几点解释 波函数表达式里出现的E是电子无量纲的径向位置坐标,在 国际单位制中,E=2r/n.回归普通单位制后 ●和m是波函数的归一化常敖 Am=a2n2(2+1)!V(m-l-1) 它可以保证 n(n)]2r2h=1 或者等价地 Ixn(ldr
几点解释： 波函数表达式里出现的 是电子无量纲的径向位置坐标. 在 国际单位制中， “ 2r{n. 回归普通单位制后， “ 2r na Nnl 是波函数的归一化常数， Nnl “ 2 a 3{2n 2p2l ` 1q! d pn ` lq! pn ´ l ´ 1q! 它可以保证： ż 8 0 rRnlprqs2 r 2 dr “ 1 或者等价地， ż 8 0 r nlprqs2 dr “ 1 21 / 126
合流超几何多项式F(-n+l+1,2l+2,)本质上就是著名的 烯合拉盖尔( aguerre)多项式 F(-n+l+1,2+2,)~2n+1(E) 者的区别仅仅在于相差一个整体的比例系数(从而导致波 函数的归一化常数不同).缔合拉盖尔多项式可表为 此处()是所谓q阶的拉盖尔多项式 n():=2m(?
合流超几何多项式 Fp´n ` l ` 1; 2l ` 2; q 本质上就是著名的 缔合拉盖尔 (Laguerre) 多项式： Fp´n ` l ` 1; 2l ` 2; q „ L 2l`1 n´l´1 pq 二者的区别仅仅在于相差一个整体的比例系数 (从而导致波 函数的归一化常数不同). 缔合拉盖尔多项式可表为： L p q´p pq “ p´1q p d q d q Lqpq 此处 Lqpq 是所谓 q 阶的拉盖尔多项式： Lqpq :“ e d q d q p q e ´ q 22 / 126
点评 氢原子 Hamilton算符H的本征值 的简并度是n2 存在着n2个相互正交的能量本征函薮 ynm=n()ymn(,中)与En对应 但是,包括H在内的对易力学量算符集合{H,,13}的任 意一组本征值 En=-ue'/2h2n2, 41+1)h2,mh 与三者的共同本征函数ynm=图n(ybm(8,中)之间却有着 一对应的关系,因此,{B,P,23}形成了描写原子(不计 电子的自旋自由度时)量子力学的一组力学量算符完全集合
点评： 氢原子 Hamilton 算符 Hˆ 的本征值 En “ ´e 4 {2ℏ 2 n 2 的简并度是 n 2 , ù存在着 n 2 个相互正交的能量本征函数 nlm “ RnlprqYlmp; q 与 En 对应. 但是，包括 Hˆ 在内的对易力学量算符集合 tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3u 的任 意一组本征值 En “ ´e 4 {2ℏ 2 n 2 ; lpl ` 1qℏ 2 ; mℏ 与三者的共同本征函数 nlm “ RnlprqYlmp; q 之间却有着一 一对应的关系. 因此，tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3u 形成了描写氢原子 (不计 电子的自旋自由度时) 量子力学的一组力学量算符完全集合. 23 / 126
氨原子中最低的几条能级的径向波函薮如下.基态(n=1) 10()=a 第一敫发态(n=2) 20(7)= )。-n/2n 2vGasze-ra 处于定态vnm(日,中),则在(r+t)球壳中我到电子的概 径向位置概率分布 按照洩函的搋率诠释,若氬原子 其中l=n-1的态,波函数无节点,称为“囿轨道”,此情 形下 a=l+11 As(n-1)+1-n=0
氢原子中最低的几条能级的径向波函数如下. 基态 (n “ 1)： R10prq “ 2 a 3{2 e ´r{a 第一激发态 (n “ 2)： R20prq “ 1 ? 2a 3{2 ´ 1 ´ r 2a ¯ e ´r{2a R21prq “ r 2 ? 6a 5{2 e ´r{2a 径向位置概率分布： 按照波函数的概率诠释，若氢原子 处于定态 nlmpr; ; q，则在 pr; r ` drq 球壳中找到电子的概 率为： r 2 dr ż dΩ ˇ ˇ ˇ nlmpr; ; q ˇ ˇ ˇ 2 “ rRnlprqs2 r 2 dr “ r nlprqs2 dr 其中 l “ n ´ 1 的态，波函数无节点，称为“圆轨道”. 此情 形下， “ l ` 1 ´ 1 “ pn ´ 1q ` 1 ´ n “ 0; ù upq “ 1 24 / 126
所以 Xn n-1()xre-r/na 概率的径向分布曲线n-1()2的极大值所在的径向位置为 nn =n a, 证明如下: n-()2 2-2r/a) 点评 n2a称为氦原子中电子的最可几半径.人管在量子力学 中电子开无严格的轨道,理论上只能给出电子位置的分布褫 率,但最可几芊径与Bohr旧量子论给出的电子轨道半径完 全相同
所以， n;n´1prq „ r n e ´r{na 概率的径向分布曲线 | n;n´1prq|2 的极大值所在的径向位置为： rn “ n 2 a ; n “ 1; 2; 3; ¨ ¨ ¨ : 证明如下: 0 “ d dr ˇ ˇ n;n´1prq ˇ ˇ 2 ˇ ˇ ˇ ˇ r“rn “ d dr ` r 2n e ´2r{na˘ ˇ ˇ ˇ ˇ r“rn “ 2r 2n n e ´2rn{na ˆ n rn ´ 1 na˙ ù rn “ n 2 a 点评： rn “ n 2 a 称为氢原子中电子的最可几半径. 尽管在量子力学 中电子并无严格的轨道，理论上只能给出电子位置的分布概 率，但最可几半径与 Bohr 旧量子论给出的电子轨道半径完 全相同. 25 / 126