量子力學 第四章:三维空间中的量子力学 杨焕雄 国科学技术大学物理学院近代物理系 November 12, 2019
量子力学 第四章：三维空间中的量子力学 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 12, 2019 1 / 126
有心力场 物理学中广泛遭遢处理质点或粒子在中心力场中运动的问题,例 V 4丌∈or 中心力场的特点是 Va=Vr 众所周知,经典力学中在中心力场)中运动的质点的轨道角 动量L=F×F是守恒量 dt dt p =m×b-F×Vv(r) re x er
有心力场： 物理学中广泛遭遇处理质点或粒子在中心力场中运动的问题, 例 如： Vp~rq “ ´ 1 40 Ze2 r 中心力场的特点是： Vp~rq “ Vprq 众所周知，经典力学中在中心力场 Vprq 中运动的质点的轨道角 动量 ~L “~r ˆ~p 是守恒量： d~L dt “ d~r dt ˆ~p `~r ˆ d~p dt “ m~v ˆ~v ´~r ˆ rVprq “ ´rp~er ˆ~erq dVprq dr “ 0 2 / 126
考虑到L=LF=0.而L又是守恒量,质点在中心力场中的运 动如为平面运动.平面的法线方向就是其轨道角动量L的方向 那么,在量子力子中情形如何呢? 角动量算符与拴向薛定谔方程 设质量为μ的粒子在中心力场W)中运动,体系的哈密板算符 表为 H=2H +) V+vr 2 现在证明在中心力场中运动的量子力学粒子的轨道角动量算符是 守恒量算符采用笛卡尔直角坐标系,L=Emmn,利用量子力 学基本对易关系知 12,=[2, Eimn[*m, PiPile 2iheimnUmip Pn= 2ihenPiPn=0
考虑到 ~L ¨~r “ ~L ¨~p “ 0，而~L 又是守恒量，质点在中心力场中的运 动必为平面运动. 平面的法线方向就是其轨道角动量 ~L 的方向. 那么，在量子力学中情形如何呢 ？ 角动量算符与径向薛定谔方程： 设质量为 的粒子在中心力场 Vprq 中运动，体系的哈密顿算符 表为： Hˆ “ ˆ~p 2 2 ` Vprq “ ´ ℏ 2 2 r2 ` Vprq 现在证明在中心力场中运动的量子力学粒子的轨道角动量算符是 守恒量算符.采用笛卡尔直角坐标系，Lˆi “ imnˆxmˆpn，利用量子力 学基本对易关系知： rLˆi ; ˆ~p 2 s “ rLˆi ; ˆpjˆpjs “ imnrxm; ˆpjˆpjsˆpn “ 2iℏimnmjˆpjˆpn “ 2iℏijnˆpjˆpn “ 0 3 / 126
且 [,W=c∈x,V =-i∈xkV) i×Vr) (F×动=0 d 所以,在中心力场中运动的量子力学体系的角动量算符是守恒量 算符 [L,团=0 点评 由于了的各个分量算符都是守恒量算符,而各分量算符彼此 不对易,在中心力场中运动的粒子的能级一般有简并 那么,怎样解除体系能级的简并呢?
且： r ˆ~L; Vprqs “~eiijkxjrˆpk; Vprqs “ ´iℏ~eiijkxjBkVprq “ ´iℏ~r ˆ rVprq “ ´iℏp~r ˆ~erq dVprq dr “ 0 所以，在中心力场中运动的量子力学体系的角动量算符是守恒量 算符： r ˆ~L; Hˆ s “ 0 点评： 由于 ˆ~L 的各个分量算符都是守恒量算符，而各分量算符彼此 不对易，在中心力场中运动的粒子的能级一般有简并. 那么，怎样解除体系能级的简并呢？ 4 / 126
考虑到中心力场中2也是守恒量,而且与的各个分量算符都 对易,因此体系的力学量完全集合可以选取为 {B,,2} 即能量本征态同时也取为与3的共同本征函数 为了实现这一设想,现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一洩函数ψ,我们有 产v=-12=-2.(c,u+动v+ rsin 6 pdpv -h l> sin e V( sin 80,w)+ rsin g.V(sin 00e v) h250(20,V)+2 sin ao(sin aov)+
考虑到中心力场中 ˆ~L 2 也是守恒量，而且与 ˆ~L 的各个分量算符都 对易，因此体系的力学量完全集合可以选取为 ! Hˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3 ) 即能量本征态同时也取为 ˆ~L 2 与 Lˆ3 的共同本征函数. 为了实现这一设想，现将中心力场情形下粒子的哈密顿算符用球 坐标表出。注意到对任一波函数 Ψ，我们有： ˆ~p 2Ψ “ ´ℏ 2r2Ψ “ ´ℏ 2r ¨ ˆ ~erBrΨ ` 1 r ~eBΨ ` 1 rsin ~e B Ψ ˙ “ ´ℏ 2 „ ~er r 2 sin ¨ rpr 2 sin BrΨq ` ~e rsin ¨ rpsin BΨq ` ~e r ¨ r ˆ B Ψ sin ˙ȷ “ ´ℏ 2 „ 1 r 2 Brpr 2 BrΨq ` 1 r 2 sin Bpsin BΨq ` 1 r 2 sin2 B 2 Ψ ȷ 5 / 126