《光学》课程授课教案（讲义）光的衍射

光学第二章光的衍射 第二章光的衍射 §2.1惠更斯一菲涅耳原理 一.光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射。 二.次波 光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任 一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即 是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。 用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。 波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的， 发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的

光学 第二章 光的衍射 第二章 光的衍射 § 2.1惠更斯—菲涅耳原理 一．光的衍射现象 波绕过障碍物继续传播，也称绕射。 二．次波 光波在空间传播，是振动的传播，波在空间各处都引起振动，波场中任一点，即波前中任 一点都可视为新的振动中心，这些振动中心发出的光波，称为次波。 次波又可以产生新的振动中心，继续发出次波，由此使得光波不断向前传播。新的波面即 是这些振动中心发出的各个次波波面的包络面。 用次波的模型可以很容易解释光的衍射现象。 波前上任一点都是一个次波中心，即一个点光源，发出球面波，两个点，即使是邻近的， 发出的次波也是不同的。严格地说，是没有“光线”或“光束”之类的概念的。 1

光学第二章光的衍射 三.次波的叠加—惠更斯一菲涅耳原理 1.次波的相干叠加 考察波前上任一面元上的一点Q,即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振 幅微分元d心(P)。 d心(P)c0。(Q),Q点的复振幅，称为瞳函数 du(P) ,Q点为点光源，发出球面次波： d心(P)xdE,次波中心面元面积： d心(P)cF(0,),O、0分别是源点和场点相对于次波面元E的方位角。日。：面元法 线与SQ连线间的夹角，0：面元法线与QP连线间的夹角，F(。,)称为倾斜因子。 V(P d dU(P) D 上述各因素的合并表达式为d0(P)=KFO,00(O)二正，K为比例常数. 将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到 P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是意更斯 菲湿耳原理】 2.菲涅耳一基尔霍夫衍射积分公式 加果歌一个封团的容曲面己一个封的芝的一由于从通我出的所方包的波都 通过此波前，而且只通过此波前 一次，所以光源在任 次波在该 的复 (P)=K(QF(0.0 ，即 (x.y)=K(x'.y)F(0.0)- -r+0-+e-此申为 (菲涅耳)衍射积分公式。 经过Kirchhoff(基尔霍夫，1882年)严格的数学论证，Fresnel根据直观所建立的积分公式 基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中 的比例常数和倾斜因子的表达式，其中

光学 第二章 光的衍射 三．次波的叠加——惠更斯—菲涅耳原理 1．次波的相干叠加 考察波前上任一面元上的一点Q，即一个次波中心所发出的球面次波在场点P处引起的复振 幅微分元 )( 。 ~ PUd ~ )( )( ~  0 QUPUd ，Q点的复振幅，称为瞳函数； r e PUd ikr )(  ~ ，Q点为点光源，发出球面次波； )( dPUd  ~ ，次波中心面元面积； ~ ),()(  FPUd 0  ， 0 、 分别是源点和场点相对于次波面元 d 的方位角。 0 ：面元法 线与SQ连线间的夹角， ：面元法线与QP连线间的夹角， ), 0 F(  称为倾斜因子。 上述各因素的合并表达式为  d r e QUKFPUd ikr )( ~ ),()( ~  00 ，K为比例常数。 将波前上所有次波中心发出的次波在P点的振动相干叠加，即得到该波前发出的次波传播到 P点时所引起的合振动，即该波前发出的次波在P点引起的振动。这就是惠更斯—菲涅耳原理。 2．菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式 如果取一个封闭的空间曲面 ，即一个封闭的波前，由于从光源发出的所有方向的波都将 通过此波前，而且只通过此波前一次，所以光源在任一场点P所引起的复振幅与该波前所发出的 全部次波在该点所引起的复振幅等价。由于波前是一连续分布的曲面，所有次波中心发出的次 波在P点的复振幅就是以下曲面积分    d r e FQUKPU ikr ),()( ~ )( ~ 0 0  ，即                  ydxd zzyyxx e FyxUKyxU zzyyxxi 2 2 2 )()()( 2 0 0 )()()( ),(),( ~ ),( ~ 2 2 2    此即为 Fresnel （菲涅耳）衍射积分公式。 经过Kirchhoff（基尔霍夫，1882年）严格的数学论证，Fresnel根据直观所建立的积分公式 基本上是正确的。需要修正的只是，波前可以为任意形状的封闭曲面，而且导出了几分公式中 的比例常数和倾斜因子的表达式，其中 2

光学第二章光的衍射 K=-e2 ,F8,8)=2cos8,+cos80) 只有在波前取为球面的情况下，8，=0，F(0,)=+c0s),此时0=元，才有 F(0。,=0. 经过KirchhofP修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问 题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhof衍射积分公式。 当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空 间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分Σ。，不透光的光屏部分Σ，以及在空间扩展的半 个曲面Σ2。可以忽略∑。与∑，的相互影响，认为在透光部分的瞳函数0。(Q)取作自由传播时的 数值，而不透光部分的瞳函数心。(Q)自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是 要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔Σ。即可。这种做法， 称作Kirchhof边界条件 S 积分公式可以化为 在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的 结果 四.衍射的分类 根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类 距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同 方向的波进行相干叠加。 距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干

光学 第二章 光的衍射  i 2/ ei K   ， (cos )cos 2 1 ),( F 0   0   。 比例常数中的位相因子不为0，而是有一个 2/ 的位相超前，说明等效次波源的位相不等 于波前上Q点扰动的位相。而倾斜因子的表达式说明向后倒退的波也对P点的复振幅产生作用， 只有在波前取为球面的情况下，  0  0 ， )cos1( 2 1 ,( ) F  0    ，此时    ，才有 0),( F  0   。 经过Kirchhoff修正的上述积分公式被称作Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。处理光的衍射问 题，都可以归结为求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式。 当波场中有障碍物时，即衍射屏时，可以自然地将波前取在衍射屏的位置，此时封闭的空 间曲面由三部分构成：衍射屏上的透光部分0 ，不透光的光屏部分1，以及在空间扩展的半 个曲面 。可以忽略 与 的相互影响，认为在透光部分的瞳函数 2 0 1 )( ~ U0 Q 取作自由传播时的 数值，而不透光部分的瞳函数 )( ~ 0 QU 自然等于0。相对于光的波长，衍射屏的不透光部分也是 认为是无限大的，所以第三部分可以取一个半径无穷大的半球面，经过严格的数学证明，积分 公式在该球面上的积分值等于0，不必考虑。则在求解Fresnel-Kirchhoff衍射积分公式时，只需 要对衍射屏的光孔部分作积分就可以了，即将曲面积分的范围局限于光孔0 即可。这种做法， 称作Kirchhoff边界条件。 积分公式可以化为       0 )( ~ (cos )cos 2 )( ~ 0 0 d r e QU i PU ikr   在特定的实验条件下，应用近轴条件和远场条件，积分公式可以得到简化，并给出和好的 结果。 四．衍射的分类 根据衍射障碍物（衍射屏）到光源和接收屏的距离分类。 距离有限的，或至少一个是有限的，为菲涅耳衍射。此时在接收屏上的任一点，来自不同 方向的波进行相干叠加。 距离无限的，即平行光入射、出射，为夫琅和费衍射。此时相互平行的光在无穷远处相干 3

光学第二章光的衍射 叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相 干叠加。 行射屏 接收 不行光入射 点光源 resne11衍射 §2.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏) 一.衍射现象 二.半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 菲湿耳一基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似 为一系列的同心圆环带，每 带的中心到P点的距离依此相差半个波长。 带称为半波带 在球 上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波 长， 为π 位相相 ,振动万间相反，相互抵消。 计算各个半波带的面积Sk

光学 第二章 光的衍射 叠加。事实上，在衍射屏后置一凸透镜，相互平行的光会聚在透镜焦平面上的同一点，进行相 干叠加。 § 2.2菲涅耳衍射（圆孔、圆屏） 一．衍射现象 圆孔衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心明暗交替变化。 圆屏衍射：屏上可见同心圆环，孔径改变，或屏沿轴向移动，圆环中心永远是亮点。 二．半波带法分析菲涅耳圆孔衍射 菲涅耳—基尔霍夫衍射积分公式化为求和近似。 将波前（球面）划分为一系列的同心圆环带，每一带的中心到P点的距离依此相差半个波长。 这些圆环带称为半波带。 在球面上，各次波波源初位相相等。相邻半波带发出的次波，到达P点时，光程差为半个波 长，位相差为 ，位相相反，振动方向相反，相互抵消。 计算各个半波带的面积Sk。 4

光学第二章光的衍射 球冠面积S-2πRh-2πR21-cosp),dS-2πR2 sinodo s8,血p“R风rn女当=2=8 2R(R+) P)O(OFO.KUFO5 =KT义∑F0,)ea =受0+ok=含：0X-

光学 第二章 光的衍射 球冠面积 )cos1(22 ， 2  RRhS   sin2 dRdS  2  )(2 )( cos 0 2 0 2 rRR rrRR k     ， k k dr rRR r d )( sin  0   ，当   2/ drk 时，  SdS k   0rR R r S k k      d r e FQUKPU ikr ),()( ~ )( ~ 0    k ikr k k r S )() eFQUK ~ (     )( 0 )( ~   ni k k k eF r S UK       ik k k i k e r S eUK )cos1( 2 ~ 1 0    n k k A k 1 1  )1)(cos1( 5