量子力學 第五章:全同粒子 杨焕雄 国科学技术大学物理学院近代物理系 November 25, 2019
量子力学 第五章：全同粒子 杨焕雄 中国科学技术大学物理学院近代物理系 hyang@ustc.edu.cn November 25, 2019 1 / 23
双粒子体系 单粒子量子力学体系的状态用波函数ψ(7s3,)描写 ψG53,)是粒子空间位置坐标F,自旋角动量3以及 时间参数t的函数. ψ(s,)随时间的演化遵从薛定谔方程 式中, 2+V( 洩函薮的统计诠释要求 ∑4
双粒子体系： 单粒子量子力学体系的状态用波函数 p~r; s3; tq 描写： p~r; s3; tq 是粒子空间位置坐标~r，自旋角动量 s3 以及 时间参数 t 的函数. p~r; s3; tq 随时间的演化遵从薛定谔方程： iℏ B Bt “ Hˆ ; 式中， Hˆ “ ´ ℏ 2 2m r2 ` Vp~r;~s; tq 波函数的统计诠释要求： ÿ sz ż d 3 x › › › › p~r; s3; tq › › › › 2 “ 1 2 / 23
若量子力学体系包合两个粒子,则体系的状态应使用如下洩函数 描写 v(,,513,23,D) 此处亓与5分别是第i个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量(i=1,2) 洩函数ψ随时间的演化仍遵从薛定谔方程 但是 2 这里的讨论可以平庸地推广到任惫多个粒子构成的量子力学体系
若量子力学体系包含两个粒子，则体系的状态应使用如下波函数 描写： Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq 此处~ri 与 si3 分别是第 i 个粒子的位置矢量和自旋角动量第三分 量 (i “ 1; 2)1 . 波函数 Ψ 随时间的演化仍遵从薛定谔方程： iℏ BΨ Bt “ Hˆ Ψ 但是， Hˆ “ ´ ℏ 2 2m1 r2 1 ´ ℏ 2 2m2 r2 2 ` Vp~r1;~r2;~s1;~s2; tq 1这里的讨论可以平庸地推广到任意多个粒子构成的量子力学体系. 3 / 23
按照洩面数的统计诠释 ,方,1,x,引 是在体积元Ax中发现具有自旋13的粒子1并在dx2中发 现具有自旋23的粒子2的梳率.归一化条件因此为 ∑|4xx|w,,3,2y ●以下仅考虑有效势能不显含时间的情形.此时,通过分离变 量可求得薛定谔方程一蛆完备的特解 v(,,513,523,t)=vE(h,,513,23)exp(-i/h) 这里, 2+Vr, 73, 31,52) DE=EvE
按照波函数的统计诠释， › › › › Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq › › › › 2 d 3 x1d 3 x2 是在体积元 d 3 x1 中发现具有自旋 s13 的粒子 1 并在 d 3 x2 中发 现具有自旋 s23 的粒子 2 的概率. 归一化条件因此为： ÿ s13;s23 ż d 3 x1d 3 x2 › › › › Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq › › › › 2 “ 1 以下仅考虑有效势能不显含时间的情形. 此时，通过分离变 量可求得薛定谔方程一组完备的特解： Ψp~r1;~r2; s13; s23; tq “ Ep~r1;~r2; s13; s23qexpp´iEt{ℏq 这里， „ ´ ℏ 2 2m1 r2 1 ´ ℏ 2 2m2 r2 2 ` Vp~r1;~r2;~s1;~s2q ȷ E “ E E 4 / 23
全同粒子体系 什么是全同粒子? 我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子.自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系,如多电子原子和金属中 的电子气 ●涉及相互作用时,还须进一步要求具有上迷性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同.所以,对于由两个粒子构成的 全同粒子体系 V,,,)=∑U(引+U一,-互 r=1 即有效势能项关于体杀内两个粒子的交换完全是对称的2. 2从而体系完整的 Hamilton算符也是关于两个粒子的交换具有对称性
全同粒子体系： 什么是全同粒子 ？ 我们把具有完全相同的静止质量、电荷、自旋、磁矩和寿命 等内禀属性的同一类粒子称为全同粒子. 自然界里存在着大 量的由全同粒子组成的多粒子体系，如多电子原子和金属中 的电子气. 涉及相互作用时，还须进一步要求具有上述性质的的体系中 各个粒子受力情况完全相同. 所以，对于由两个粒子构成的 全同粒子体系： Vp~r1;~r2;~s1;~s2q “ ÿ 2 i“1 Up~ri ;~siq ` Up|~r1 ´~r2|; |~s1 ´~s2|q 即有效势能项关于体系内两个粒子的交换完全是对称的2 . 2从而体系完整的 Hamilton 算符也是关于两个粒子的交换具有对称性. 5 / 23