新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）

新疆大学信息科学与工程学院 ,26 @-SE.dr-f- ERK ERK (r2R) 3.18(1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密 度：(2)导出束缚电荷密度P的表达式。 解(1)由D=6E+P,得束缚电荷体密度为 P,=-VOP =-VID+ 在介质内没有自由电荷密度时，四D=0,则有 r=EVLE 由于D=sE,有 VOD VLEE)=VE+ELV=0 所以 由此可见，当电介质不均匀时，E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存 在束缚电荷体密度。 (2)束缚电荷密度p的表达式为 Pp 5oVUE =-5ELVs 3.19两种电介质的相对介电常数分别为6=2和￡2=3，其分界面为：=0 平面。如果已知介质1中的电场的 E,=e,2y-e,3x+e.(5+) 那么对于介质2中的E,和D,我们可得到什么结果？能否求出介质2中任意点 的E2和D? 解设在介质2中 E2(x,y,0)=eE2.(x,0)+e,E2(x,y,0)+e.E2.(x,y,0) D3=65E2=36E, 在：=0处，由e.×(E-E2)=0和e.D-D)=0,可得 e,2y-e,3x=e,E2.(xy,0)+e,E2,(x,y,0) 2×56=36E2.(x,y,0) 于是得到 E2.(,y,0)=2y E,（x,y,0)=-3x E.,y,0)=10/3 故得到介质2中的E,和D,在：=0处的表达式分别为 E2(x,y,0)=e,2y-e,3x+e.(I0/3) D2(x,y,0)=5(e.6y-e,9x+e.10) 不能求出介质2中任意点的E和D。由于是非均匀场，介质中任意点的电 场与边界面上的电场是不相同的 3.20电场中一半径为4、介电常数为6的介质球，已知球内、外的电位函 数分别为 =-Eor cos0+ E-E r2a 38m 2 Fr cos0 r≤a 验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 26 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 2 2 2 0 0 d d ( ) r r RK Er r r            0 0 ( ) RK r     ( ) r R  3.18 （1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密 度；（2）导出束缚电荷密度  P 的表达式。 解 （1）由 0 D    E P ，得束缚电荷体密度为  P 0       ￾￾ ￾ P D E  在介质内没有自由电荷密度时，￾D  0，则有  P 0   ￾E 由于 D E   ，有        ￾￾ ￾￾ D E EE () 0    所以      E E ￾ ￾ 由此可见，当电介质不均匀时，￾E 可能不为零，故在不均匀电介质中可能存 在束缚电荷体密度。 （2）束缚电荷密度  P 的表达式为 0 P 0          ￾E E￾ 3.19 两种电介质的相对介电常数分别为 r1  =2 和 r 2  =3，其分界面为 z =0 平面。如果已知介质 1 中的电场的 1 2 3 (5 ) x yz Ee e e    y x z 那么对于介质 2 中的 E2和 D2，我们可得到什么结果？能否求出介质 2 中任意点 的 E2和 D2？ 解 设在介质 2 中 22 2 2 ( , ,0) ( , ,0) ( , ,0) ( , ,0) xx yy zz Ee e e x y  E x y E x y E x y 2 022 02 3 r D      E E 在 z  0 处，由 1 2 ( )0 e EE z    和 1 2 ( )0 eDD z ￾   ，可得 2 2 0 02 2 3 ( , ,0) ( , ,0) 2 5 3 ( , ,0) x y xx yy z y x E xy E xy   E xy        eee e 于是得到 2 ( , ,0) 2 E xy y x  2 ( , ,0) 3 E y x y   x 2 ( , ,0) 10 3 E xy z  故得到介质 2 中的 E2和 D2在 z  0 处的表达式分别为 2 2 0 ( , ,0) 2 3 (10 3) ( , ,0) ( 6 9 10) x yz x yz xy y x xy y x      E eee D eee 不能求出介质 2 中任意点的 E2和 D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电 场与边界面上的电场是不相同的。 3.20 电场中一半径为a、介电常数为 的介质球，已知球内、外的电位函 数分别为 0 3 10 0 2 0 cos cos 2 Er aE r            r a  0 2 0 0 3 cos 2 E r         r a  验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度

新疆大学信息科学与工程学院 -27 解在球表面上 6+26 aEcos0=- 3-E,acos0 +26 9(a,0)=- 2=-6w0-226m0=56w0 8+2E0 故有 g(a,)=g,(a,), 可见%和，满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为 o,=l=(e-6e,E=-(c-6)0l-3,-62gcos9 6+250 321平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。电容器的 半厚度(0~)用介电常数为8的电介质填充，如题321图所示。 (①)()板上外加电压U。,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷： (2)(2)若己知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷： (3)(3)求电容器的电容量。 解(I)设介质中的电场为E=e,E,空气中的电场为E。=e,E。由D=D。, 有 SE=6Eo 又由于 d/2 号+号=-U 由以上两式解得 E=- 26Uo 题3.21图 (s+6)d 2sU。 E6= (+8)d 故下极板的自由电荷面密度为O下=E=一 250sU (s+)d 2E EU 上极板的自由电荷面密度为0上=一5E,= (e+8)d 电介质中的极化强度 P=(-6)E=-e.2,- (s+5)d 放下表面上的束缚电荷面密度为=-e,P=2-,心 (E￡+E。)d 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 27 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 在球表面上 0 0 10 0 0 0 0 3 ( , ) cos cos cos 2 2 a E a aE E a                0 2 0 0 3 ( , ) cos 2 a Ea          1 0 00 0 0 0 2( ) 3 cos cos cos 2 2 r a EE E r                  2 0 0 0 3 cos 2 r a E r            故有 1 2  (, ) (, ) a a    ， 1 2 0 ra ra r r            可见1和2 满足球表面上的边界条件。 球表面的束缚电荷密度为 2 02 ( )   p ra r    nP e E  ￾ ￾ 2 0 0 0 0 0 3( ) ( ) cos 2 r a E r                 3.21 平行板电容器的长、宽分别为a和b ，极板间距离为d 。电容器的一 半厚度( 2 0 ~ d )用介电常数为 的电介质填充，如题 3.21 图所示。 (1)(1) 板上外加电压U0，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷； (2)(2) 若已知板上的自由电荷总量为Q，求此时极板间电压和束缚电荷； (3)(3) 求电容器的电容量。 解（1）设介质中的电场为 E  ezE ，空气中的电场为 E0  zE0 e 。由 D  D0 ， 有 E E0 0    又由于 0 0 2 2 U d E d E    由以上两式解得 0 0 0 2 ( ) U E d       ， 0 0 0 2 ( ) U E d       故下极板的自由电荷面密度为 0 0 0 2 ( ) U E d          下 上极板的自由电荷面密度为 0 0 0 0 0 2 ( ) U E d          上 电介质中的极化强度 0 00 0 0 2( ) ( ) ( ) z U d             P Ee 故下表面上的束缚电荷面密度为 0 00 0 2( ) ( ) p z U d           下 e P￾ 题 3.21 图 U0 d 2  d 2 z

新疆大学信息科学与工程学院 28 上表面上的束缚电荷面密度为0p=e,P=-2,6-6 (e+)d (2)由 a= 266U ab (E+Eald 得到 U=(6+5o)do 26Eab 故 sab E 0L=-6-6g sab 恩3.2图 (3)电容器的电容为 c-号 322厚度为1、介电常数为ε=46，的无限大介质板，放置于均匀电场E,中， 板与E,成角日，如题322图所示。求：(1)使8=π/4的8值：(2)介质板两 表面的极化电荷密度。 解(1)根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 tane s 由此得到日=an-与am8-am么=am}=1f (2)设介质板中的电场为E,根据分界面上的边界条件，有6Eo=6E。,即 6E cos=6E 所以 E=cos0=cos14 介质板左表面的束缚电荷面密度 g,=-G-6返=-65s1w=-0728R 介质板右表面的束缚电荷面密度口，=(6-6)E,=子6，cos14=0.7286,6, 3.23在介电常数为的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的 E和D,: (1)平行于E的针形空腔 (2)底面垂直于E的薄盘形空腔： (3)小球形空腔（见第四章4.14题）。 解(1)对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有 E。=E。故在针形空腔中 Eo=E,Do=50Eo=50E (2)对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上， 有D。=D。故在薄盘形空腔中 D.=D=6E,E=D=SE 3.24在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一 极板(Uy=0)处的6一直变化到另一极板(y=d)处的62，试求电容量。 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 28 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 上表面上的束缚电荷面密度为 0 00 0 2( ) ( ) p z U d           上 e P￾ （2）由 0 0 2 ( ) Q U ab d         得到 0 0 ( ) 2 dQ U ab       故 0 ( ) p Q ab      下  0 ( ) p Q ab      上   （3）电容器的电容为 0 0 2 ( ) Q ab C U d        3.22 厚度为t、介电常数为 0   4 的无限大介质板，放置于均匀电场 E0中， 板与 E0成角1，如题 3.22 图所示。求：（1）使 2    4 的1值；（2）介质板两 表面的极化电荷密度。 解 （1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有 1 0 2 tan tan      由此得到 1 11 02 0 1 tan 1 tan tan tan 14 4             （2）设介质板中的电场为 E ，根据分界面上的边界条件，有 0 0 E E n n    ，即 00 1 cos E En     所以 0 01 0 1 cos cos14 4 EE E n       介质板左表面的束缚电荷面密度 0 00 00 3 ( ) cos14 0.728 4  p n        EE E  介质板右表面的束缚电荷面密度 0 00 00 3 ( ) cos14 0.728 4  p n       EE E  3.23 在介电常数为 的无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的 E0和 D0： （1）平行于 E 的针形空腔； （2）底面垂直于 E 的薄盘形空腔； （3）小球形空腔（见第四章 4.14 题）。 解 （1）对于平行于 E 的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有 E0  E 。故在针形空腔中 E0  E ， 0 00 0 D   E E   （2）对于底面垂直于 E 的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上， 有 D0  D 。故在薄盘形空腔中 0 D   D E ， 0 0 0 0      D E E 3.24 在面积为 S 的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一 极板( 0) y  处的 1  一直变化到另一极板( ) y d  处的 2  ，试求电容量。 题 3.22 图 E0 E0 1 0  E  2

新疆大学信息科学与工程学院 -29 解由题意可知，介质的介电常数为 g=￡.+1￡-￡)/d 设平行板电容器的极板上带电量分别为(，由高斯定理可得 D,=0=号 6片贴丽 所以，两极板的电位差 u-i6y-je+w2o4gg 故电容量为 S,-8 c=号ie,/a 3.25一体密度为p=2.32×10-Cm3的质子束，束内的电荷均匀分布，束直 径为2mm,束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。 解在质子束内部，由高斯定理可得2πrE,=】r'p 故 B.=p 2g2x8854x10-=131x10rVmr<10m 2.32×10-7r 在质子束外部，有 E:答-器a1 i y 3.26考虑一块电导率不为零的电介质(y,),设其介质特性和导电特性都是 不均匀的。证明当介质中有恒定电流时，体积内将出现自由电荷，体密度为 p=JV(sy)。试问有没有束缚体电荷P?若有则进一步求出Pp。 解 p=VOD =VUsE)=V )=JV(+vu 对于恒定电流，有=0，故得到 p=JM(s/y) 介质中有束缚体电荷P,且 P=-VDP=-VDD+6VDE=-JV()+oV)= -J9+Jw(乡)=-Jw-) y 3.27填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a,外导体内半径为c, 介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为和，电导率为和。设内 导体的电压为U。,外导体接地。求：(1)两导体之间的电流密度和电场强度分 布：(2)介质分界面上的自由电荷面密度：(3)同轴线单位长度的电容及漏电阻。 解(1)设同轴电缆中单位长度的径向电流为1，则由JS=/,可得电 流密度 J=e,2ar (a<r<c) 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 29 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 由题意可知，介质的介电常数为 1 21       y( ) d 设平行板电容器的极板上带电量分别为q ，由高斯定理可得 y q D S    1 21 [ ( )] y y D q E    y d S     所以，两极板的电位差 2 0 0 1 21 21 1 d d ln [ ( )] ( ) d d y q qd U Ey y y dS S            故电容量为 2 1 2 1 ( ) ln( ) q S C U d        3.25 一体密度为 7 3  2.32 10 C m    的质子束，束内的电荷均匀分布，束直 径为2 mm ，束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。 解 在质子束内部，由高斯定理可得 2 0 1 2 r  rE r     故 7 4 12 0 2.32 10 1.31 10 V m 2 2 8.854 10 r r r E r          3 ( 10 m) r   在质子束外部，有 2 0 1 2 r  rE a     故 2 76 2 12 0 2.32 10 10 1 1.31 10 V m 2 2 8.854 10 r a E r rr              3 ( 10 m) r   3.26 考虑一块电导率不为零的电介质(,)   ，设其介质特性和导电特性都是 不均匀的。证明当介质中有恒定电流 J 时，体积内将出现自由电荷，体密度为    J￾ ( )   。试问有没有束缚体电荷  P ？若有则进一步求出  P 。 解 ( ) ( ) ()               ￾D ￾￾￾ ￾ E JJ J 对于恒定电流，有  ￾J 0 ，故得到   J￾( )   介质中有束缚体电荷  P ，且 0 0 () () P                  J ￾￾ ￾￾ ￾ P D EJ 0 0 () ( ) ( )              JJ J ￾￾ ￾ 3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c ， 介质的分界面半径为b 。两层介质的介电常数为 1  和 2  ，电导率为 1  和 2  。设内 导体的电压为U0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分 布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。 解 （1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为 I ，则由 d S  I  J S ￾ ，可得电 流密度 2r I  r J e  ( ) arc  

新疆大学信息科学与工程学院 30 介质中的电场 (a<r<b) (b<r<c) 由于 上n+ U,=Er+E,山=2ma2m 于是得到I= 2yY,U。 In(e/b) 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 rUo e In(ba)+n(c/) (a<r<c) 1Y3U0 Ee,In(ba)+n(c/b) (a<r<b) E2=e, Ly,ln(b/a+y In(c/b) (b<r<c) (2)由。=D可得，介质1内表面的电荷面密度为 ,:In(ba)n(c/b) 介质2外表面的电荷面密度为 E、y,U o2=-6,e,E2le=- dyz In(b/a)+y In(c/b)] 两种介质分界面上的电荷面密度为 (6Y,-E,y)U EE)=by;mn(bfa)In(c/) (3)同轴线单位长度的漏电阻为 R-U=Z In(b/a)+7 in(c/b) 2Y2 由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 C= E:In(b/a)+E In(c/b) 3.28半径为R,和R,(R<R,)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常 数为&、电导率为y=+K的导电煤质(K为常数)。若内导体球面的电位为 U。,外导体球面接地。试求：(1)媒质中的电荷分布：(2)两个理想导体球面 间的电阻。 解设由内导体流向外导体的电流为，由于电流密度成球对称分布，所以 J=e,4πn2 (R<r<R) 电场强度 E==64r+y】 (R<r<R) 由两导体间的电压 U,=∫Er=j 「R(R+K) 切r+krdr=kR风+ 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 30 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 介质中的电场 1 1 1 2r I   r   J E e ( ) arb   2 2 2 2r I   r   J E e ( ) brc   由于 01 2 d d b c a b U     E ￾ ￾ r Er 1 2 ln ln 2 2 I bI c   a b  于是得到 12 0 2 1 2 ln( ) ln( ) U I ba cb       故两种介质中的电流密度和电场强度分别为 12 0 2 1 [ ln( ) ln( )] r U r ba cb       J e ( ) arc   2 0 1 2 1 [ ln( ) ln( )] r U r ba cb      E e ( ) arb   1 0 2 2 1 [ ln( ) ln( )] r U r ba cb      E e ( ) brc   （2）由  n D￾ 可得，介质 1 内表面的电荷面密度为 12 0 11 1 2 1 [ ln( ) ln( )] r ra U a ba cb           e E￾ 介质 2 外表面的电荷面密度为 21 0 2 22 2 1 [ ln( ) ln( )] r rc U c ba cb           e E￾ 两种介质分界面上的电荷面密度为 12 1 1 2 2 ( )      r r rb eE eE ￾ ￾ 12 21 0 2 1 ( ) [ ln( ) ln( )] U b ba cb         （3）同轴线单位长度的漏电阻为 0 2 1 1 2 ln( ) ln( ) 2 U ba cb R I        由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为 1 2 2 1 2 ln( ) ln( ) C ba cb       3.28 半径为 R1和 R2 ( ) R1  R2 的两个同心的理想导体球面间充满了介电常 数为 、电导率为 0     (1 ) K r 的导电媒质( K 为常数)。若内导体球面的电位为 U0，外导体球面接地。试求：（1）媒质中的电荷分布；（2）两个理想导体球面 间的电阻。 解 设由内导体流向外导体的电流为 I ，由于电流密度成球对称分布，所以 2 1 2 ( ) 4r I R r R  r J e   电场强度 1 2 0 ( ) 4( ) r I R r R   r Kr     J E e 由两导体间的电压 2 2 1 1 0 0 d d 4( ) R R R R I U r  r Kr      E r ￾ 2 1 0 12 ( ) ln 4 () I R R K  K RR K        