新疆大学：《电磁场理论》课程各章习题（电磁场与电磁波，第四版，含参考答案）

新疆大学信息科学与工程学院 第二章习题解答 21一个平行板真空二极管内的电荷体密度为p=-。,4x,式中阴 极板位于x=0,阳极板位于x=d,极间电压为U,。如果U,=40V、d=1cm 横截面g0cm,求：)x=0和x=d区域内的总电荷量Q:(2)x=d2和x=d 区域内的总电荷量Q。 (1 Q-fedr-(x)sdx-S-4.7x1oC 2 ) g=pdr=f-cV/-Vxsdx=-立0-方5=-097xiw"c 1 2.2一个体密度为p=2.32×10C/m的质子束，通过1000V的电压加速后 形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2mm,束外没有电荷 分布，试求电流密度和电流。 解质子的质量m=1,7×10”kg电量g=1.6×10C。由 5m2=g0 舟 v=V2mgU=1.37×10°m/s J=pm=0.318A/m2 I=Jπ(d/22=10A 2.3一个半径为α的球体内均匀分布总电荷量为Q的电荷，球体以匀角速度 ©绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为：轴。设球内任一点P的位置矢 量为r,且r与：轴的夹角为0，则P点的线速度为 v=@xr=e orsine 球内的电荷体密度为 p=4@3 J-m=6品6orsn0-e=rsm0 0 2.4一个半径为a的导体球带总电荷量为Q,同样以匀角速度。绕一个直径 旋转，求球表面的面电流密度。 解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为：轴。设球面上任一点的位置 矢量为r,且r与：轴的夹角为9，则P点的线速度为 v=@xr=e,wasine 球面的上电荷面密度为 0 o=And a0处的电费是8C位于：上：处，=4超于)辅上y=4处，求 2.5两点电荷 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 11 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 第二章习题解答 2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为 43 23 0 0 4 9   Ud x     ，式中阴 极板位于 x  0 ，阳极板位于 x  d ，极间电压为U0 。如果 0 U  40 V、d 1cm、 横截面 2 S 10cm ，求：（1）x  0 和 x  d 区域内的总电荷量Q ；（2）x  d 2和 x  d 区域内的总电荷量Q。 解 （1） 43 23 0 0 0 4 d ( )d 9 d Q Ud x S x           11 0 0 4 4.72 10 C 3 U S d      （ 2 ） 43 23 0 0 2 4 d ( )d 9 d d Q Ud x S x             11 0 0 3 4 1 (1 ) 0.97 10 C 3 2 U S d       2.2 一个体密度为 7 3  2.32 10 C m    的质子束，通过1000V 的电压加速后 形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为2 mm ，束外没有电荷 分布，试求电流密度和电流。 解 质子的质量 27 m 1.7 10 kg    、电量 19 q 1.6 10 C    。由 1 2 2 mv qU  得 6 v mqU   2 1.37 10 m s 故 J v    0.318 2 A m 2 6 IJd  ( 2) 10   A 2.3 一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度 绕一个直径旋转，求球内的电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z 轴。设球内任一点 P 的位置矢 量为r ，且r 与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为 rsin v re       球内的电荷体密度为 3 4 3 Q a    故 3 3 3 sin sin 43 4 Q Q r r a a         J ve e   2.4 一个半径为a的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度绕一个直径 旋转，求球表面的面电流密度。 解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 z 轴。设球面上任一点 P 的位置 矢量为r ，且r 与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为 a sin v re       球面的上电荷面密度为 2 4 Q a    故 2 sin sin 4 4 S Q Q a a a         J ve e   2.5 两点电荷 1 q  8C位于 z 轴上 z  4 处， 2 q  4C位于 y 轴上 y  4 处，求 (4,0,0)处的电场强度

新疆大学信息科学与工程学院 12 解电荷q在(4,0,0)处产生的电场为 E品 8,(42) 电荷4，在(4,0,0)处产生的电场为 E=4-5 1e4-e,4 476o r-r 8,(42 故(4,0,0)处的电场为 E=E+E=飞tg-e2 322πE 2.6一个半圆环上均匀分布线电荷P,求垂直于圆平面的轴线上：=a处的 电场强度E(0,0,a),设半圆环的半径也为a,如题2.6图所示。 解半圆环上的电荷元Pd'=p,ad在轴线上：=a处的电场强度为 d正-高dp- .-(e,cose,sind 8V√2π5 在半圆环上对上式积分，得到轴线上：=a处的电场强度 为 E0,0,a)=「dE= e.-(e,sing )d=pe-e,2) 8√2πea 题2.6图 2.7三根长度均为L,均匀带电荷密度分别为A、 P2和P地线电荷构成等边三角形。设Am=2A2=2Pa,计算三角形中心处的电场 强度。 解建立题27图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 d=2m30=5L 6 则 E化w06m0没e5+6 30, 趣2.7图 6=ew-gmr没=e5-g没 故等边三角形中心处的电场强度为 E=E+E+E= 30 te5-e 30. 2.8 点电荷+g位于(-a,0.0)处，另-点电荷-2g位于(a,0.0)处，空间有 没有电场强度E=0的点？ 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 12 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 电荷 1 q 在(4,0,0)处产生的电场为 1 1 1 3 3 0 0 1 2 4 4 4 (4 2) q x z          r r e e E r r 电荷 2 q 在(4,0,0)处产生的电场为 2 2 2 3 3 0 0 2 1 4 4 4 (4 2) q x y          r r e e E r r 故(4,0,0)处的电场为 1 2 0 2 32 2 x y z      eee EE E 2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷  l ，求垂直于圆平面的轴线上 z  a 处的 电场强度 E(0,0, ) a ，设半圆环的半径也为a，如题 2.6 图所示。 解 半圆环上的电荷元 d d l l  l a    在轴线上 z  a 处的电场强度为 3 0 d d 4 ( 2) l a a         r r E 0 ( cos sin ) d 8 2 l zx y a           ee e 在半圆环上对上式积分，得到轴线上 z  a 处的电场强度 为 (0,0, ) d a    E E 2 0 2 [ ( cos sin )]d 8 2 l zx y a                ee e 0 ( 2) 8 2 lz x a     e e  2.7 三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为l1、 l2和l3地线电荷构成等边三角形。设l1  2 2l  3 2l ，计算三角形中心处的电场 强度。 解 建立题 2.7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为 3 tan30 2 6 L d L   则 1 1 1 0 0 3 (cos30 cos150 ) 4 2 l l y y d L     Ee e     2 1 2 0 0 3 3 ( cos30 sin30 ) ( 3 ) 2 8 l l x y xy L L     Ee e e e       3 1 3 0 0 3 3 ( cos30 sin30 ) ( 3 ) 2 8 l l x y xy L L     Ee e e e      故等边三角形中心处的电场强度为 E  EEE 123 111 000 333 (3 ) (3 ) 288 lll y xy xy L L L       e ee ee    1 0 3 4 l y L   e 2.8 －点电荷q 位于( ,0,0) a 处，另－点电荷2q 位于( ,0,0) a 处，空间有 没有电场强度 E  0的点？     题 2.6 图 题 2.7 图

新疆大学信息科学与工程学院 -13 解电荷+g在（化，y,)处产生的电场为 g e,(x+a)+e,y+e.= 电荷-20在处产生的电场x++广+：丽 2g e,(x-a)+e,y+e: E,=4-a时+y+ (x,八，)处的电场则为E=E+E,。令E=0,则有 -9 [x-a+y2+-2] 由上式两端对应分量相等，可得到 (x+a)x-a)2+y2+z2]=2(x-a(x+a2+y2+z2]9 1 ix-a+广+：]=2x+a++: (x-a)2+y2+z2]=2(x+a2+y2+2]2 当y0或：≠0时，将式②或式@代入式，得a=0。所以，当)y≠0或 :≠0时无解 当y=0且：=0时，由式①，有 (x+a)(x-a)=2(x-a)(x+a) 解得 x=(-3±2√2)a 但x=-30+2W5a不合题意，故仅在(-30-2N5a.00)处电场强度E=0。 2.9一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为0。证明：垂直于平面 的：轴上：=处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为√5：，的圆内的电荷产 生的。 解半径为r、电荷线密度为B=σdr的带电细圆环在：轴上=o处的电场 强度为 rozodr dE-626) 故整个导电带电面在：轴上：=处的电场强度为 E-ejx,e2c4-e2 而半径为V3:,的圆内的电荷产生在：轴上：=处的电场强度 为 E-6 2.10 ,个半径为a的导体球带电荷量为Q,当球体以均 题210图 匀角速度o绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的 磁感应强度B。 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 13 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 电荷q 在(, ,) x y z 处产生的电场为 1 2 2 2 32 0 ( ) 4 [( ) ] x yz q x a yz  xa y z       e ee E 电荷2q 在(, ,) x y z 处产生的电场为 2 2 2 2 32 0 2 ( ) 4 [( ) ] x yz q x a yz  xa y z        e ee E (, ,) x y z 处的电场则为 E   E E 1 2 。令 E  0，则有 2 2 2 32 ( ) [( ) ] x yz x a yz xa y z      e ee 2 2 2 32 2[ ( ) ] [( ) ] x yz x a yz xa y z      e ee 由上式两端对应分量相等，可得到 2 2 2 32 2 2 2 32 ( )[( ) ] 2( )[( ) ] xa xa y z xa xa y z        ① 2 2 2 32 2 2 2 32 yx a y z yx a y z [( ) ] 2 [( ) ]      ② 2 2 2 32 2 2 2 32 zx a y z zx a y z [( ) ] 2 [( ) ]      ③ 当 y  0 或 z  0 时，将式②或式③代入式①，得a  0。所以，当 y  0 或 z  0 时无解； 当 y  0且 z  0时，由式①，有 3 3 ( )( ) 2( )( ) x     ax a x ax a 解得 x  ( 3 2 2)a 但 x   3 22 a a不合题意，故仅在( 3 2 2 ,0,0)   a a 处电场强度 E  0。 2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为 。证明：垂直于平面 的 z 轴上 0 z  z 处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为 3 0 z 的圆内的电荷产 生的。 解 半径为r 、电荷线密度为 d l   r 的带电细圆环在 z 轴上 0 z  z 处的电场 强度为 0 2 2 32 0 0 d d 2( ) z rz r r z     E e 故整个导电带电面在 z 轴上 0 z  z 处的电场强度为 0 0 2 2 32 2 2 12 0 00 0 0 0 0 d 1 2( ) 2 ( ) 2 zzz rz r z rz rz               Ee e e 而半径为 3 0 z 的圆内的电荷产生在 z 轴上 0 z  z 处的电场强度 为 0 0 3 3 0 0 2 2 32 2 2 12 0 00 0 0 0 0 d 1 1 2( ) 2 ( ) 4 2 z z zzz rz r z rz rz              E e e eE 2.10 一个半径为a的导体球带电荷量为Q ，当球体以均 匀角速度绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的 磁感应强度 B 。     题 2.10 图

新疆大学信息科学与工程学院 14 解球面上的电荷面密度为 当球体以均匀角速度o绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r=e,a点处的电流面 密度为 J、=op=owXr=oe.0Xea= o2sin日 将球面划分为无数个宽度为dl=ad0的细圆环，则球面上任一个宽度为 dl=ad8细圆环的电流为 d1=d1-sin0d0 4 细圆环的半径为b=asin0,圆环平面到球心的距离d=acos0,利用电流圆环的 油线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处岳生的磁场为 4b2d1 HooQa'sin'ad0 .Sald sin 0 cossin d0 8a 故整个球面电流在球心处产生的磁场为B=e4Osin0d0=e.么2 8πa 2.11两个半径为b、同轴的相同线圈，各有N匝，相互隔开距离为d,如 题211图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。 (1)求这两个线圈中心点处的磁感应强度B=e,B: (2)证明：在中点处dB/dx等于零； (3)求出b与d之间的关系，使中点处d2B,ax2也等于零 解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 B=e. a 2(a2+2)0 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 B=e W76 2)两线圈的电流在其轴线上x0<r<)处的磁味 (6 B=626+r西+26+d-r严 所以 0 3N7b2(d-x) 26+r)+ [b2+(d-x)2] 故在中点x=d2处，有 器 3uNIb d/2 3u NIb'd/2 0+d4+26+4=0 (3) dB.154,N7b2x2 34Nb2 避2.11图 dx= 46+x丽26+x+ 154NIb2(d-x)2 3tNIb? 26+(d-x226+(d-x)2 B引=0有 5d2/4 dx2 b2+d闪+d4=0 新疆大学信息科学与工程学院

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 14 ‐  新疆大学信息科学与工程学院 解 球面上的电荷面密度为 2 4 Q a    当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量 r r e  a 点处的电流面 密度为 S zr J v         ω ree a sin sin 4 Q a a       e e  将球面划分为无数个宽度为 d d l a   的细圆环，则球面上任一个宽度为 d d l a  细圆环的电流为 d d sin d 4 S Q IJl       细圆环的半径为b a  sin ，圆环平面到球心的距离d a  cos ，利用电流圆环的 轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为 2 0 2 2 32 d d 2( ) z b I b d     B e 2 3 0 2 2 2 2 32 sin d 8 ( sin cos ) z Qa a a        e 3 0 sin d 8 z Q a     e 故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3 0 0 0 sin d 8 6 z z Q Q a a            Be e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈，各有 N 匝，相互隔开距离为d ，如 题 2.11 图所示。电流 I 以相同的方向流过这两个线圈。 （1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度 B e  xBx ； （2）证明：在中点处d d Bx x等于零； （3）求出b 与d 之间的关系，使中点处 2 2 d B d x x 也等于零。 解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2 0 2 2 32 2( ) z Ia a z    B e 得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2 0 2 2 32 ( 4) x NIb b d    B e （2）两线圈的电流在其轴线上 x (0  x  d)处的磁感应强度为 2 2 0 0 2 2 32 2 2 32 2( ) 2[ ( ) ] x NIb NIb b x b dx             B e 所以 2 2 0 0 2 2 52 2 2 52 d 3 3 () d 2( ) 2[ ( ) ] Bx NIb x NIb d x x b x b dx        故在中点 x  d 2 处，有 2 2 0 0 2 2 52 2 2 52 d 3 23 2 0 d 2[ 4] 2[ 4] B NIb d NIb d x x bd bd        （3） 2 22 2 0 0 2 2 2 72 2 2 52 d 15 3 d 2( ) 2( ) B NIb x NIb x x bx bx        22 2 0 0 2 2 72 2 2 52 15 ( ) 3 2[ ( ) ] 2[ ( ) ] NIb d x NIb b dx b dx       令 0 d d 2 2 2 xd  x x B ，有 0 [ 4] 1 [ 4] 5 4 2 2 7 2 2 2 5 2 2    b  d b d d     题 2.11 图

新疆大学信息科学与工程学院 -15 5d2/4=b2+d24 故解得 d=b 2.12一条扁 平的直导体带，宽为2a,中 心线与：轴重合，通 过的电流为1。证明在第 象限内的磁感应强 度为 8品。 式中a、r和5如题2.12图 所示 解将导体带 划分为无数个宽度为dx的 细条带，每一细条 题2.12图 带的电流d=了dr。由安 培环路定理，可得 位于x处的细条带的电流 d在点P(x,y)处的磁场为 d B= =4/dx' Holdx' 2πR4IaR =4πa0x-xy+y2]y 则dB,=-d Bsin= Lolydx' 4πd(x-x2+y2] dB,=dBcos0= u(x-x)dx 4πalx-x+y] 所以 B=- uolydx' 4xal(x-x)+y] aacan/rx I 、y儿 1 y x-a 4。a,-a)=-4raa -名-+r北 品n任旷号岩n兵 tol (x+a)+y 2.13如题2.13图所示，有一个电矩为乃的电偶极子，位于坐标原点上，另 一个电矩为乃的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。试证明两偶极子之间相互 作用力为 式中日=<r,A>,A=<r,P>,中是两个平面C,P)和心，B)间的夹角。 并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解电偶极子P在矢径为"的点上产生的电场为 新疆大学信息科学与工程学院 213图

新疆大学信息科学与工程学院 ‐ 15 ‐  新疆大学信息科学与工程学院     题 2.13 图 即 5 4 4 2 2 2 d  b  d 故解得 d  b 2.12 一 条 扁 平的直导体带，宽为2a，中 心线与 z 轴重合，通 过的电流为 I 。证明在第一 象限内的磁感应强 度 为 0 4 x I B a      ， 0 2 1 ln 4 y I r B a r    式中、 1r 和 2r 如题 2.12 图 所示。 解 将导体带 划分为无数个宽度为d x 的 细条带，每一细条 带的电流 x a I I  d  2 d 。由安 培环路定理，可得 位于 x 处的细条带的电流 dI 在点 P(x, y) 处的磁场为 0 0 d d d 2 4 I I x B R aR        0 2 2 12 d 4 [( ) ] I x ax x y       则 0 2 2 d d d sin 4 [( ) ] x Iy x B B ax x y          0 2 2 ( )d d d cos 4 [( ) ] y I xx x B B ax x y            所以 0 2 2 d 4 [( ) ] a x a Iy x B ax x y           0 arctan 4 a a I x x a y              0 arctan arctan 4 I ax ax ay y                      0 arctan arctan 4 I xa xa ay y                   0 2 1 ( ) 4 I a       0 4 I a     0 2 2 ( )d 4 [( ) ] a y a Ix x x B ax x y             0 2 2 ln[( ) ] 8 a a I xx y a        2 2 0 2 2 ( ) ln 8 () I x a y a xa y        0 2 1 ln 4 I r a r   2.13 如题 2.13 图所示，有一个电矩为 1 p 的电偶极子，位于坐标原点上，另 一个电矩为 2 p 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互 作用力为 1 2 4 12 1 2 0 3 (sin sin cos 2cos cos ) 4 r p p F r        式中 1 1    r p, ， 2 2    r p, ， 是两个平面 1 (, ) r p 和 2 (, ) r p 间的夹角。 并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？ 解 电偶极子 1 p 在矢径为r 的点上产生的电场为     题 2.12 图