注，典型的混 u(x),令 沌系统有Lorenz系统族、Rossler系统和Chua系统 Bx+k1,g(x)≥l 等，大多数的混沌系统都是连续的非线性微分动力 u(x)= 0, 1g(x)<,l>0(2) 系统·针对非奇异微分方程组构成的动力系统，理 Bxr+k2,g(x)≤-l 论己经比较完善].一些混沌系统也已经能够用 使得A十B的全部特征值均具有负实部.其中 电路实现，而不是局限于数字计算模拟的结果， g(x)为状态分割函数，l是一正常数，得到的受控 混沌系统的广义同步特性也开始应用于安全通信领 系统实际上是由三个线性系统耦合而成： 域.而对于线性系统，则需要各种反馈技术或者 r=Ar十f+u(x)= 延时控制，使原系统出现混沌现象，吕金虎等可研 (A十B)x+(f+k),9(x)≥l (a) 究了通过分段线性开关控制器产生混沌的现象；陈 Ax+f, g(x)<l,D0(3) 关荣等]也给出了一种利用反馈方法实现离散系 ((A+B)x+(f十k2),g(x)≤-L (3c) 统的混沌产生机制，在线性系统反控制领域，前人 适当选择k1、k2、g(x)和L,使得g(c1)<L, 己经作了一些探索10，本文在此基础上，进一步 g(2)<l,g(3)>-l,其中 对一类不稳定线性系统，利用非连续状态反馈控 1=一A-f,2=-(A十B)-1(f+k1), 制，实现三系统耦合混沌反控制，从而提供新的混 沌生成器，进一步拓宽混沌的研究和应用领域 3=-(A+B)-(f十k2) 分别是系统(3)的三个子系统(3b)、(3a)、(3c)的平 1 不连续三状态反馈实现线性系统混 衡点 沌反控制 在状态空间x∈R一I<g(x)<I,由于A n维线性微分动力系统 具有实部为正的共轭复特征值，所以子系统（③b)的 x=Ax十f(x,f∈R,A∈Rnx) 状态轨线呈螺旋型由中心向外发散，而在状态空间 (1) {x∈R“|g(x≥l或者ix∈R"g(x)≤一l},系统 式中，∫是常向量，A至少存在共轭复特征值入1,2= 由外向中心旋转收敛，系统在时而发散、时而收敛 收稿日期：2006-08-30修回日期：2006-10-16 的效果共同影响下，会产生混沌的特性 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。~70271068):北京科技 大学科研基金资助项目(No.00009010) 2系统的动力学行为分析 作者简介：张晓丹(1959一)，女，教授 定理1系统（③）在满足条件tr(A)<0和tr(A十
不连续三状态反馈实现 n 维线性系统混沌反控制 张晓丹 王 震 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 为拓展混沌控制与混沌同步在保密通信等领域方面的应用通过对一类 n 维不稳定线性系统添加非连续状态反馈 控制项实现了不连续三状态线性反馈系统混沌反控制并对这一类高维耦合混沌系统的动力学性质进行了理论分析给出 了定理和证明．然后分别给出了具有特殊形式的系统和一般系统的例子计算机数值模拟及计算 Lyapunov 指数验证这样构 造的高维系统确实存在混沌． 关键词 线性微分系统；混沌反控制；非连续；耦合系统 分类号 TP271＋∙71；O415∙5 收稿日期：2006-08-30 修回日期：2006-10-16 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．70271068）；北京科技 大学科研基金资助项目（No．00009010） 作者简介：张晓丹（1959—）女教授 自从20世纪混沌现象被发现之后经过众多 科学家、学者深入细致的工作混沌理论得到了长 足的发展混沌控制和反控制的重要性也日益突 出引起了研究人员的兴趣和广泛关注．典型的混 沌系统有 Lorenz 系统族、Rossler 系统和 Chua 系统 等．大多数的混沌系统都是连续的非线性微分动力 系统．针对非奇异微分方程组构成的动力系统理 论已经比较完善［1—3］．一些混沌系统也已经能够用 电路实现而不是局限于数字计算模拟的结果［4］ 混沌系统的广义同步特性也开始应用于安全通信领 域［5］．而对于线性系统则需要各种反馈技术或者 延时控制使原系统出现混沌现象．吕金虎等［6］研 究了通过分段线性开关控制器产生混沌的现象；陈 关荣等［7—9］也给出了一种利用反馈方法实现离散系 统的混沌产生机制．在线性系统反控制领域前人 已经作了一些探索［10—11］．本文在此基础上进一步 对一类不稳定线性系统利用非连续状态反馈控 制实现三系统耦合混沌反控制从而提供新的混 沌生成器进一步拓宽混沌的研究和应用领域． 1 不连续三状态反馈实现线性系统混 沌反控制 n 维线性微分动力系统 x ·＝ Ax＋ f （ xf∈R nA∈R n× n ） （1） 式中f 是常向量A 至少存在共轭复特征值λ12＝ α±iβ（α＞0β≠0i＝ —1）和特征值 λ3（Re（λ3） ＜0）． 添加控制项 u （ x）也就是 x · ＝ Ax ＋ f＋ u（ x）令 u（ x）＝ Bx＋k1 g（ x）≥ l 0 ｜g（ x）｜＜ l Bx＋k2 g（ x）≤— l l＞0 （2） 使得 A ＋ B 的全部特征值均具有负实部．其中 g（ x）为状态分割函数l 是一正常数．得到的受控 系统实际上是由三个线性系统耦合而成： x ·＝ Ax＋ f＋ u（ x）＝ （A＋B）x＋（f＋k1） g（x）≥l （3a） Ax＋f ｜g（x）｜＜l l＞0 （3b） （A＋B）x＋（f＋k2） g（x）≤—l （3c） 适当选择 k1、k2、g（ x）和 l使得｜g（＾x1）｜＜ l g（＾x2）＜ lg（＾x3）＞— l其中 ＾x1＝— A —1f＾x2＝—（ A＋B） —1（ f＋k1） ＾x3＝—（ A＋B） —1（ f＋k2） 分别是系统（3）的三个子系统（3b）、（3a）、（3c）的平 衡点． 在状态空间｛x∈R n｜— l＜ g（ x）＜ l｝由于 A 具有实部为正的共轭复特征值所以子系统（3b）的 状态轨线呈螺旋型由中心向外发散而在状态空间 ｛x∈R n｜g（ x≥ l｝或者｛x∈R n｜g（ x）≤— l｝系统 由外向中心旋转收敛系统在时而发散、时而收敛 的效果共同影响下会产生混沌的特性． 2 系统的动力学行为分析 定理1 系统（3）在满足条件 tr（A）＜0和 tr（A＋ 第29卷 第12期 2007年 12月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．12 Dec．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．12．046
第12期 张晓丹等：不连续三状态反馈实现n维线性系统混沌反控制 ,1277, B)0时，是耗散系统 k1)·而g(x)是连续的，且g(2)<l,所以系统会 证明：设V=(x1,x2,…,龙m)为状态空间X= 在某一时刻t1穿过平面g(x)=l,进而系统转换 R”上的向量函数，散度为： 到(3)· 7V= aitr(A), Ig(x)l<I (b)当系统状态x满足g(x)≤一l时，系统的 3x:tr(A十B),其他 行为是（③），不考虑系统状态空间的限制，则系统 所以， 的轨线会逐渐靠近平衡点3=一(A十B)一（∫十 7y<0. k2)·而g(x)是连续的，且g(3)>一l,所以系统 对于相空间中初始的体积元V(0),当t→∞ 会在某一时刻t2穿过平面g(x)=一l,进而系统 时，V(t)=V(O)e→0，即包含系统的轨线最 也转换到(3). 终被限制在相空间内一个测度为0的集合内， (c)当系统状态x满足一l<g(x)<l时，系 证毕. 统的行为是(3b),即x=Ax十∫，根据定理2，可知 如果A不满足条件tr(A)<0,虽然无法保证 系统只有唯一不稳定平衡点x*=1=一A∫，此 系统总是耗散的，但是由于控制u(x)的存在，系 时‖x随时间t增大，由假设(3)，此时状态空间 统仍然可以被限定在某个区域内，此时系统仍具有 分割函数g(x)从g(xo)开始上下震荡，且振幅逐 混沌的某些特性， 渐加大·若g(x)增大到l,则系统的行为回到(a) 定理2系统(3)在满足条件|g(1)<l, 若g(x)减小到一l,则系统的行为回到(b)· g(2)<l,g（3)>一l,且矩阵A存在特征值 由上面的叙述可知，系统往复运行在三个状态 入，2=a土i(a>0,≠0，i=、-1)时，具有唯一的 空间中，证毕. 不稳定平衡点x*=1=一A-1∫ 若将符号函数sgn(x)加入到g(x)中，则g(x) 证明：由于2、c3分别是(3a)、(3c)在不受状 的条件可能减弱为分段连续函数，此时仍然可能达 态空间限制时的平衡点，而2、3又不在(3a)、(3c) 到定理3中的结果.关于g(x)中有符号函数的情 系统运行的空间内（由于g(2)<l,g(3)>一）： 形的讨论，参见第4部分的数值模拟举例， 所以对于系统(3)来说，2、￡3都不是它的平衡点， 1是(3)的平衡点，且g(t1)l<l,所以x= 3 系统构造与数值模拟 1是系统（③）唯一的平衡点， 根据前面的定理，简单地令 系统（③）在x处的Jacobi矩阵就是A,而A 4月 存在一个实部大于零的特征值，因此是不稳定的 -月4 证毕. 若g(2)>l或者g(3)<一L,因为A十B的 A- 全部特征值均具有负实部，所以系统会在2或者 3附近渐近稳定，如此则无法达到混沌反控制的 目的， 0 定理3系统(3)满足定理2的条件，且状态分 Yn-2m 割函数g(x)满足下列三个条件时，系统是有界的， 并在三个空间中作往复运动， 01 (1)g(x)为连续函数； (2)当lx‖→oo时，|g(x)→o∞； 0 (3)对于系统x=Ax十f,g(x(t)随着时间 B 变化，从初值g(x(O)开始上下震荡，且振幅逐渐 加大， 0 证明：根据系统的状态，分情况讨论如下 (a)当系统状态x满足g(x)≥l时，系统的行 9-2m 为是(3a),如果不考虑系统状态空间的限制，则系 k=[o1oi…6momI…Tn-2m], 统的轨线会逐渐靠近平衡点2=一（A十B)(∫十 f=0,k1=k,k2=-k
B）＜0时是耗散系统． 证明：设 V＝（ x · 1x · 2…x · n）为状态空间 X＝ R n 上的向量函数散度为： ∇V＝ ∑ n i＝1 ∂x · i ∂xi ＝ tr（ A） ｜g（ x）｜＜ l tr（ A＋B） 其他 所以 ∇V＜0． 对于相空间中初始的体积元 V （0）当 t→∞ 时V （ t）＝ V （0）e （∇V） t→0即包含系统的轨线最 终被限制在相空间内一个测度为 0 的集合内． 证毕． 如果 A 不满足条件 tr（ A）＜0虽然无法保证 系统总是耗散的但是由于控制 u（ x）的存在系 统仍然可以被限定在某个区域内此时系统仍具有 混沌的某些特性． 定理2 系统（3）在满足条件｜g （＾x1）｜＜ l g（＾x2）＜lg （＾x3）＞— l且矩阵 A 存在特征值 λ12＝α±iβ（α＞0β≠0i＝ —1）时具有唯一的 不稳定平衡点 x ∗＝＾x1＝— A —1f． 证明：由于 ＾x2、＾x3 分别是（3a）、（3c）在不受状 态空间限制时的平衡点而＾x2、＾x3 又不在（3a）、（3c） 系统运行的空间内（由于 g（＾x2）＜ lg（＾x3）＞— l）； 所以对于系统（3）来说＾x2、＾x3 都不是它的平衡点． ＾x1是（3b）的平衡点且｜g（＾x1）｜＜l所以 x ∗＝ ＾x1 是系统（3）唯一的平衡点． 系统（3）在 x ∗ 处的 Jacobi 矩阵就是 A而 A 存在一个实部大于零的特征值因此是不稳定的． 证毕． 若 g（＾x2）＞ l 或者 g（＾x3）＜— l因为 A＋B 的 全部特征值均具有负实部所以系统会在 ＾x2 或者 ＾x3 附近渐近稳定如此则无法达到混沌反控制的 目的． 定理3 系统（3）满足定理2的条件且状态分 割函数 g（ x）满足下列三个条件时系统是有界的 并在三个空间中作往复运动． （1） g（ x）为连续函数； （2） 当‖x‖→∞时｜g（ x）｜→∞； （3） 对于系统 x ·＝ Ax＋ fg（ x（ t））随着时间 变化从初值 g（ x（0））开始上下震荡且振幅逐渐 加大． 证明：根据系统的状态分情况讨论如下． （a） 当系统状态 x 满足 g（ x）≥ l 时系统的行 为是（3a）如果不考虑系统状态空间的限制则系 统的轨线会逐渐靠近平衡点＾x2＝—（ A＋B） —1（ f＋ k1）．而 g（ x）是连续的且 g（＾x2）＜ l所以系统会 在某一时刻 t1 穿过平面 g （ x）＝ l进而系统转换 到（3b）． （b） 当系统状态 x 满足 g（ x）≤— l 时系统的 行为是（3c）不考虑系统状态空间的限制则系统 的轨线会逐渐靠近平衡点 ＾x3＝—（ A＋ B） —1（ f＋ k2）．而 g（ x）是连续的且 g（＾x3）＞— l所以系统 会在某一时刻 t2 穿过平面 g （ x）＝— l进而系统 也转换到（3b）． （c） 当系统状态 x 满足— l＜ g （ x）＜ l 时系 统的行为是（3b）即 x ·＝ Ax＋ f根据定理2可知 系统只有唯一不稳定平衡点 x ∗＝＾x1＝— A —1f．此 时‖x‖随时间 t 增大由假设（3）此时状态空间 分割函数 g（ x）从 g（ x0）开始上下震荡且振幅逐 渐加大．若 g（ x）增大到 l则系统的行为回到（a）． 若 g（ x）减小到— l则系统的行为回到（b）． 由上面的叙述可知系统往复运行在三个状态 空间中．证毕． 若将符号函数 sgn（ x）加入到 g（ x）中则g（ x） 的条件可能减弱为分段连续函数此时仍然可能达 到定理3中的结果．关于 g（ x）中有符号函数的情 形的讨论参见第4部分的数值模拟举例． 3 系统构造与数值模拟 根据前面的定理简单地令 A＝ α1 β1 —β1 α1 ⋱ ∗ αm βm —βm αm γ1 0 ⋱ γn—2m B＝ θ1 θ1 ⋱ ∗ θm θm φ1 0 ⋱ φn—2m k T＝［σ1 σ′1 … σm σ′m τ1 … τn—2m ］ f＝0k1＝kk2＝—k． 第12期 张晓丹等： 不连续三状态反馈实现 n 维线性系统混沌反控制 ·1277·
.1278. 北京科技大学学报 第29卷 则A的全部特征值为4士i(k=1,2,…,m)和Y 由前面的叙述，令 (l=1,2,,n一2m),其中至少存在一个4>0， -6 0 及Y<0或者cg<0.A十B的全部特征值为(0十 -6 0 4)士i月(k=1,2,…,m)和(Y+9)(l=1,2,…, 一10 ,k= 10 n-2m) L20 要求 g(x)=Ixi+xsgm(xi+x)+x. =0 4<0 =0 Y<0 「-4 20 -3-11 <-4其他<-￥其他’ -20-4 5 6 则A十B= ,得到耦合系 =04>0 -9-23 ≠0其他 ,≠0， -5J 统为： 则1=0,2=一(A十B)k,3=(A十B)-1k. x=(A+B)x十k,g(x)≥L (4a) g(x)和l的选择，要满足|g(0)1<L,g(- i=Ax,Ig(x)<l (4) (A+B)-k)<I,g(A+B)-k)>-I. x=(A+B)x-k,g(x)≤-l (4c) 例1对系统x=Ax,施加如式(2)定义的控 可以验证2=-(A+B)-1k=[-1.0427 制项u(x),实现混沌反控制，其中 -0.1752-9.11114]T,c3=(A+B)-1k= 2 20-3-7 -￡2,9(2)=2.9327，g(c3)=-2.9327.选取 -20 2 5 6 =5,数值计算显示，状态反馈控制函数g(x)值 1 -23 随时间t的变化如图1所示，各变量的时序见图2. -5J 系统(4)在状态空间中的轨迹如图3所示.经过长 500r (a) (b) -500 0.51.0 1.5 2.0 0 mmMm (d) -10 图1系统(4)的状态反馈控制函数g(x)值的变化：(a)分系统(4a);(b)分系统(4b):(c)分系统(c)；(d)系统(4)· Fig.1 Images of ig(x)for (a)Subsystem (4a),(b)Subsystem(4b),(c)Subsystem (4c),and (d)System (4). ·% 18 (c) 图2系统(4)的各变量的时序.(a)x1;(b)x2:(c)x3;(d)x4 Fig-2 Time series for System (4)of different variables:(a)x1;(b)x2;(c)x3;(d)x4
则 A 的全部特征值为αk±iβk（ k＝12…m）和 γl （ l＝12…n—2m）其中至少存在一个 αk＞0 及 γl＜0或者 αj＜0．A＋B 的全部特征值为（θk＋ αk）±iβk（ k＝12…m）和（γl＋φl）（ l＝12… n—2m） 要求 θi ＝0 αi＜0 ＜—αi 其他 φi ＝0 γi＜0 ＜—γi 其他 σiσ′i ＝0 αi＞0 ≠0 其他 τi≠0 则＾x1＝0＾x2＝—（ A＋B） —1k＾x3＝（ A＋B） —1k． g（ x）和 l 的选择要满足｜g （0）｜＜ lg （— （ A＋B） —1k）＜ lg（（ A＋B） —1k）＞— l． 例1 对系统 x ·＝ Ax施加如式（2）定义的控 制项 u（ x）实现混沌反控制其中 A＝ 2 20 —3 —7 —20 2 5 6 1 —23 —5 ． 由前面的叙述令 B＝ —6 —6 —10 0 k＝ 0 0 10 20 g（ x）＝ ｜x 3 1＋ x 3 2｜sgn（ x 3 1＋ x 3 2）＋ x4 则 A＋ B＝ —4 20 —3 —1 —20 —4 5 6 —9 —23 —5 得到耦合系 统为： x ·＝（ A＋B） x＋kg（ x）≥ l （4a） x ·＝ Ax｜g（ x）｜＜ l （4b） x ·＝（ A＋B） x—kg（ x）≤— l （4c） 可以验证 ＾x2＝ — （ A ＋ B） —1 k ＝ ［ —1∙0427 —0∙1752 —9∙1111 4］ T＾x3＝（ A＋ B） —1 k＝ —＾x2g（＾x2）＝2∙9327g （＾x3）＝—2∙9327．选取 l＝5数值计算显示状态反馈控制函数 g （ x）值 随时间 t 的变化如图1所示．各变量的时序见图2． 系统（4）在状态空间中的轨迹如图3所示．经过长 图1 系统（4）的状态反馈控制函数 g（ x）值的变化： （a） 分系统（4a）；（b） 分系统（4b）；（c） 分系统（4c）；（d） 系统（4）． Fig．1 Images of t－g（ x） for （a） Subsystem （4a）（b） Subsystem （4b）（c） Subsystem （4c）and （d） System （4）． 图2 系统（4）的各变量的时序．（a） x1；（b） x2；（c） x3；（d） x4 Fig．2 Time series for System （4） of different variables： （a） x1；（b） x2；（c） x3；（d） x4 ·1278· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第12期 张晓丹等：不连续三状态反馈实现n维线性系统混沌反控制 .1279. 10r (a) (b) 0 0 10 0 0 0 0 -5-5 -10-5 图3系统(4)在状态空间中的轨迹：(a)状态分量x1,x2,x3:(b)状态分量x2,x3,x4 Fig-3 Trajectories of System (4):(a)xi,x2,x3:(b)x2,x3,x4. 时间的数值演算，最终得到系统(4)的Lyapunov指 -4 20 数谱为[0.2,0，-0.2，-8].说明系统(4)具有混沌 -20 -4 的性质，数值计算Lyapunov指数谱的方法来源于 -19 -23 文献[12] -19.612 例2系统(3)中参数选取如下所示： -17-7 220 -215 -202 30 1-23 得到如下动力系统： 0.4 12 x=(A十B)x+k,g(x)≥L, (5a) -17 -7 =Ax,Ig(x)<1, (5b) -21 5 =(A十B)x-k,g(x)≤-L. (5c) -30 选择状态分割函数g(x)=x十x2g知(x1)十 -6 x5,常数I=5. -6 验证对平衡点的要求：2=一(A十B)k=[0 一20 0-2.14634.38182.15693.3333 B -20 2.0000]T,3=(A十B)-1k=-2,g(2)= 0 2.1569<1=5,g(3)=-2.1569>l=5.虽然 0 g(x)不是连续函数，但是这里g(x)分段连续的性 0 质，仍保证了系统在三个分段空间中自然过渡.状 k=[006060606060], 态反馈控制函数g(x)值的变化情况如图4所示， 所以， 系统轨迹如图5所示.经计算得Lyapunov指 数谱为[2.0,0，-1.0，-6，-12，-20，-31]， A十B= 说明系统的行为是混沌的 200 (b) 0 2000 10 (c) n -10 图4系统(5)的状态反馈控制函数g(x)值的变化：(a)分系统(5a):(b)分系统(5b):(c)分系统(5c):(d)受控系统(5)· Fig-4 Images of i-g(x)for (a)Subsystem (5a),(b)Subsystem (5b),(c)Subsystem(5c),and (d)System(5)
图3 系统（4）在状态空间中的轨迹：（a） 状态分量 x1x2x3；（b） 状态分量 x2x3x4 Fig．3 Trajectories of System （4）： （a） x1x2x3；（b） x2x3x4． 时间的数值演算最终得到系统（4）的 Lyapunov 指 数谱为［0∙20—0∙2—8］．说明系统（4）具有混沌 的性质．数值计算 Lyapunov 指数谱的方法来源于 文献［12］． 例2 系统（3）中参数选取如下所示： A＝ 2 20 —20 2 1 —23 0∙4 12 —17 —7 —21 5 —30 B＝ —6 —6 —20 —20 0 0 0 k T＝［0 0 60 60 60 60 60］ 所以 A＋B＝ —4 20 —20 —4 —19 —23 —19∙6 12 —17 —7 —21 5 30 得到如下动力系统： x ·＝（ A＋B） x＋kg（ x）≥ l （5a） x ·＝ Ax｜g（ x）｜＜ l （5b） x ·＝（ A＋B） x—kg（ x）≤— l． （5c） 选择状态分割函数 g（ x）＝ x 2 1＋x 2 2sgn（ x1）＋ x5常数 l＝5． 验证对平衡点的要求：＾x2＝—（ A＋B） —1k＝［0 0 —2∙1463 4∙3818 2∙1569 3∙3333 2∙0000］ T＾x3＝（ A ＋ B） —1 k ＝—＾x2g （＾x2） ＝ 2∙1569＜ l＝5g （＾x3）＝—2∙1569＞ l＝5．虽然 g（ x）不是连续函数但是这里 g（ x）分段连续的性 质仍保证了系统在三个分段空间中自然过渡．状 态反馈控制函数 g（ x）值的变化情况如图4所示． 系统轨迹如图5所示．经计算得 Lyapunov 指 数谱为［2∙00—1∙0—6—12—20—31］ 说明系统的行为是混沌的． 图4 系统（5）的状态反馈控制函数 g（ x）值的变化： （a） 分系统（5a）；（b） 分系统（5b）；（c） 分系统（5c）；（d） 受控系统（5）． Fig．4 Images of t－g（ x） for （a） Subsystem （5a）（b） Subsystem （5b）（c） Subsystem （5c）and （d） System（5）． 第12期 张晓丹等： 不连续三状态反馈实现 n 维线性系统混沌反控制 ·1279·
.1280 北京科技大学学报 第29卷 50 b 0 -5-10 -10-5 2 图5系统(5)在状态空间中的轨迹：(a)状态分量x1,x2,x3:(b)状态分量x2,x4,x6: Fig.5 Trajectories of System (5):(a)xi.x2.x3:(b)x2.x4.xe. 根据定理4，对一类系统实现混沌反控制， 4一类系统的混沌反控制 例3系统(3)中的参数设计为 定理4若系统(3)已经是混沌系统，那么对任 46 20 -3-24 意的n维线性微分动力系统 -58 -18 18 29 0 -29 f=0, x=Cx+d,C∈RnXn,d∈R" (6) 51 50 -3 -29 如果存在一个可逆矩阵P,使得A=P一1CP且 其若当标准型为 d=P时，则系统(6)可以用相同的方法实现混沌反控 5 制，得到新的系统为： x=Cxr+d十u(x)= 2+20 (C+PBP)x+(d+pki).g(Px)1 2-201 Cx+d, Ig(pxI< 与例1中A(记作A0)的若当标准型是相同的.即 (C+PBP)x+(d+pkz),g(Px)-1 这两个矩阵相似，且A0=P-1AP,其中 (7) 1000 证明：构造映射P:RR,9(x)=Px,则9 -1101 P= 是连续的一一对应，其逆映射为9-(x)=P一1x. 0011 记系统(3)为x=加(x),系统(7)为x= 001 h2(x) 根据定理 4, 选取参数B= 对于任意的x∈R”,当g(x)≥l时， -60 0 01 「01 一6 -6 0 (h(x)=P(h1(x)= 63 20 -10 0 -10 k= 10 30 状态分割 P((A+B)x十(f+k1)= -6 0 0 o L20 P(P CP)x+PBx+Pf+Pk= 函数 CPx+PBP Px+Pf+Pki= g(x)=x+(2x1+x2-x4)3Isgn(xi+ (C+PBP)Px+d+pk= (2x1十x2-x4)3)十x4-x1,l=5. (C+PBP)(x)+d+pki=h2((x)) 这些参数给出了一个混沌反控制系统 同理，当|g(x)<l和g(x)≤-l时，都有(h1 x=(A+B)x+k,g(x)≥5 (8a) (x)=hz(9(x)) 也就是说，系统（③）和系统(7)是拓扑共轭的， x=Ax,-5<g(x)<5 (8b) 因而有相同的动力学性质，所以系统(T)也是混沌 =(A十B)x-k,g(x)≤-5 (8c) 的.证毕. 混沌轨迹如图6所示
图5 系统（5）在状态空间中的轨迹：（a） 状态分量 x1x2x3；（b） 状态分量 x2x4x6． Fig．5 Trajectories of System （5）： （a） x1x2x3；（b） x2x4x6． 4 一类系统的混沌反控制 定理4 若系统（3）已经是混沌系统那么对任 意的 n 维线性微分动力系统 x ·＝Cx＋dC∈R n× nd∈R n （6） 如果存在一个可逆矩阵 P使得 A＝ P —1 CP 且 d＝Pf则系统（6）可以用相同的方法实现混沌反控 制．得到新的系统为： x ·＝Cx＋d＋ u（ x）＝ （C＋PBP —1） x＋（ d＋Pk1） g（ P —1 x）≥ l Cx＋d ｜g（ P —1 x）｜＜ l （C＋PBP —1） x＋（ d＋Pk2） g（ P —1 x）≤— l （7） 证明：构造映射 φ∶R n→R nφ（ x）＝ Px则 φ 是连续的一一对应其逆映射为 φ—1（ x）＝P —1 x． 记系统 （3） 为 x · ＝ h1（ x）系统 （7） 为 x · ＝ h2（ x）． 对于任意的 x∈R n当 g（ x）≥ l 时 φ（ h1（ x））＝P（ h1（ x））＝ P（（ A＋B） x＋（ f＋k1））＝ P（ P —1CP） x＋PBx＋Pf＋Pk1＝ CPx＋PBP —1Px＋Pf＋Pk1＝ （C＋PBP —1） Px＋d＋Pk1＝ （C＋PBP —1）φ（ x）＋d＋Pk1＝h2（φ（ x）） 同理当｜g（ x）｜＜ l 和 g（ x）≤— l 时都有 φ（ h1 （ x））＝h2（φ（ x））． 也就是说系统（3）和系统（7）是拓扑共轭的 因而有相同的动力学性质．所以系统（7）也是混沌 的．证毕． 根据定理4对一类系统实现混沌反控制． 例3 系统（3b）中的参数设计为 A＝ 46 20 —3 —24 —58 —18 8 18 29 0 1 —29 51 50 —3 —29 f＝0 其若当标准型为 A＝ —5 1 2＋20i 2—20i 与例1中 A（记作 A0）的若当标准型是相同的．即 这两个矩阵相似且 A0＝P —1AP其中 P＝ 1 0 0 0 —1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 ． 根 据 定 理 4 选 取 参 数 B ＝ —6 0 0 0 —6 —6 0 6 —10 0 —10 10 —6 0 0 0 k ＝ 0 20 30 20 状 态 分 割 函数 g（ x）＝ ｜x 3 1＋（2x1＋ x2— x4） 3｜sgn（ x 3 1＋ （2x1＋ x2— x4） 3）＋ x4— x1l＝5． 这些参数给出了一个混沌反控制系统． x ·＝（ A＋B） x＋kg（ x）≥5 （8a） x ·＝ Ax—5＜g（ x）＜5 （8b） x ·＝（ A＋B） x—kg（ x）≤—5 （8c） 混沌轨迹如图6所示． ·1280· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷