新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）

新疆大学信息科学与工程学院 -16 =0r-1 所以乃与P,之间的相互作用能为 n0p.4] W.=-P E-6 因为日=<r,B>,8=<r,乃>，则 pr=prcose p.r=p,rcos 又因为是两个平面（心，A)和(C,P)间的夹角，所以有 (r×nr×p)=r P:sinsincosp 另一方面，利用矢量恒等式可得 (r×pr×p2)=r×p)×rPp2= [r'p -(rp )rEp2= r(p,Op:)-(rOpX(rOpz) 因 此 (pp)=【r×pr×)+(p,rp,】=PP:sind sincosp+cs月cos 于是得到用=4杯(sm8sin8cos4-2cos8cos风) 故两偶极子之间的相互作用力为 Fs-迎1 (sinsin o2o 器(in.o-2mqow8) 由上式可见，当(=(=0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 2.14两平行无限长直线电流4和2，相距为d,求每根导线单位长度受到 的安培力F。 解无限长直线电流产生的磁场为 县6编 直线电流！每单位长度受到的安培力为 式中e,是由电流I指向电流的单位矢量。 同理可得，直线电流4每单位长度受到的安培力为 Fa=-f=e.号 2.15一根通电流1的无限长直导线和一个通电流12的圆环在同一平面上， 心与导线的距离为d,如题215图所示。证明：两电流间相互作用的安培力 为 F=(seca-1) 这里a是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解无限长直线电流产生的磁场为 新疆大学信息科学与工程学院 题215图

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 16 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 1 1 1 5 3 0 1 3( ) [ ] 4 r r   p rr p E ￾ 所以 1 p 与p2之间的相互作用能为 1 2 12 2 1 5 3 0 1 3( )( ) [ ] 4 We  r r    pr pr pp p E ￾ ￾ ￾ ￾ 因为 1 1    r p, ， 2 2    r p, ，则 111 p r￾  p r cos 222 p r￾  p r cos 又因为 是两个平面 1 (, ) r p 和 2 (, ) r p 间的夹角，所以有 2 1 2 12 1 2 ( ) ( ) sin sin cos rp rp   ￾ r pp    另一方面，利用矢量恒等式可得 12 12 ( ) ( ) [( ) ] r p r p r p rp     ￾ ￾ 2 1 12 [ ( )] r p rpr p   ￾ ￾ 2 12 1 2 r ( ) ( )( ) p ￾ ￾￾ p rp rp  因 此 12 1 2 1 2 2 1 ( ) [( ) ( ) ( )( )] r p p r p r p rp rp ￾ ￾ ￾￾     12 1 2 p p sin sin cos     12 1 2 p p cos cos   于是得到 We  1 2 3 0 4 p p   r ( 1 2 sin sin cos     1 2 2cos cos   ) 故两偶极子之间的相互作用力为 e r q const W F r      1 2 0 4 p p   ( 1 2 sin sin cos     1 2 2cos cos   ) 3 d 1( ) dr r  1 2 4 0 3 4 p p  r ( 1 2 sin sin cos     1 2 2cos cos   ) 由上式可见，当 1 2     0时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。 2.14 两平行无限长直线电流 1I 和 2 I ，相距为 d ，求每根导线单位长度受到 的安培力 Fm 。 解 无限长直线电流 1I 产生的磁场为 0 1 1 2 I r    B e  直线电流 2I 每单位长度受到的安培力为 1 012 12 2 1 12 0 d 2 m z I I I z d       F eB e 式中 12 e 是由电流 1I 指向电流 2 I 的单位矢量。 同理可得，直线电流 1I 每单位长度受到的安培力为 012 21 12 12 2 m m I I d   F Fe   2.15 一根通电流 1I 的无限长直导线和一个通电流 2 I 的圆环在同一平面上， 圆心与导线的距离为d ，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力 为 012 (sec 1) F II m     这里 是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流 1I 产生的磁场为 题 2.15 图

新疆大学信息科学与工程学院 -17 圆环上的电流元12d山受到的安培力为 dE=4d6×B=dx,0 由题2.15图可知 dl=(-e,sin0+e.cos0)ad0 x=d+acose 所以 Fm=】 (d+acos0(e,sin0-e,cos0)do cos0 2 (d+acoso do- 2 。taV-a)=-e44(sea- 2.16证明在不均匀的电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为 rx(pW)E+p×E。 解如题2.16图所示，设p=qdl(d1<),则电偶极子P绕坐标原点所受到 的力矩为 T=5×gE(5)-r×gEG)= q8当-当q8当 -当-gaar当+B-当 2 2 当dl<1时，有 E)E()+(E) 2 2 故得到 T≈rx(gdl.V)Er)+qdl×Er)= rx(DE DXE 题2.16图 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 17 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 0 1 1 2 I r    B e  圆环上的电流元 2 2 I d l 受到的安培力为 012 22 1 2 dd d 2 m y I I I x   F lB le    由题 2.15 图可知 2 d ( sin cos ) d x z le e      a xda   cos 所以 2 0 12 0 ( sin cos )d 2 ( cos ) m zx aI I d a             F ee 2 0 12 0 cos d 2 ( cos ) x aI I d a           e 0 12 012 2 2 2 2 ( ) (sec 1) 2 x x aI I d I I a a d a             e e 2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子 p绕坐标原点所受到的力矩为 r p E pE    ( ) ￾ 。 解 如题 2.16 图所示，设 p l  qd (d 1) l  ，则电偶极子 p绕坐标原点所受到 的力矩为 2 21 1 T r Er r Er     q q () () d dd d ( ) ( )( ) ( ) 2 22 2        q q l ll l r Er r Er dd dd [ ( ) ( )] d [ ( ) ( )] 2 22 2 2 q q       ll ll r Er Er l Er Er 当d 1 l  时，有 d d ( ) () ( ) () 2 2     l l E r Er Er d d ( ) () ( ) () 2 2     l l E r Er Er 故得到 T r l Er l Er       ( d ) () d () q q r p E pE    ( ) ￾ 题 2.16    图

新疆大学信息科学与工程学院 -18 第三章习题解答 3.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷9和-q, 试计算球赤道平面上电通密度的通量D(如题31图所示 解由点电荷9和9共同产生的电通密度为 道平面 6品 qerte(=-a) 则球赤道平面上电通密度的通量 Φ=∫DS=De.lds= 题31图 0=(方9=-0299 qa a 321911年卢瑟福在实验中使用的是半径为，的球体原子模型，其球体内 均匀分布有总电荷量为-Ze的电子云，在球心有一正电荷Ze(Z是原子序数，e 是质子电荷量)，通过实验得到球体内的电通量密度表达式为 0=6身试证明之. 解位于球心的正电荷球体内产生的电通量密度为D=(,4 Ze 37e 原子内电子云的电荷体密度为 p= Ze 4a4 电子云在原子内产生的电通量密度则为 D =e Dizr'/3 题3.3图(a) 故原子内总的电通量密度为 3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为PC/m3,两圆柱面半 径分别为a和b,轴线相距为c(c<b-a),如题3.3图(@所示。求空间各部分的 电场 解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但 可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为±P,的两种电荷分布，这 样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为P的均匀电荷分布，而在半径为a的 整个圆柱体内则具有体密度为-P,的均匀电荷分布，如题3.3图(b)所示。空间任 点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加 在，>6区域中，由高斯定件时E5一号，可求得大、小圆柱中的正、负电 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 18 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 第三章习题解答 3.1 真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q 和 q ， 试计算球赤道平面上电通密度的通量 (如题 3.1 图所示)。 解 由点电荷q 和 q 共同产生的电通密度为 3 3 [ ] 4 q  R R        R R D 2 2 32 2 2 32 () () { } 4 [ ( )] [ ( )] rz rz q r za r za  r za r za       ee ee 则球赤道平面上电通密度的通量 0 d d z z S S  S       D S De ￾ ￾ 2 2 32 2 2 32 0 ( ) [ ]2 d 4( )( ) a qa a r r ra ra         2 2 12 0 1 ( 1) 0.293 ( ) 2 a qa q q r a     3.2 1911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为 ar 的球体原子模型，其球体内 均匀分布有总电荷量为 Ze 的电子云，在球心有一正电荷 Ze（Z 是原子序数，e 是质子电荷量），通过实验得到球体内的电通量密度表达式为 0 2 3 1 4r a Ze r  r r         D e ，试证明之。 解 位于球心的正电荷 Ze 球体内产生的电通量密度为 1 2 4r Ze  r D e  原子内电子云的电荷体密度为 3 3 3 434 a a Ze Ze r r      电子云在原子内产生的电通量密度则为 3 2 2 3 4 3 4 4 r r a r Ze r r r     De e   故原子内总的电通量密度为 1 2 2 3 1 4r a Ze r  r r          DD D e 3.3 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 3 0 C m , 两圆柱面半 径分别为a和b ，轴线相距为c (c  b  a)，如题 3.3 图( ) a 所示。求空间各部分的 电场。 解 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但 可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为0 的两种电荷分布，这 样在半径为b 的整个圆柱体内具有体密度为 0 的均匀电荷分布，而在半径为a的 整个圆柱体内则具有体密度为0 的均匀电荷分布，如题 3.3 图( ) b 所示。空间任 一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。 在r  b 区域中，由高斯定律 0 d S q   ￾E S ￾ ，可求得大、小圆柱中的正、负电 q q a 赤道平面 题 3.1 图 题 3. 3 图 ( ) a a b c 0

新疆大学信息科学与工程学院 19 荷在点P产生的电场分别为 题3.3图(b) E=6器- 点P处总的电场为 B=+2停当 在r<b且'>a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电 场分别为 E,=,22 26 点P处总的电场为 E=E+E=会 在r'<a的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点P产生的电场分别 为 6密张兽兴 点P处总的电场为 E-E+E是-2c 2。 3.4半径为a的球中充满密度pr)的体电荷，已知电位移分布为 (r≤a) D.=a'+Aa' 其中A为常数，试求电荷密度pr)。 2 r2a) 解：由=p,有)-m-D) 放在r<a区城2n=6r+r川=6(6r+4) 在r>a区域 n0=r@+=0 3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷 量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为 E=e,/a),设球内介质为真空。计算：(1)球内的电荷分布：(2)球壳外表 面的电荷面密度。 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 19 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 荷在点 P 产生的电场分别为 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r b b r r       r E e 2 2 0 0 1 2 0 0 2 2 r a a r r             r E e 点 P 处总的电场为 2 2 1 1 2 2 0 ( ) 2 b a r r        r r EE E 在r  b 且r  a区域中，同理可求得大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电 场分别为 2 2 0 0 2 2 r r r        r E e 2 2 2 2 0 0 2 2 r a a r r             r E e 点 P 处总的电场为 2 0 2 2 2 0 ( ) 2 a r        r EE E r 在r  a 的空腔区域中，大、小圆柱中的正、负电荷在点 P 产生的电场分别 为 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r        r E e 2 0 0 3 0 0 2 2 r r r              r E e 点 P 处总的电场为 0 0 3 3 0 0 ( ) 2 2     E   E E rr c   3.4 半径为a的球中充满密度 ( )r 的体电荷，已知电位移分布为 3 2 5 4 2 ( ) ( ) r r Ar r a D a Aa r a r           其中 A为常数，试求电荷密度 ( )r 。 解：由  ￾D  ，有 2 2 1 d () ( ) d r r rD r r    ￾D 故在r a  区域 23 2 2 0 0 2 1 d ( ) [ ( )] (5 4 ) d r r r Ar r Ar r r      在r a  区域 5 4 2 0 2 2 1d ( ) () [ ] 0 d a Aa r r rr r      3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷 量为Q 为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q 。已知球内部的电场为 4 ( ) r E e  r a ，设球内介质为真空。计算：（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表 面的电荷面密度。 题 3. 3 图 ( ) b ＝ ＋ a b c 0 a b c 0 a b c 0

新疆大学信息科学与工程学院 -20 解(1)由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 （2)球体内的总电量0为Q-t-j6c后4art=4证d 球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷一Q,而且在球壳外表面上还要感应 电荷Q,所以球壳外表面上的总电荷为2Q,故球壳外表面上的电荷面密度为 20 40=2 3.6两个无限长的同轴圆柱半径分别为r=a和r=b(b>a),圆柱表面分 别带有密度为O,和o2的面电荷。(1)计算各处的电位移D:(2)欲使r>b区域 内D=0,则和o应具有什么关系？ 解(1)由高斯定理D,S=9,当r<a时，有 D1=0 当a<r<b时，有 2rDe=2rac,则De=eg 当b<r<o时，有2rD。=2aG+2xbo,则D=e,aoi+ba (2)令D。=ec+c=0,则得到 =_b 02 a 3.7计算在电场强度E=e,y+e,x的电场中把带电量为-2μC的点电荷从 点P(2,1,-1)移到点P(8,2,-)时电场所做的功：(1)沿曲线x=2y2:(2)沿连 接该两点的直线。 解(1)W=∫Fi1=gEl=qE,dx+E,dy= qJydx+xdy=qfyd(2y)+2ydy= q6y2dy=14g=-28×106(J) (2)连接点R(2,1-)到点(8,2，-)直线方程为 x-2x-8 y-1y-2 x-6y+4=0 W= qfydx+xdy=qfyd(6y-4)+(6y-4)dy= q2y-4)dy=14g=-28x10(J 3.8长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为Po。(1)计算线电 荷平分面上任意点的电位P:(2)利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的 电场E,并用E=-Vp核对。 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 20 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为 2 0 0 2 1 d [ ( )] d r E r r      ￾E 4 3 2 0 0 24 4 1 d [ ( )] 6 d r r r rr a a    （2）球体内的总电量Q 为 3 2 2 0 0 4 0 d 6 4d4 a r Q rr a a           球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷 Q ，而且在球壳外表面上还要感应 电荷Q ，所以球壳外表面上的总电荷为 2Q ，故球壳外表面上的电荷面密度为 2 0 2 2 4 Q a      3.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为r a  和r b  ( ) b a  ，圆柱表面分 别带有密度为1和 2 的面电荷。（1）计算各处的电位移 D0；（2）欲使r b  区域 内 0 D  0，则1和 2 应具有什么关系？ 解 （1）由高斯定理 0 d S  q ￾ D S ￾ ，当r a  时，有 01 D  0 当arb   时，有 02 1 2 2 rD a    ，则 1 02 r a r  D e  当b r  时，有 03 1 2 2 22 rD a b     ，则 1 2 03 r a b r    D e  （2）令 1 2 03 0 r a b r    D e   ，则得到 1 2 b a     3.7 计算在电场强度 x y E   e e y x 的电场中把带电量为 2 C 的点电荷从 点 1P(2,1, 1)  移到点 2 P (8, 2, 1)  时电场所做的功：（1）沿曲线 2 x  2y ；（2）沿连 接该两点的直线。 解 （1） d d dd x y CCC W q qE x E y      Fl El ￾ ￾ 2 2 2 1 d d d(2 ) 2 d C qy x x y qy y y y      2 2 6 1 qyy q J 6 d 14 28 10 ( )      （2）连接点 1P(2,1, 1)  到点 2 P (8, 2, 1)  直线方程为 2 8 1 2 x x y y      即 x y  6 40   故 W  2 1 d d d(6 4) (6 4)d C qy x x y qy y y y        2 6 1 qy yq J (12 4) d 14 28 10 ( )       3.8 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为  l 0。（1）计算线电 荷平分面上任意点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的 电场 E ，并用 E   核对