新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）

新疆大学信息科学与工程学院 解(1)建立如题3.8图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分 面上任意点P的电位为 2 (r,0)= Pnod=' -in4eVF+: 盒++ PanF+2呼+L2 46 VF2+(L/2)-L/2 L/2 Pe+(L2)+1/2 题38图 (2)根据对称性，可得两个对称线电荷元P。d'在点P的电场为 pd=' Dord=' de=6d=62a+o0=62m: 故长为L的线电荷在点P的电场为 2 Prord=' E=∫aE=e2P+ 6时 L 由E=-Vp求E,有 E-vo-v r 会2mu阿 L 39已知无限长均匀线电荷D的电场E=心2，试用定义式 p)=∫1求其电位函数。其中，为电位参考点。 解0)-1-品dr=会hr心-月 2π8r 由于是无限长的线电荷，不能将，选为无穷远点。 3.10一点电荷+q位于(-a,0,0),另一点电荷-2g位于(a,0,0),求空间的 零电位面。 解两个点电荷+9和-2g在空间产生的电位 2q xy)=4a6x+or+y+F-a°+r+园 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 21 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 （1）建立如题 3.8 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分 面上任意点 P 的电位为 2 0 2 2 2 0 d ( ,0) 4 L l L z r r z           2 0 2 2 2 0 ln( ) 4 L l L z rz        2 2 0 2 2 0 ( 2) 2 ln 4 ( 2) 2 l rL L rL L        2 2 0 0 ( 2) 2 ln 2 l rL L r     （2）根据对称性，可得两个对称线电荷元 z l d   0 在点 P 的电场为 0 2 2 0 d d d cos 2 l rr r z E r z         Ee e 0 2 2 32 0 d 2( ) l r r z r z      e 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 2 0 2 2 32 0 0 d d 2( ) L l r r z r z          E Ee 2 0 2 2 0 0 ( ) 2 L l r z r r z       e 0 2 2 0 4 ( 2) l r L r r L    e 由 E   求 E ，有 2 2 0 0 2 ( 2) ln 2 l L rL r                    E 0 2 2 2 2 0 1 2 2 ( 2) ( 2) l r r r L rL rL                       e 0 2 2 0 4 ( 2) l r L r r L    e 3.9 已知无限长均匀线电荷 l 的电场 0 2 l r r   E e  ，试用定义式 () d Pr r  r   E￾ l 求其电位函数。其中 Pr 为电位参考点。 解 00 0 ( ) d d ln ln 22 2 P P P r r r ll l P r r r r r rr r r            E l ￾ 由于是无限长的线电荷，不能将 Pr 选为无穷远点。 3.10 一点电荷q 位于( ,0,0) a ，另一点电荷2q位于( ,0,0) a ，求空间的 零电位面。 解 两个点电荷q 和2q在空间产生的电位 2 22 2 22 0 1 2 (, ,) [ ] 4 () () q q xyz x a y z xa y z          L 2 L 2 P  z r o  l 0 题 3.8 图

新疆大学信息科学与工程学院 -22 1 2 令(x八，)=0，则有 xta-a0 即 4(x+a2+y2+]=(x-a+y2+2 故得 4 由此可见，零电位面是一个以点(-a0,0)为球心、了a为半径的球面。 3.11证明习题3.2的电位表达式为 解位于球心的正电荷Z在原子外产生的电通量密度为 0=6得 电子云在原子外产生的电通量密度则为 D.=e 4πr1 2=-,4 所以原子外的电场为零。故原子内电位为 3.12电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 r)=0 '≤a o(r)=A(r-)cos6 (1)求圆柱内、外的电场强度： (2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解(1)由E=-Vp,可得到 r<a时，E=-Vp=0 P>a时.E=-p=-e会4-os外-，-o到 -e,40+号)cos+e,40-马)sinp (2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷 面密度为 O=SE=SeE=-28Acos 3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足V=0 (1)sin(kx)sin(by)ek其中F=k2+P; (2)r[cos(np)+Asin(np】圆柱坐标： (3)r"cos(n)圆柱坐标： (4)rcos 战标 (5)r2cos 球坐标。 解(1)在直角坐标系中 .8 sin(ke)sin(ly)e-1-k sin(ke)sin()e 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 22 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 令(, ,) 0 xyz  ，则有 2 22 2 22 1 2 0 () () xa y z xa y z       即 2 22 2 22 4[( ) ] ( ) x     a y z xa y z 故得 5 4 2 22 2 ( ) () 3 3 x   a yz a 由此可见，零电位面是一个以点 5 ( ,0,0) 3  a 为球心、 4 3 a为半径的球面。 3.11 证明习题 3.2 的电位表达式为 2 0 1 3 () ( ) 4 22 a a Ze r r rrr     解 位于球心的正电荷 Ze 在原子外产生的电通量密度为 1 2 4r Ze  r D e  电子云在原子外产生的电通量密度则为 3 2 2 2 4 3 4 4 a r r r Ze r r     De e   所以原子外的电场为零。故原子内电位为 2 3 0 0 1 1 ( ) d ( )d 4 a a r r r r a Ze r r Dr r r r         2 0 1 3 ( ) 4 22 a a Ze r  rrr   3.12 电场中有一半径为a的圆柱体，已知柱内外的电位函数分别为 2 () 0 ( ) ( )cos r ra a r Ar r a r              （1）求圆柱内、外的电场强度； （2）这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。 解 （1）由 E   ，可得到 r a  时， E     0 r a  时， E     2 2 [ ( )cos ] [ ( )cos ] r a a Ar Ar rr r r            e e 2 2 2 2 (1 )cos (1 )sin r a a A A r r    e e    （2）该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷 面密度为 00 0 2 cos r ra ra     A      nE e E ￾ ￾ 3.13 验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足 2    0 （1）sin( )sin( ) hz kx ly e 其中 2 22 hkl   ； （2） [cos( ) sin( )] n r n An    圆柱坐标； （3） cos( ) n r n  圆柱坐标； （4）r cos 球坐标； （5） 2 r cos  球坐标。 解 （1）在直角坐标系中 222 2 222 x y z            而 2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e k kx ly e x x         

新疆大学信息科学与工程学院 -23 Isin(ke)sin(ly)e-Fsin(k)sin()e sin(k)sin(y)sin(x)sin(bye 故 =(k2+)sin(kx)sin(by )e=0 (2)在圆柱坐标系中 802-8rr飞+s=r1w+4ow cos()+Asin( 1a20 v20=0 (3) 1a 器=ro响 2 rcos(n=0 72=0 (4)在球坐标系中 10 1a0 而 是r9-8rom甽-子m0 m品sm6品-品0品rew1: 10 sin0 20(-rsin0)-2cos0 1∂ 1a20 1 故 720=0 (5) 1分 1分 (cs= Fnb0-rsm0=-子os0 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 23 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e l kx ly e y y          2 2 2 2 2 [sin( )sin( ) ] sin( )sin( ) hz hz kx ly e h kx ly e z z          故 2 22 2 ( )sin( )sin( ) 0 hz  k l h kx ly e      （2）在圆柱坐标系中 2 2 2 22 2 1 ( ) r rr r r z             而 1 1 ( ) { [cos( ) sin( )]} n r rr n A n rr r rr r           2 2[cos( ) sin( )] n nr n A n     2 2 2 2 2 1 [cos( ) sin( )]} n nr n A n r          2 2 2 2 [cos( ) sin( )] 0 n r n An z z           故 2    0 （3） 1 1 2 2 ( ) { [ cos( )]} cos( ) n n r r r n nr n rr r rr r             2 2 2 2 2 1 cos( ) n nr n r          2 2 2 2 [ cos( )] 0 n r n z z          故 2    0 （4）在球坐标系中 2 2 2 2 2 22 2 11 1 ( ) (sin ) sin sin r rr r r r                    而 2 2 2 2 11 2 ( ) [ ( cos )] cos r rr rr r rr r r            2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r                2 2 1 2 ( sin ) cos sin r r r         2 2 22 2 22 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r           故 2    0 （5） 2 22 22 2 11 2 ( ) [ ( cos )] cos r rr rr r rr r r             2 2 2 1 1 (sin ) [sin ( cos )] sin sin r r r                 2 2 2 4 1 2 ( sin ) cos sin r r r         

新疆大学信息科学与工程学院 24 1 a'o sinsicos 12 720=0 3.14已知y>0的空间中没有电荷，下列儿个函数中哪些是可能的电位的 解？ (1)e"coshx: (2)e COSX: (3)e cosxsinx (4)sinxsinysin=。 ecosh. 解(1)0 (e-coshx)+(e-y coshx)=2e-coshx0 所以函数e”coshx不是y>0空间中的电位的解： (2) 所以函数e-cosx是y>0空间中可能的电位的解： (3) -4ecosxsinx+2ecosxsinx+0 所以函数e5,cosxsinx不是y>0空间中的电位的解： 2 (4) -3 sinxsin ysin≠0 所以函数sinxsinysin:不是y>0空间中的电位的解， 315中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为 P-B(e,x+e,y+e)。(l)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度：(2)证明 总的束缚电荷为零。 解(1) Pp=-VOP=-3P ,e=为=rln=e,Pln= =-之=Pl4n=-e,Pln= 同理 ,0=2=o0=-2=a=2=0,=-2=2 (2) 9=fe.dr+o,dS=-3R0+61x0 3.16一半径为R的介质球，介电常数为，6，其内均匀分布自由电荷P, 证明中心点的电位为 2。代 解由DS=4,可得到 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 24 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 2 2 2 22 2 22 2 1 1 ( cos ) 0 sin sin r r r            故 2    0 3.14 已知 y  0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的 解? （1） cosh y e x  ； （2）e x y cos  ； （3） 2 cos sin y e xx  （4）sinxsiny sin z。 解 （1） 222 222 ( cosh ) ( cosh ) ( cosh ) yyy ex ex ex xyz       2 cosh 0 y e x   所以函数e x y cosh  不是 y  0空间中的电位的解； （2） 222 222 ( cos ) ( cos ) ( cos ) yyy ex ex ex xyz     cos cos 0 y y e xe x      所以函数e x y cos  是 y  0空间中可能的电位的解； （3） 222 222 222 ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) yyy e xx e xx e xx xyz       2 2 4 cos sin 2 cos sin 0 y y e xxe xx     所以函数e x x y cos sin  2 不是 y  0空间中的电位的解； （4） 222 222 (sin sin sin ) (sin sin sin ) (sin sin sin ) x yz xyz xyz xyz        3sin sin sin 0 xyz 所以函数sin xsin ysin z 不是 y  0空间中的电位的解。 3.15 中心位于原点，边长为 L 的电介质立方体的极化强度矢量为 0 ( ) P xxyz P eee  y z 。（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明 总的束缚电荷为零。 解 （1） 0 3  P     ￾P P 2 20 ( ) 2 2 P xL x xL L L  x    nP e P ￾ ￾   P 2 20 ( ) 2 2 P xL x xL L L  x     nP e P ￾ ￾   P 同理 0 ( )( )( )( ) 2 2 2 22 P P PP L L L LL   yy zzP         （2） 3 2 0 0 d d3 6 0 2 PP P S L q S PL L P           ￾ 3.16 一半径为 R0 的介质球，介电常数为 r 0   ，其内均匀分布自由电荷  ， 证明中心点的电位为 2 0 0 2 1( ) 2 3 r r R      解 由 d S  q ￾ D S ￾ ，可得到

新疆大学信息科学与工程学院 25 r<R时， 4r0=4 30 免 D- 8.36, r>R时， 4xrD=Rp 1 即 D-o 6是器 故中心点的电位为 w5erg4r-器器竖兰 3.17一个半径为R的介质球，介电常数为8，球内的极化强度P=e,Kr 其中K为一常数。(1)计算束缚电荷体密度和面密度：(2)计算自由电荷密度： (3)计算球内、外的电场和电位分布。 解(1)介质球内的束缚电荷体密度为 A-r=- 在r=R的球面上，束缚电荷面密度为 d,-Plus eP (2)由于D=8E+P,所以 VID-6VE+VIP-VID+VIP (1-)OD=VOP 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 6K D-VD- 总的自由电荷量9Dr=了月4标rd=队 E-E。 (3)介质球内、外的电场强度分别为 Es-6-e (6-6o (r<R) ERK E,=646G-6, (r>R) 介质球内、外的电位分别为 %=∫EDl=Edr+∫E,dr= jt女 644o-高 (rsR) 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 25 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 0 r R  时， 3 2 1 4 4 3 r r D     即 1 3 r D  ， 1 1 0 0 3 r r D r E       0 r R  时， 3 2 0 2 4 4 3 R r D     即 3 0 2 2 3 R D r   ， 3 1 0 2 2 0 0 3 D R E r      故中心点的电位为 0 0 0 0 3 0 1 2 2 0 0 0 0 (0) d d d d 3 3 R R R R r r R Er Er r r r               2 2 0 0 2 0 00 0 2 1( ) 6 3 23 r r r R R R            3.17 一个半径为 R 的介质球，介电常数为 ，球内的极化强度 P e  r K r ， 其中 K 为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度； （3）计算球内、外的电场和电位分布。 解 （1） 介质球内的束缚电荷体密度为 2 2 2 1 d ( ) d p K K r rr r r        ￾P 在r R  的球面上，束缚电荷面密度为 p r rR rR K R     nP e P ￾ ￾   （2）由于 0 D   E P  ，所以 0 0    ￾D EP DP       ￾￾ ￾￾ 即 0 (1 )      ￾ ￾ D P 由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 2 0 00 ( ) p K r                ￾ ￾ D P 总的自由电荷量 2 2 0 0 0 1 4 d 4d R K RK q rr r               （3）介质球内、外的电场强度分别为 1 0 0 ( ) r K   r     P E e ( ) r R  2 2 2 0 00 4 () r r q RK r r         Ee e ( ) r R  介质球内、外的电位分别为 1 12 ddd R r rR  E r Er        E l ￾ 2 0 00 d d () () R r R K RK r r r r             0 00 ln () () K R K r         ( ) r R 