GARCH(1,1)模型 我们常常有理由认为l1的方差依赖于很多时刻之前的变化量(特别是 在金融领域,采用日数据或周数据的应用更是如此)。这里的问题在于, 我们必须估计很多参数,而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意 识到方程(3)不过是o2的分布滞后模型,我们就能够用一个或两个σ2的 滞后值代替许多l2的滞后值,这就是广义自回归条件异方差模型 ( generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model,简记为 GARCH模型)。在广义的ARCH模型中,要考虑两个不同的设定:一个是 条件均值,另一个是条件方差 在标准化的 GARCH(1,1)模型中 V=rtu, (18.1) =O+,1+ (182) (181)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于a2是以 前面信息为基础的一期向前预测方差,所以它被叫做条件方差
6 一、GARCH(1, 1)模型 我们常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化量（特别是 在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如此）。这里的问题在于， 我们必须估计很多参数，而这一点很难精确的做到。但是如果我们能够意 识到方程(3)不过是t 2 的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个t 2的 滞 后值代替 许多 ut 2的 滞后值， 这就是广 义自回归 条件异方 差模 型 （generalized autoregressive conditional heteroscedasticity model，简记为 GARCH模型）。在广义的ARCH模型中，要考虑两个不同的设定：一个是 条件均值，另一个是条件方差。 在标准化的GARCH(1,1)模型中： (18.1) (18.2) (18.1)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于 是以 前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被叫做条件方差。 2 1 2 1 2 t = +ut− + t− 2 t t t ut y = x +
(18.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数 均值:O 用方程(18.1)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信 息:u2,ARCH项) 3.上一期的预测方差:c2,( GARCH项) GARCH(1,1)中的(1,1)是指阶数为1的 GARCH项(括号中的第一项) 和阶数为1的ARCH项(括号中的第二项)。一个普通的ARCH模型是 GARCH模型的一个特例,即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说 明
7 (18.2)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．均值： 2．用方程(18.1)的残差平方的滞后来度量从前期得到的波动性的信 息： （ARCH项）。 3．上一期的预测方差： （GARCH项）。 GARCH (1, 1) 中的(1, 1)是指阶数为1的GARCH项（括号中的第一项） 和阶数为1的ARCH项（括号中的第二项）。一个普通的ARCH模型是 GARCH模型的一个特例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差的说 明。 2 t−1 u 2 t−1
在 EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下,通过极 大似然函数方法估计的。例如,对于 GARCH(1,1,t时期的对数似然 函数为 1=--lg(2丌)-=log (18.3) 其中 2=0+a(y1-x1y)2+/Bo2=0+an21+a21(184) 这个说明通常可以在金融领域得到解释,因为代理商或贸易商可以 通过建立长期均值的加权平均(常数),上期的预期方差( GArCH项) 和在以前各期中观测到的关于变动性的信息(ARCH项)来预测本期的 方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大,那么贸易商将会增加 对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到 的变动组,在这些数据中,收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大 变化
8 在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下，通过极 大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH (1, 1)， t 时期的对数似然 函数为： (18.3) 其中 (18.4) 这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易商可以 通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差（GARCH项） 和在以前各期中观测到的关于变动性的信息（ARCH项）来预测本期的 方差。如果上升或下降的资产收益出乎意料地大，那么贸易商将会增加 对下期方差的预期。这个模型还包括了经常可以在财务收益数据中看到 的变动组，在这些数据中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大 变化。 2 2 2 ( ) / 2 1 log 2 1 log( 2 ) 2 1 t t t t t l = − − − y − x 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 ( ) − − + − = + − + − = + − t t t t ut t y x
有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型: 1.如果我们用滞后方差递归地替代(18.2)式的右端,就可以将条 件方差表示为滞后残差平方的加权平均: B)a2Bi-t (18.5) 我们看到 GARCH(1,1)方差说明与样本方差类似,但是,它向更远的 滞后加权了平方误差
9 有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模型： 1．如果我们用滞后方差递归地替代（18.2）式的右端，就可以将条 件方差表示为滞后残差平方的加权平均： （18.5） 我们看到GARCH(1, 1)方差说明与样本方差类似，但是，它向更远的 滞后加权了平方误差。 ( ) . 1 2 1 2 1 t j j j t u − = − + − =
2.收益平方中的误差通过U=12-2给出。用其替代方差方程 182)中的方差并整理,得到关于误差的模型 l2=0+(a+/B 18.6) 因此,平方误差服从一个异方差ARMA(1,1)过程。决定波动冲击持久 性的自回归的根是a加B的和。在很多情况下,这个根非常接近1,所以 冲击会逐渐减弱
10 2．收益平方中的误差通过 给出。用其替代方差方程 （18.2）中的方差并整理，得到关于误差的模型： （18.6） 因此，平方误差服从一个异方差ARMA（1, 1）过程。决定波动冲击持久 性的自回归的根是 加 的和。在很多情况下，这个根非常接近1，所以 冲击会逐渐减弱。 2 2 t = ut − t ( ) 1. 2 1 2 ut = + + ut− +t − t−