现在尝试求合流超几何方程 d 0 在E=0邻域内的幂级薮解.设 n()=∑9E 则有 du ∑i-1=∑+1)9+ ∑+1)9+1 把这几式代回到合流超几何方程中,可知: 0=∑[(+1)9+1+70+19+1-1-aq ∑[7+n+1)9+1-(a+)
现在尝试求合流超几何方程 d 2u d 2 ` p ´ q du d ´ u “ 0 在 “ 0 邻域内的幂级数解. 设 upq “ `8 ÿ j“0 cj j 则有： du d “ `8 ÿ j“1 jcj j´1 “ `8 ÿ j“0 pj ` 1qcj`1 j ; d 2u d 2 “ `8 ÿ j“0 jpj ` 1qcj`1 j´1 把这几式代回到合流超几何方程中，可知： 0 “ `8 ÿ j“0 j “ jpj ` 1qcj`1 ` pj ` 1qcj`1 ´ jcj ´ cj ‰ “ `8 ÿ j“0 j “ p ` jqpj ` 1qcj`1 ´ p ` jqcj ‰ 16 / 126
令氏同幂次项的系数相等,即有 +1=G+17+,J=0,1,2 所以 0 a+1 a(a+1) 2(+1)27(y+1) a+2 a(a+1)( 3-3(y+2)2-3h7 +1 a+3 aa+1)a+2a+3)0 4(+3)4!y(y+1)(
令 同幂次项的系数相等，即有： cj`1 “ ` j pj ` 1qp ` jq cj ; j “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ 所以， c1 “ c0 c2 “ ` 1 2p ` 1q c1 “ p ` 1q 2 p ` 1q c0 c3 “ ` 2 3p ` 2q c2 “ p ` 1qp ` 2q 3! p ` 1qp ` 2q c0 c4 “ ` 3 4p ` 3q c3 “ p ` 1qp ` 2qp ` 3q 4! p ` 1qp ` 2qp ` 3q c0 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 17 / 126
因此,合流超几何方程在E=0(即r~0)邻域内有界的严格解为 合流超几何面数F(a,,S) u()=F(a,n,) a(a+1)8 3 (y+1)2!y(y+1)(y+2) 31 不难看出 ●此级数解只有当y≠0或不等于负整薮时才有意义 ρ→∞时此级數解的行为取决于k~的项,注惫到k~∞ 时有c≈ck-1,即 F(a, 7,5) 于是,此级数解给出的(E)不能保证径向泼函数x(n)滿足 r→∞处的束娉态边界条件
因此，合流超几何方程在 “ 0(即 r „ 0) 邻域内有界的严格解为 合流超几何函数 Fp ; ; q: upq “ Fp ; ; q “ 1 ` ` p ` 1q p ` 1q 2 2! ` p ` 1qp ` 2q p ` 1qp ` 2q 3 3! ` ¨ ¨ ¨ “ `8 ÿ k“0 ck k k! ; ck “ ` k ´ 1 ` k ´ 1 ck´1; c0 “ 1: 不难看出： 此级数解只有当 ‰ 0 或不等于负整数时才有意义. Ñ 8 时此级数解的行为取决于 k „ 8 的项. 注意到 k „ 8 时有 ck « ck´1，即： Fp ; ; q ˇ ˇ ˇ ˇ Ñ8 „ `8 ÿ k“K k k! „ e 于是，此级数解给出的 upq 不能保证径向波函数 lprq 满足 r Ñ 8 处的束缚态边界条件. 18 / 126
对于束缚态如须要求解Fa,y,)中断为一个多项式,显 咏,只有当α取零蚁负整数时才能满足此要求 l+1 0,1, 利用n可以重新定义一个正整薮n,称为主量子数 n=n+l+1,n=1,2,3, 如此则日=1/n,即氩原子中电子的能量本征值是量子化的 E B2 ,n=1,2,3, 添上能量的原子单位(h2).即得 E h2 n2 式中a:=M2/2称为Bohr半径,此式是著名的Bohr原子能级 公式
对于束缚态，必须要求解 Fp ; ; q 中断为一个多项式. 显 然，只有当 取零或负整数时才能满足此要求： “ l ` 1 ´ 1 “ ´nr ; nr “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ 利用 nr 可以重新定义一个正整数 n，称为主量子数： n “ nr ` l ` 1; n “ 1; 2; 3; ¨ ¨ ¨ : 如此则 “ 1{n，即氢原子中电子的能量本征值是量子化的： E “ ´ 1 2 2 “ ´ 1 2n 2 ; n “ 1; 2; 3; ¨ ¨ ¨ : 添上能量的原子单位（e 4 {ℏ 2），即得： En “ ´ e 4 2ℏ 2 1 n 2 “ ´ e 2 2a 1 n 2 式中 a :“ ℏ 2 {e 2 称为 Bohr 半径. 此式是著名的 Bohr 氢原子能级 公式. 19 / 126
讨论 ◎能级的简并度.对于给定的能级En(即给定主量子数n) 角量子数l只能有如下n可能的取值 l=0,1,2,……,n-1 联想到对于每一角量子数l,礁量子数m有(2l+1)个可能 值.因此,原子中电子(不计其自旋时)属于能级En的本 征量子态nm(r,日,小)总数为 (2/+1)= 这就是氢原子能级En的简开度 ◎氢原子的束缚态能量本征函薮的完整表达式是 ynm(r,日,中)=黑n(r)3m(6,中) 其中径向浅函数()=xn()/表为 R(r)=,AaEe-/2F(-n+1+1,2+2,)
讨论： 1 能级的简并度. 对于给定的能级 En（即给定主量子数 n）， 角量子数 l 只能有如下 n 可能的取值： l “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ ; n ´ 1: 联想到对于每一角量子数 l，磁量子数 m 有 p2l ` 1q 个可能 值. 因此，氢原子中电子 (不计其自旋时) 属于能级 En 的本 征量子态 nlmpr; ; q 总数为: dn “ nÿ´1 l“0 p2l ` 1q “ n 2 这就是氢原子能级 En 的简并度. 2 氢原子的束缚态能量本征函数的完整表达式是： nlmpr; ; q “ Rnlprq Ylmp; q 其中径向波函数 Rnlprq “ nlprq{r 表为， Rnlprq “ Nnl l e ´{2 Fp´n ` l ` 1; 2l ` 2; q 20 / 126