氢原子 量子力学最引人膈目的成就之一是对氦原子无谱和元素周期律给 予了相苫圆满的理论说明 氦原子的原子核是一个质子,核外只有一个电子.按照经典电动 力学,电子与质子之间的静电势能为(取 Gauss单位 V)= 这是一种中心力场.所以,氨原子中电子的能量本征函最是: y(,)=x() ymn(6,中 其中,径向波函数x()服从方程 x()+ #(=+)-“+x)=0
氢原子： 量子力学最引人瞩目的成就之一是对氢原子光谱和元素周期律给 予了相当圆满的理论说明. 氢原子的原子核是一个质子，核外只有一个电子. 按照经典电动 力学，电子与质子之间的静电势能为 (取 Gauss 单位制)， Vprq “ ´e 2 r 这是一种中心力场. 所以，氢原子中电子的能量本征函数是: Epr; ; q “ lprq r Ylmp; q 其中，径向波函数 lprq 服从方程 2 l prq ` „ 2 ℏ 2 ˆ E ` e 2 r ˙ ´ lpl ` 1q r 2 ȷ lprq “ 0 11 / 126
原子单位制 为方便计,定义原子单位制 注意到普通单位制(例如SI与 Gauss)中出现的基本力学量只有质 量M、长度L及时间T这样三个元素, ◎采用了原子单位制后,所有力学量都无量纲化了 问题:怎样从原子单位制重新返回到普通单位制 在普通单位制里 []=ML27-1,[=M,[=MLT 按照此三个物理量冪次的乘积构造一个新的物理量Ω=, 则其量纲显为 2]=MF++212x+327一x
原子单位制： 为方便计，定义原子单位制： ℏ “ e “ “ 1 注意到普通单位制 (例如 SI 与 Gauss) 中出现的基本力学量只有质 量 M、长度 L 及时间 T 这样三个元素, 1 采用了原子单位制后，所有力学量都无量纲化了. 问题： 怎样从原子单位制重新返回到普通单位制 ？ 在普通单位制里， rℏs “ ML2T ´1 ; rs “ M; res “ M 1 2 L 3 2T ´1 按照此三个物理量幂次的乘积构造一个新的物理量 Ω “ ℏ x y e z , 则其量纲显然为： rΩs “ Mx`y`z{2 L 2x`3z{2T ´x´z 12 / 126
若要求Ω=a具有长度的量纲,则 x+y+z/2=0,2x+3z/2=1,-x-z=0 其解为x=2,y=-1,z=-2.因此 h2 2≈053X10 原子单位制中的无量纲长度欲返回到普通单位制,须乘上此 a(玻尔半径) 若要求Ω=6具有能量的量纲,则 x+y+z/2=1,2x+3z/2=2,-x-z=-2 其解为x=-2,y=1,z=4.因此 2721电子伏特 原子单位制中无量纲能量欲返回到普通单位制,须乘以6
1 若要求 Ω “ a 具有长度的量纲，则 x ` y ` z{2 “ 0; 2x ` 3z{2 “ 1; ´ x ´ z “ 0 其解为 x “ 2; y “ ´1; z “ ´2. 因此， a “ ℏ 2 e 2 « 0:53 ˆ 10´10米 原子单位制中的无量纲长度欲返回到普通单位制，须乘上此 a (玻尔半径). 2 若要求 Ω “ E 具有能量的量纲，则 x ` y ` z{2 “ 1; 2x ` 3z{2 “ 2; ´ x ´ z “ ´2 其解为 x “ ´2; y “ 1; z “ 4. 因此， E “ e 4 ℏ 2 « 27:21 电子伏特 原子单位制中无量纲能量欲返回到普通单位制，须乘以 E . 13 / 126
在高斯单位制基础上进一步采取原子单位制,可把氦原子的径向 薛定谔方程简化为 ()+|2E+2 2ll+1) 显,r=0和r=∞是此方程的两个奇点 ◎如前分析,径向方程在奇点r=0邻域的渐近行为是 X()~r+1 ◎若r→①,径向薛定谔方程简化为 X()+2Ex()=0 以下仅限于讨论東傅态情形,即要求波函薮x(在r→∞ 处有界.如此如有E<0.上述方裎滿足柬娉态边界条件的 解是 xIr 2E>0
在高斯单位制基础上进一步采取原子单位制，可把氢原子的径向 薛定谔方程简化为： 2 l prq ` „ 2E ` 2 r ´ lpl ` 1q r 2 ȷ lprq “ 0 显然，r “ 0 和 r “ 8 是此方程的两个奇点. 1 如前分析，径向方程在奇点 r “ 0 邻域的渐近行为是： lprq „ r l`1 2 若 r Ñ 8，径向薛定谔方程简化为： 2 l prq ` 2E lprq “ 0 以下仅限于讨论束缚态情形，即要求波函数 lprq 在 r Ñ 8 处有界. 如此必有 E ă 0. 上述方程满足束缚态边界条件的 解是： lprq „ e ´ r ; “ ? ´2E ą 0 14 / 126
洞悉了径向洩函数在西奇点附近的渐近行为之后,我们可以将径 向 Schrodinger方程的精确解设为 xd(r=f+le-Pu(r) 代之入前迷径向方程,可得 n"+[2(l+1)-2月-2[l+1)B-1lx=0 进一步引入无量纲坐标￡=2日r,将此方程改写为 6=2+[2(+1)- (l+1) 这是一个特殊的合流超几何方裎。将其与标准形式比较 du 62+(-6 我们看到:7=2(+1)≥2(正整数).a=+1-b
洞悉了径向波函数在两奇点附近的渐近行为之后，我们可以将径 向 Schrödinger 方程的精确解设为： lprq “ r l`1 e ´ r uprq 代之入前述径向方程，可得： ru2 ` r2pl ` 1q ´ 2 rsu 1 ´ 2rpl ` 1q ´ 1su “ 0 进一步引入无量纲坐标 “ 2 r，将此方程改写为： d 2u d 2 ` r2pl ` 1q ´ s du d ´ „ pl ` 1q ´ 1 ȷ u “ 0 这是一个特殊的合流超几何方程. 将其与标准形式比较， d 2u d 2 ` p ´ q du d ´ u “ 0 我们看到： “ 2pl ` 1q ě 2（正整数）， “ l ` 1 ´ 1 . 15 / 126