注意到在球坐标系里 h2.de(sin 0de)+ n2 8 上式等价地写为 12a(2)+ h2(a2+2a)+ L2 h2 因此,中心力场中粒子的能量本征值方程可表为 12 中+2=+的一E钟(, 方程左端第二项称为高心势能( centrifugal potential).第一项可 称为径向动能算符
注意到在球坐标系里， ˆ~L 2 “ ´ℏ 2 „ 1 sin Bpsin Bq ` 1 sin2 B 2 ȷ 上式等价地写为： ˆ~p 2 “ ´ ℏ 2 r 2 Brpr 2 Brq ` ˆ~L 2 r 2 “ ´ℏ 2 ˆ B 2 r ` 2 r Br ˙ ` ˆ~L 2 r 2 “ ´ ℏ 2 r B 2 r r ` ˆ~L 2 r 2 因此，中心力场中粒子的能量本征值方程可表为： « ´ ℏ 2 2r B 2 r r ` ˆ~L 2 2r 2 ` Vprq ff Epr; ; q “ E Epr; ; q 方程左端第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项可 称为径向动能算符. 6 / 126
在中心力场情形下既然可以将能量本征面数取为{H,,3}的 共同本征函数,则应有 vE(r,,中)=()ymn(6,中 式中Jm(日,中)是球谐函数,它是{2,3}的共同本征函数,量子 数l=0,1, ,m=0,±1,±2 于是,径向浅函敖团(须满足的方程是 a+(E-(x)-4+1 “|()=0 倘若进行如下痰函薮替换 第()= 则新的径向波函数A()须滿足方程 x)+分(E-V-文+1 |x()=0
在中心力场情形下既然可以将能量本征函数取为 tHˆ ; ˆ~L 2 ; Lˆ3u 的 共同本征函数，则应有： Epr; ; q “ Rlprq Ylmp; q 式中 Ylmp; q 是球谐函数，它是 tLˆ2 ; Lˆ3u 的共同本征函数. 量子 数 l “ 0; 1; 2; ¨ ¨ ¨ ，m “ 0; ˘ 1; ˘ 2; ¨ ¨ ¨ ; ˘l. 于是，径向波函数 Rlprq 须满足的方程是： „ 1 r d 2 dr2 r ` 2 ℏ 2 pE ´ Vprqq ´ lpl ` 1q r 2 ȷ Rlprq “ 0 倘若进行如下波函数替换， Rlprq “ lprq r 则新的径向波函数 lprq 须满足方程： 2 l prq ` „ 2 ℏ 2 pE ´ Vprqq ´ lpl ` 1q r 2 ȷ lprq “ 0 7 / 126
讨论 ◎不同中心力场中粒子的定态波函数的差别仅在于径向波函数 ()或x(r),它们取决于势场Vr)的具体形式.因此,中 力场的核心问题就是在逅当的边界条件下求解径向薛定谔 方程 ◎径向薛定谔方程与磁量子数m无关.所以,中心力场中粒子 能级的筒开度一般为(2+1 径向洩函数在r→0邻域的渐近行为 假定 limnO)=0 在此祭件下,径向薛定谔方程在r→0的邻城可以近似写为: 1()+-1() l(l+1)
讨论： 1 不同中心力场中粒子的定态波函数的差别仅在于径向波函数 Rlprq 或 lprq，它们取决于势场 Vprq 的具体形式. 因此，中 心力场的核心问题就是在适当的边界条件下求解径向薛定谔 方程. 2 径向薛定谔方程与磁量子数 m 无关.所以，中心力场中粒子 能级的简并度一般为 p2l ` 1q. 径向波函数在 r Ñ 0 邻域的渐近行为： 假定： lim rÑ0 r 2Vprq “ 0 在此条件下，径向薛定谔方程在 r Ñ 0 的邻域可以近似写为： R2 l prq ` 2 r R1 l prq ´ lpl ` 1q r 2 Rlprq “ 0 8 / 126
=0是此方程的正则奇点.在其邻域内,可设 ()~ 代入到前迷方程得到 s(s+1)-ll+1)=0s=4-(l+1) 因此,当r~0,或者有 或者有 提酲 需要强调指出的是:r~0处只有⑧()~1的解才是物理上可以 接受的径向洩薮
r “ 0 是此方程的正则奇点. 在其邻域内，可设 Rlprq „ r s 代入到前述方程得到： sps ` 1q ´ lpl ` 1q “ 0 ù s “ l; ´ pl ` 1q: 因此，当 r „ 0，或者有： Rlprq „ r l 或者有： Rlprq „ 1 r l`1 提醒： 需要强调指出的是：r „ 0 处只有 Rlprq „ r l 的解才是物理上可以 接受的径向波函数. 9 / 126
理由 按照洩函数的褫率诠释,在任何体积元中我到粒子的梳率 都应为有限值 当1≥1时,()~r(什+)的解必须抛弃 至于l=0情形下的“解“0()~r1,由于 它实际上开不是 Schrodinger方程的解
理由： 按照波函数的概率诠释，在任何体积元中找到粒子的概率 ˇ ˇ ˇ Ep~rq ˇ ˇ ˇ 2 d 3 x „ R2 l prqr 2 都应为有限值. 1 当 l ě 1 时，Rlprq „ r ´pl`1q 的解必须抛弃. 2 至于 l “ 0 情形下的“解”R0prq „ r ´1，由于 r2 1 r “ ´4p~rq 它实际上并不是 Schrödinger 方程的解. 10 / 126