D0I:10.13374/i.issnl00113.2007.06.02 第29卷第6期 北京科技大学学报 Vol.29 No.6 2007年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2007 一 类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 王博张晓丹 北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要通过对一个三维不稳定线性系统添加非连续状态反馈控制项，即一个分段线性控制开关，从而构造出一种新的几何 对象，实现了三线性系统耦合混沌控制.对一类三维耦合混沌系统的动力学性质进行了理论分析，给出了与此类系统动力学 性质相关的三个定理.数值模拟及计算全部Lyapunov指数验证了该三维耦合系统确实存在混沌. 关键词线性微分系统：混沌反控制；耦合系统：数值模拟；Lyapunov指数 分类号0415.5 研究混沌的判定，通过控制手段而有目地的产 「d00 生混沌，即实现混沌反控制是一项具有跨学科前沿 B= 0 d 0 0 交叉性特点的应用基础性研究，混沌现象已经在很 00 多非线性动力系统中被发现，例如Lorenz系统、 0为大于0实数，9(x)是嵌入系统的控制函数，本 Rossler系统、Chua系统等].线性系统比非线性 文设为x1十x3,由此得耦合反控制系统： 系统的表述和研究都要简单，并且非线性系统很多 =(A-B)x十Cx1十x3>l0 情况下的研究可以通过精确线性化后的线性系统来 =Ax |x1十x3≤lo (1) 实现，本文在研究两线性系统耦合产生混沌吸引子 的理论与模拟的基础上[可，对一类三维、四维不稳 =(A-B)x-C x1十x3一l0 定线性系统，利用非连续状态反馈控制（一种 当系统参数 「0.5 20 01 「4.50 0 目前线性混沌反控制的相对成熟的方法)，实现了三 -200.5 0 系统耦合混沌控制，从而提供了新的混沌生成器，为 B= 0 4.5 0 0 -15 0 0 混沌的进一步应用提供了可能 0) 1新的三系统耦合混沌吸引子 0 L103 对三维线性系统 i=Ax lo=8.057时，耦合系统(1)是一个混沌吸引子，其 进行反控制： 形式如下： 一4 20 0 x=Ax十f(x), 01 -20 -4 0 其中， x+ 0 0 0 -15 L103 b 0 0, a>0,c<0,x∈R3; x1十x3>8.057 (2a) a 「0.520 01 0 -200.5 0 控制项 x= L 0 0 -15 -Bx+c g(x)lo f(x)= 0 |g(x)l≤lo, |x1+x3≤8.057 (2h) 一4 20 07 0 -Bx-c g(x)<-lo x= -20 -4 0 0 收稿日期：2006-03-20修回日期.2006-12-01 0 0 -15 L103 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。:70271068) x1十x3<-8.057 (2c) 作者简介：王博(1980一)，男，硕士研究生：张晓丹(1959一)，女 教授 通过Matlab编程，式(2)的数值模拟图像见图1
一类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 王 博 张晓丹 北京科技大学应用科学学院北京100083 摘 要 通过对一个三维不稳定线性系统添加非连续状态反馈控制项即一个分段线性控制开关从而构造出一种新的几何 对象实现了三线性系统耦合混沌控制．对一类三维耦合混沌系统的动力学性质进行了理论分析给出了与此类系统动力学 性质相关的三个定理．数值模拟及计算全部 Lyapunov 指数验证了该三维耦合系统确实存在混沌． 关键词 线性微分系统；混沌反控制；耦合系统；数值模拟；Lyapunov 指数 分类号 O415∙5 收稿日期：2006－03－20 修回日期：2006－12－01 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．70271068） 作者简介：王 博（1980－）男硕士研究生；张晓丹（1959－）女 教授 研究混沌的判定通过控制手段而有目地的产 生混沌即实现混沌反控制是一项具有跨学科前沿 交叉性特点的应用基础性研究．混沌现象已经在很 多非线性动力系统中被发现例如 Lorenz 系统、 Rossler 系统、Chua 系统等［1－3］．线性系统比非线性 系统的表述和研究都要简单并且非线性系统很多 情况下的研究可以通过精确线性化后的线性系统来 实现．本文在研究两线性系统耦合产生混沌吸引子 的理论与模拟的基础上［4－5］对一类三维、四维不稳 定线性系统利用非连续状态反馈控制［6－11］ （一种 目前线性混沌反控制的相对成熟的方法）实现了三 系统耦合混沌控制从而提供了新的混沌生成器为 混沌的进一步应用提供了可能． 1 新的三系统耦合混沌吸引子 对三维线性系统 x ·＝ Ax 进行反控制： x ·＝ Ax＋ f （ x） 其中 A＝ a b 0 －b a 0 0 0 c a＞0c＜0x∈R 3 ； 控制项 f （ x）＝ －Bx＋C g（ x）＞ l0 0 ｜g（ x）｜≤ l0 －Bx－C g（ x）＜－ l0 B＝ d 0 0 0 d 0 0 0 0 C＝ 0 0 k l0 为大于0实数g（ x）是嵌入系统的控制函数本 文设为 x1＋ x3．由此得耦合反控制系统： x ·＝（ A－B） x＋C x1＋ x3＞ l0 x ·＝ Ax ｜x1＋ x3｜≤ l0 x ·＝（ A－B） x－C x1＋ x3＜－ l0 （1） 当系统参数 A＝ 0∙5 20 0 －20 0∙5 0 0 0 －15 B＝ 4∙5 0 0 0 4∙5 0 0 0 0 C＝ 0 0 103 l0＝8∙057时耦合系统（1）是一个混沌吸引子其 形式如下： x ·＝ －4 20 0 －20 －4 0 0 0 －15 x＋ 0 0 103 x1＋ x3＞8∙057 （2a） x ·＝ 0∙5 20 0 －20 0∙5 0 0 0 －15 x ｜x1＋ x3｜≤8∙057 （2b） x ·＝ －4 20 0 －20 －4 0 0 0 －15 x－ 0 0 103 x1＋ x3＜－8∙057 （2c） 通过 Matlab 编程式（2）的数值模拟图像见图1． 第29卷 第6期 2007年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．6 Jun．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．06．042
第6期 王博等：一类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 .637. 定理2对于耦合系统(1)参数满足： (山>0或c>0,且 ≤lo时，系统有一个 不稳定的平衡点(0,0,0)： 10 (2)a>d或c>0,且 0 >6时，系统有三个 -5-10 -5 不稳定的平衡点0,0，- 、0.00利0.0号： 图1系统(2)的三维混沌图像 (3)a<0和。<0，且上≤1o时，系统有一个 Fig.1 Chaotic trajectory of System(2) 稳定的平衡点(0,0,0)： 计算全部Lyapunov指数为(1.75150 (④a<0和<0，且>o时，系统有三个 一7.7708)，数值模拟证实该系统确实是一个混沌 吸引子 稳定的平衡点0.0一月(00.0利0.0，月 2耦合系统的动力学分析 ⑤)0<a<d和e<0,且>o时，系统有 个不稳定的平衡点(0,0,0)两个稳定的平衡点 通过理论证明与数值模拟，对耦合系统(1)的基 本动力学行为进行分析 0.0,-月利0.0， 2.1系统耗散性 证明解三个方程x1=x2=x3=0依次得到 本节假设系统(1)参数a>0,d<0,c<0,k> 0,lo0. 三个分系统的平衡点10,0，-、2=(0,0， 定理1耦合系统(1)参数满足2a<一c,a<d 0)和x80,0 ·对于系统()的三个状态空间 时，系统为耗散的， P=xlx1+x3>lo、P2={xl|x1+x3≤lo}、 证明系统的整体稳定性由系统的整体耗散性 P3={x|x1十x3<一lo},三个平衡点分属状态空间 来表征，耗散性是混沌吸引子产生的主要前提之一· 的个数决定了整个系统的平衡点的个数， 体积元(volume element)dV=dx1dx2dx3的变 四当 ≤lo时，系统有唯一平衡点(0,0， 化率应该满足 0): Vv-avddv)- (②)当上≥6时，系统有三个平衡点0,0， 月日dx=+2+超 合3x:dt3x1ax23x3 (0,0,0)和0,0， 对应耦合系统(1)， 考虑系统在平衡点x2=(0,0,0)处的Jacobian 2(a-b)+cx1+x3>l0 矩阵 7V= 2a+c |x1+x3≤l0 6 0 2(a-d)+c x1+x3-l0 J2=-b a 0 则当系统参数满足2a<一c,a<d时， L0 0 2(a-d)+c<0x1+x3>l0 特征值分别为入，2=a士bi和入=c,则： (1)当a>0或c>0时，平衡点不稳定； 7V=2a十c<0 |x1十x3≤lo (2)当a<0且c<0时，平衡点稳定； 2(a-d)+c<0x1+x3<-lo (3)当a=0且c<0时，平衡点是一Hopf分 那么，体积元Vo在时间t的变化下被流吸引到体 岔点 积元Ve"内，包含系统轨道的相空间体积在t→ 同理在平衡点1=0,0，-上 =0.0 ∞时以指数速率收敛到0，并且7V与变量无关，所 以整个系统的轨道会最终被限制在相空间内一个零 处的Jacobian矩阵 c 测度的子集内，即轨道趋向于吸引子， a-d b 2.2耦合系统的平衡点稳定性与分岔 -d0 本节假设b≠0，c≠0，d>0,k>0,l0>0. 0
图1 系统（2）的三维混沌图像 Fig．1 Chaotic trajectory of System （2） 计算全部 Lyapunov 指数［5］ 为（1∙7515 0 －7∙7708）．数值模拟证实该系统确实是一个混沌 吸引子． 2 耦合系统的动力学分析 通过理论证明与数值模拟对耦合系统（1）的基 本动力学行为进行分析． 2∙1 系统耗散性 本节假设系统（1）参数 a＞0d＜0c＜0k＞ 0l0＞0． 定理1 耦合系统（1）参数满足2a＜－ca＜ d 时系统为耗散的． 证明 系统的整体稳定性由系统的整体耗散性 来表征耗散性是混沌吸引子产生的主要前提之一． 体积元（volume element）d V ＝d x1d x2d x3 的变 化率应该满足 ∇ V＝ 1 d V d d t （d V ）＝ ∑ 3 i＝1 ∂ ∂xi d xi d t ＝ ∂x · 1 ∂x1 ＋ ∂x · 2 ∂x2 ＋ ∂x · 3 ∂x3 ． 对应耦合系统（1） ∇ V＝ 2（ a－b）＋c x1＋ x3＞ l0 2a＋c ｜x1＋ x3｜≤ l0 2（ a－ d）＋c x1＋ x3＜－ l0 则当系统参数满足2a＜－ca＜ d 时 ∇ V＝ 2（ a－ d）＋c＜0 x1＋ x3＞ l0 2a＋c＜0 ｜x1＋ x3｜≤ l0 2（ a－ d）＋c＜0 x1＋ x3＜－ l0 那么体积元 V0 在时间 t 的变化下被流吸引到体 积元 V0e ∇ Vt内．包含系统轨道的相空间体积在 t→ ∞时以指数速率收敛到0并且∇ V 与变量无关所 以整个系统的轨道会最终被限制在相空间内一个零 测度的子集内即轨道趋向于吸引子． 2∙2 耦合系统的平衡点稳定性与分岔 本节假设 b≠0c≠0d＞0k＞0l0＞0． 定理2 对于耦合系统（1）参数满足： （1） a＞0或 c＞0且 k c ≤ l0 时系统有一个 不稳定的平衡点（000）； （2） a＞ d 或 c＞0且 k c ＞ l0 时系统有三个 不稳定的平衡点 00－ k c 、（000）和 00 k c ； （3） a＜0和 c＜0且 k c ≤ l0 时系统有一个 稳定的平衡点（000）； （4） a＜0和 c＜0且 k c ＞ l0 时系统有三个 稳定的平衡点 00－ k c 、（000）和 00 k c ； （5）0＜ a＜ d 和 c＜0且 k c ＞ l0 时系统有 一个不稳定的平衡点（000）两个稳定的平衡点 00－ k c 和 00 k c ． 证明 解三个方程 x · 1＝ x · 2＝ x · 3＝0依次得到 三个分系统的平衡点 x1＝ 00－ k c 、x2＝（00 0）和 x3＝ 00 k c ．对于系统（1）的三个状态空间 P1＝｛x｜x1＋ x3＞ l0｝、P2＝｛x｜｜x1＋ x3｜≤ l0｝、 P3＝｛x｜x1＋ x3＜－ l0｝三个平衡点分属状态空间 的个数决定了整个系统的平衡点的个数． （1） 当 k c ≤ l0 时系统有唯一平衡点（00 0）； （2） 当 k c ＞ l0 时系统有三个平衡点 00 － k c 、（000）和 00 k c ． 考虑系统在平衡点 x2＝（000）处的 Jacobian 矩阵 J2＝ a b 0 －b a 0 0 0 c 特征值分别为 λ12＝ a±bi 和λ3＝c则： （1） 当 a＞0或 c＞0时平衡点不稳定； （2） 当 a＜0且 c＜0时平衡点稳定； （3） 当 a＝0且 c＜0时平衡点是一 Hopf 分 岔点． 同理在平衡点 x1＝ 00－ k c 、x3＝ 00 k c 处的 Jacobian 矩阵 J1＝ J3＝ a－ d b 0 －b a－ d 0 0 0 c 第6期 王 博等： 一类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 ·637·
.638. 北京科技大学学报 第29卷 特征值入，2=(a一d)土bi和入=c,则 x3(t)=x3(0)e“, (1)当a>b或c0时，平衡点不稳定： 当t十o时，有x3(t)0. (2)当a<d且c<0时，平衡点稳定； 所以，系统(1)运行到某一时刻由状态空间P2 (3)当a=d且c<0时，平衡点是一个Hopf分 进入到P1或P3中.设在t2时刻，通过平面 岔点 x1(t)十x3(t)=一o,由P2进入到P3·此时满足 由定理2可知，系统(2)a>0,e<0,≤ x1(t)十x3(t)<一lo,系统变为： a-d b 0 l0有唯一不稳定平衡点(0,0,0)· -b a-d 2.3对耦合系统轨迹的动力学分析 0 0 本节假设a0,b≠0，c<0,k>0,lo>0. 构造Lyapunov函数 定理3当参数满足a<d,e<。-d,< k 2 V=x+x十x3 lo时，耦合系统(1)的相轨迹在三个状态空间P1= 1xx1十x3>lo、P2=xl|x1+x3|≤lo{、P3= i=x1x1+x22 X3 c i {x|x1十x3<一lo}中周而复始运动. 证明当x1十x3>lo时，系统(1)成为 a-db0「0 2(a-d)V. x= -b a-d 0x+0 可得，当t→十∞时， 0 V(t)≤V(0)e2(a-0→0. 构造Lyapunov函数 因此，当t→十∞时， g()=x1(e)十x3()→>-0 v-2+xs+ = 系统(1)运行到某一时刻t3时，再次通过平面 x1(t)十x3(t)=一l0,又由状态空间P3返回到P2 中.此时系统再次满足一lo≤x1(t)十x3(t)≤l0 2(a-d)V. 如上，耦合系统(1)将在状态反馈函数g(x)的 作用下，在三个状态空间中周而复始的运转，从而将 可得，当t→十∞时， 系统(1)的运动轨道无穷折叠、扭曲和拉伸 V(t)≤v(0)e2(a-010. 以耦合系统(2)为例，数值模拟状态反馈函数的 因此，当t→十∞时， 运动轨迹如图2. g(t)=x1(t)十x3(t)→-k<o. c 3参数变化与耦合系统的动力学结构 系统(I)运行到某一时刻t1时，通过平面x1(t)十 由上一节的理论分析可知，当耦合系统(1)的参 x3(t)=lo,由状态空间P1进入到P2中，此时满足 数连续变化时系统的动力学结构也要连续的发生变 一lo≤x1(t)十x3(t)≤l0,系统变为： 化，下面从数值模拟的角度对由于系统(1)参数改 6 0 变所引起的动力学行为改变进行分析， -b a 0x. .00c 3.1系数a为参变量 固定系数b=20,c=一15，d=-4.5,k=103, 可以解得： lo=8.057,并使得系数a为关于耦合系统(1)的变 x1(t) x1(0)e(cos(bt)+sin(bt)) 量，系统的动力学行为总结如下： x2(t) xz(0)e“(一sin(bt)+cos(bt) ()当a<0时，系统轨道收敛到一个点. 、x3(t) x3(0)e“ (2)当α=0时，系统存在一个极限环，数值模 x1(t)=x1(0)e(cos(bt)+sin(bt)), 拟见图3(b) 当t+o时，x1(t)在x1(0)上下连续波动，并且 (3)当0<a<0.4或0.8<a≤4.5时，系统存 振幅越来越大； 在拟周期轨道，主要特征为其全部Lyapunov指数为
特征值 λ12＝（ a－ d）±bi 和λ3＝c则 （1） 当 a＞b 或 c＞0时平衡点不稳定； （2） 当 a＜ d 且 c＜0时平衡点稳定； （3） 当 a＝ d 且c＜0时平衡点是一个 Hopf 分 岔点． 由定理2可知系统（2） a＞0c＜0 k c ≤ l0 有唯一不稳定平衡点（000）． 2∙3 对耦合系统轨迹的动力学分析 本节假设 a＞0b≠0c＜0k＞0l0＞0． 定理3 当参数满足 a＜ dc＜ a－ d k c ＜ l0 时耦合系统（1）的相轨迹在三个状态空间 P1＝ ｛x｜x1＋ x3＞ l0｝、P2＝｛x｜｜x1＋ x3｜≤ l0｝、P3＝ ｛x｜x1＋ x3＜－ l0｝中周而复始运动． 证明 当 x1＋ x3＞ l0 时系统（1）成为 x ·＝ a－ d b 0 －b a－ d 0 0 0 c x＋ 0 0 k ． 构造 Lyapunov 函数 V ＝ x 2 1＋ x 2 2＋ x3＋ k c 2 ． V · ＝2 x1x · 1＋ x2x · 2＋ x3＋ k c x · 3 ＝ 2 （ a－ d） V ＋（ c＋ d－ a） x3＋ k c 2 ≤ 2（ a－ d） V ． 可得当 t→＋∞时 V （ t）≤ V （0）e 2（ a－ d） t→0． 因此当 t→＋∞时 g（ t）＝ x1（ t）＋ x3（ t）→－ k c ＜ l0． 系统（1）运行到某一时刻 t1 时通过平面 x1（ t）＋ x3（ t）＝ l0由状态空间 P1 进入到 P2 中．此时满足 － l0≤ x1（ t）＋ x3（ t）≤ l0系统变为： x ·＝ a b 0 －b a 0 0 0 c x． 可以解得： x＝ x1（ t） x2（ t） x3（ t） ＝ x1（0）e at （cos（ bt）＋sin（ bt）） x2（0）e at （－sin（ bt）＋cos（ bt）） x3（0）e ct ． x1（ t）＝ x1（0）e at （cos（ bt）＋sin（ bt）） 当 t→＋∞时x1（ t）在 x1（0）上下连续波动并且 振幅越来越大； x3（ t）＝ x3（0）e ct 当 t→＋∞时有 x3（ t）→0． 所以系统（1）运行到某一时刻由状态空间 P2 进入 到 P1 或 P3 中．设 在 t2 时 刻通 过 平 面 x1（ t）＋x3（ t）＝－ l0由 P2 进入到 P3．此时满足 x1（ t）＋ x3（ t）＜－ l0系统变为： x ·＝ a－ d b 0 －b a－ d 0 0 0 c x－ 0 0 k ． 构造 Lyapunov 函数 V ＝ x 2 1＋ x 2 2＋ x3－ k c 2 ． V · ＝2 x1x · 1＋ x2x · 2＋ x3－ k c x · 3 ＝ 2 （ a－ d） V ＋（ c＋ d－ a） x3－ k c 2 ≤ 2（ a－ d） V ． 可得当 t→＋∞时 V （ t）≤ V （0）e 2（ a－ d） t→0． 因此当 t→＋∞时 g（ t）＝ x1（ t）＋ x3（ t）→ k c ＞－ l0． 系统 （1） 运行到某一时刻 t3 时再次通过平面 x1（ t）＋ x3（ t）＝－ l0又由状态空间 P3 返回到 P2 中．此时系统再次满足－ l0≤ x1（ t）＋ x3（ t）≤ l0． 如上耦合系统（1）将在状态反馈函数 g（ x）的 作用下在三个状态空间中周而复始的运转从而将 系统（1）的运动轨道无穷折叠、扭曲和拉伸． 以耦合系统（2）为例数值模拟状态反馈函数的 运动轨迹如图2． 3 参数变化与耦合系统的动力学结构 由上一节的理论分析可知当耦合系统（1）的参 数连续变化时系统的动力学结构也要连续的发生变 化．下面从数值模拟的角度对由于系统（1）参数改 变所引起的动力学行为改变进行分析． 3∙1 系数 a 为参变量 固定系数 b＝20c＝－15d＝－4∙5k＝103 l0＝8∙057并使得系数 a 为关于耦合系统（1）的变 量．系统的动力学行为总结如下： （1） 当 a＜0时系统轨道收敛到一个点． （2） 当 a＝0时系统存在一个极限环数值模 拟见图3（b）． （3） 当0＜ a＜0∙4或0∙8＜ a≤4∙5时系统存 在拟周期轨道主要特征为其全部 Lyapunov 指数为 ·638· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第6期 王博等：一类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 .639. (a) (b) 15 20 20 (d) 10 15 200 10 图2在不同系统状态下反馈控制函数数值模拟图·(a)在系统(2a)状态下；(b)在系统(2b)状态下；(c)在系统(2c)状态下；(d)在系统(2) 状态下 Fig.2 Trajectory of feedback control function in different system states:(a)System(2a):(b)System(2b);(c)System(2c):(d)System(2) 2.0r (a) 3 (b) 1.5 1.0 0.5 10 05 10r (d) 2200 10 0 0 80 0 -10 -200 图3以a为参变量的数值模拟.(a)系统最大yapunov指数变化图；(b)a=0:(c)a=0.7:(d)a=4.4 Fig-3 Numeric simulation of System (1)for parameter a:(a)variational trajectory of maximal Lyapunov exponent:(b)a=0;(c)a=0.7; (d)a=4.4 (0,一，一)，数值模拟见图3(a)和(d) 103,lo=8.057,并使得系数b为关于耦合系统(1) (4)当0.4<a<0.8时，系统产生混沌，此时， 的变量，数值模拟表明系统(1)在b≠0时的所有取 其全部Lyapunov指数为（十，0，一）并且它们的和为 值都为混沌状态或拟周期状态，数值模拟见 负，数值模拟见图3(c) 图4(a)b=0时系统为极限环，数值模拟见 (5)当a>4.5时，系统发散 图4(b). 3.2系数b为参变量 3.3系数c为参变量 固定系数a=0.5,c=-15,d=-4.5,k= 固定系数a=0.5,b=20,d=-4.5,k=103
图2 在不同系统状态下反馈控制函数数值模拟图．（a） 在系统（2a）状态下；（b） 在系统（2b）状态下；（c） 在系统（2c）状态下；（d） 在系统（2） 状态下 Fig．2 Trajectory of feedback control function in different system states： （a） System （2a）；（b） System （2b）；（c） System （2c）；（d） System （2） 图3 以 a 为参变量的数值模拟．（a） 系统最大 Lyapunov 指数变化图；（b） a＝0；（c） a＝0∙7；（d） a＝4∙4 Fig．3 Numeric simulation of System （1） for parameter a： （a） variational trajectory of maximal Lyapunov exponent；（b） a＝0；（c） a＝0∙7； （d） a＝4∙4 （0－－）数值模拟见图3（a）和（d）． （4） 当0∙4＜ a＜0∙8时系统产生混沌．此时 其全部 Lyapunov 指数为（＋0－）并且它们的和为 负数值模拟见图3（c）． （5） 当 a＞4∙5时系统发散． 3∙2 系数 b 为参变量 固定系数 a＝0∙5c＝－15d ＝－4∙5k ＝ 103l0＝8∙057并使得系数 b 为关于耦合系统（1） 的变量．数值模拟表明系统（1）在 b≠0时的所有取 值都 为 混 沌 状 态 或 拟 周 期 状 态数 值 模 拟 见 图4（a）；b ＝0 时 系 统 为 极 限 环数 值 模 拟 见 图4（b）． 3∙3 系数 c 为参变量 固定系数 a＝0∙5b＝20d＝－4∙5k＝103 第6期 王 博等： 一类三维耦合混沌系统的动力学分析与数值模拟 ·639·
.640. 北京科技大学学报 第29卷 10(b) o 10 10 20 10 图4以b为参变量的数值模拟.(a)b=一23；(b)b=0 Fig.4 Numeric simulation of System (1)for parameter b:(a)b=-23;(b)b=0 lo=8.057,并使得系数c为关于耦合系统(2)的变 参考文献 量.当c≥0时，系统轨道发散：当-13<c<0系统 [1]Min L Q,Zhang X D.Chen G R.Generalized synchronization 轨道收敛到一个点；当c≤一13时，系统为混沌或拟 theorem for array differential equations and application to secure 周期解，具体情况要根据Lyapunov指数判断，当 communication.Int J Bifurcation Chaos,2005.15(1):119 [2]Zhang X D.Zhang LL.Min L Q.Construction of generalized c=-l3时系统为混沌系统，Lyaponov指数为 synchronization for a kind of array differential equations and appli- (1.10270-7.7613),数值模拟见图5. cation.Chin Phys Lett.2003,20(12):2114 [③]张丽丽，张晓丹，四维线性微分系统的混沌反控制理论及应 用.北京科技大学学报，2004,26(6).673 [4]Lu J H.Chen G R,Yang X S.Generating chaos with a switching piecewise-linear controller.Chaos.2002,12(2):344 [5]张晓丹，李志萍，张丽丽.一类基于奇异值分解的Lyapunoy指 10 数计算方法.北京科技大学学报，2005,27(3)：371 [6]李志萍.一类高维混沌系统的构造判定及其应用[学位论文] 0 -5 -5 北京：北京科技大学，2005：18 -10 [7]Tang W K S,Zhong G Q.Chaotification of linear continuous" 图5系统(1)在c=一13时的混沌模拟图 time systems using simple nonlinear feedback.Int J Bifurcation Fig5 Chaotic trajectory of System (1)at e=-13 Chas,2003,13(10):3099 [8]Argyris J.An Exploration of Chaos.Amsterdam:North-Hol- 4结论 land,1994:25 [9]Yang X S.Li Q D.Chaotic attractor in a simple hybrid system. 本文提出了三线性系统耦合混沌系统的构造方 Int J Bifurcation Chaos.2002.12(10):2255 法，对其进行了系统的动力学理论分析，并给出了实 [10]Zhang X D,Min L Q.Theory for constructing generalized syn- chronization and application.JUniv Sci Technol Beijing.2000. 例，从数值模拟系统轨道和计算其全部Lyapunov指 7(3):235 数两个方面来说明该方法的有效性，为混沌的进一 [11]Zhang X D.Min L Q.New theorems on generalized synchro- 步应用提供了可能 nization of chaos and application.Adv Syst Sci Appl.2000(2): 37 Dynamic analysis and numerical simulation of a kind of 3 dimensional hybrid chaot- ic system WA NG Bo,ZHA NG Xiaodan Applied Science School.University of Science and Technology Beijing Beijing 100083.China ABSTRACI A kind of 3 dimensional three-linear hybrid chaotic system was achieved by adding feedback con- trol item under discontinuous state,which is a switching type of piecewise-linear controller to a 3 dimensional unstable linear system.Systemic dynamic analysis was accomplished for a kind of three-linear hybrid chaotic system,and three theorems were given.Numeric simulation and calculating all Lyapunov exponents verify their chaos. KEY WORDS linear differential system;anti-control of chaos;hybrid system;numerical simulation;lyapunov exponent
图4 以 b 为参变量的数值模拟．（a） b＝－23；（b） b＝0 Fig．4 Numeric simulation of System （1） for parameter b：（a） b＝－23；（b） b＝0 l0＝8∙057并使得系数 c 为关于耦合系统（2）的变 量．当 c≥0时系统轨道发散；当－13＜c＜0系统 轨道收敛到一个点；当 c≤－13时系统为混沌或拟 周期解具体情况要根据 Lyapunov 指数判断．当 c＝－13时 系 统 为 混 沌 系 统Lyaponov 指 数 为 （1∙1027 0 －7∙7613）数值模拟见图5． 图5 系统（1）在 c＝－13时的混沌模拟图 Fig．5 Chaotic trajectory of System （1） at c＝－13 4 结论 本文提出了三线性系统耦合混沌系统的构造方 法对其进行了系统的动力学理论分析并给出了实 例从数值模拟系统轨道和计算其全部 Lyapunov 指 数两个方面来说明该方法的有效性为混沌的进一 步应用提供了可能． 参 考 文 献 ［1］ Min L QZhang X DChen G R．Generalized synchronization theorem for array differential equations and application to secure communication．Int J Bifurcation Chaos200515（1）：119 ［2］ Zhang X DZhang L LMin L Q．Construction of generalized synchronization for a kind of array differential equations and application．Chin Phys Lett200320（12）：2114 ［3］ 张丽丽张晓丹．四维线性微分系统的混沌反控制理论及应 用．北京科技大学学报200426（6）：673 ［4］ Lu J HChen G RYang X S．Generating chaos with a switching piecewise-linear controller．Chaos200212（2）：344 ［5］ 张晓丹李志萍张丽丽．一类基于奇异值分解的 Lyapunov 指 数计算方法．北京科技大学学报200527（3）：371 ［6］ 李志萍．一类高维混沌系统的构造判定及其应用［学位论文］． 北京：北京科技大学2005：18 ［7］ Tang W K SZhong G Q．Chaotification of linear continuoustime systems using simple nonlinear feedback．Int J Bifurcation Chaos200313（10）：3099 ［8］ Argyris J．An Exploration of Chaos．Amsterdam：North-Holland1994：25 ［9］ Yang X SLi Q D．Chaotic attractor in a simple hybrid system． Int J Bifurcation Chaos200212（10）：2255 ［10］ Zhang X DMin L Q．Theory for constructing generalized synchronization and application．J Univ Sci Technol Beijing2000 7（3）：235 ［11］ Zhang X DMin L Q．New theorems on generalized synchronization of chaos and application．Adv Syst Sci Appl2000（2）： 37 Dynamic analysis and numerical simulation of a kind of3－dimensional hybrid chaotic system WA NG BoZHA NG Xiaodan Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A kind of 3－dimensional three-linear hybrid chaotic system was achieved by adding feedback control item under discontinuous statewhich is a switching type of piecewise-linear controller to a3－dimensional unstable linear system．Systemic dynamic analysis was accomplished for a kind of three－linear hybrid chaotic systemand three theorems were given．Numeric simulation and calculating all Lyapunov exponents verify their chaos． KEY WORDS linear differential system；ant-i control of chaos；hybrid system；numerical simulation；lyapunov exponent ·640· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷