混合时变时滞神经网络的状态估计器设计

D0L:10.13374.issn1001-053x.2012.07.019 第34卷第7期 北京科技大学学报 Vol.34 No.7 2012年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jul.2012 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 张 蕾”四刘贺平) 王健安》 1)上海海洋大学信息学院，上海2013062)北京科技大学自动化学院，北京1000833)太原科技大学电子信息工程学院，太原030024 ☒通信作者，E-mail:Izhang(@shou.edu.cn 摘要研究了混合时变时滞（离散时滞和分布时滞）神经网络的状态估计问题。离散时滞在一个区间上变化，区间下界不 一定为零.通过构造一个新的Lyapunov泛函，结合Jensen积分不等式，可以得到一个时滞相关状态估计器设计方法，使得误 差系统是全局渐近稳定的，所得结果由线性矩阵不等式形式给出.数值算例证明了本文方法的有效性和优越性. 关键词状态估计：时变网络：时滞：神经网络：线性矩阵不等式(LM):yapunov函数 分类号TP273 Design of state estimators for neural networks with mixed time-varying delays ZHANG Lei☒，U He-ping》,WANG Jian--an》 1)College of Information Technology,Shanghai Ocean University,Shanghai 201306,China 2)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 3)School of Electronics Information Engineering,Taiyuan University of Science and Technology,Taiyuan 030024,China Corresponding author,E-mail:Izhang@shou.edu.cn ABSTRACT The state estimation problem was studied for neural networks with mixed discrete and distributed time-varying delays as well as general activation functions.The discrete time-varying delay varies in an interval,where the lower bound is not fixed to be zero. Defining a novel Lyapunov functional and using the Jensen integral inequality,a delay-interval-dependent criterion is provided to design a state estimator through available output measurements in terms of a linear matrix inequality (LMI),such that the error-state system is globally asymptotically stable.A numerical example was given to illustrate that this result is more effective and less conservative than some existing ones KEY WORDS state estimation:time-varying networks;delays:neural networks;linear matrix inequalities:Lyapunov functions 近年来，神经网络引起了众多学者的关注，原因 等式形式给出的，但不是线性矩阵不等式.文献9一 在于神经网络在各方面的广泛应用，如信号处理、模 12]研究了混合时滞神经网络的状态估计问题：文 式识别、静态图像处理和最优化问题方面习.在其 献9]是常数时滞：文献01一12]虽是时变时滞，但 信息存储和传输过程中不可避免地会产生时滞，因 离散时滞要求可微且下界为零：文献0]利用自由 此时滞神经网络的稳定性问题受到了广大学者的关 权矩阵方法研究了混合时变时滞神经网络的状态估 注B.然而，通常情况下，神经元的状态在实际应 计问题.但是，过多自由权矩阵的引入势必会增加 用中并不能全部获得，因此神经网络的状态估计问 决策变量的个数，使得结果过于烦琐繁琐.因此，文 题就变得非常必要.2005年，文献7]首次提出时 献0]的结果还有进一步改进的空间. 滞神经网络的状态估计问题，该问题迅速成为了研 本文研究了具有时变离散时滞和分布时滞的神 究热点并取得一定的成果-口 经网络状态估计器设计问题.离散时滞在一个下界 文献]研究的是时变时滞神经网络的时滞无 不一定为零的区间内变化.通过定义新的Lyapunov 关的状态估计问题.文献8]研究了时滞神经网络 泛函，结合Jensen积分不等式，得到误差系统全局 的时滞相关状态估计问题，得到的结果是以矩阵不 渐近稳定的时滞相关稳定性判据，并且可获得系统 收稿日期：201105-20 基金项目：上海海洋大学博士启动基金项目(A-2400-110213)

第 34 卷 第 7 期 2012 年 7 月 北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol． 34 No． 7 Jul． 2012 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 张 蕾1) 刘贺平2) 王健安3) 1) 上海海洋大学信息学院，上海 201306 2) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 3) 太原科技大学电子信息工程学院，太原 030024 通信作者，E-mail: lzhang@ shou． edu． cn 摘 要 研究了混合时变时滞( 离散时滞和分布时滞) 神经网络的状态估计问题． 离散时滞在一个区间上变化，区间下界不 一定为零． 通过构造一个新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，可以得到一个时滞相关状态估计器设计方法，使得误 差系统是全局渐近稳定的，所得结果由线性矩阵不等式形式给出． 数值算例证明了本文方法的有效性和优越性． 关键词 状态估计; 时变网络; 时滞; 神经网络; 线性矩阵不等式( LMI) ; Lyapunov 函数 分类号 TP273 Design of state estimators for neural networks with mixed time-varying delays ZHANG Lei 1) ，LIU He-ping2) ，WANG Jian-an3) 1) College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China 2) School of Automation and Electrical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 3) School of Electronics Information Engineering，Taiyuan University of Science and Technology，Taiyuan 030024，China Corresponding author，E-mail: lzhang@ shou． edu． cn ABSTRACT The state estimation problem was studied for neural networks with mixed discrete and distributed time-varying delays as well as general activation functions． The discrete time-varying delay varies in an interval，where the lower bound is not fixed to be zero． Defining a novel Lyapunov functional and using the Jensen integral inequality，a delay-interval-dependent criterion is provided to design a state estimator through available output measurements in terms of a linear matrix inequality ( LMI) ，such that the error-state system is globally asymptotically stable． A numerical example was given to illustrate that this result is more effective and less conservative than some existing ones． KEY WORDS state estimation; time-varying networks; delays; neural networks; linear matrix inequalities; Lyapunov functions 收稿日期: 2011--05--20 基金项目: 上海海洋大学博士启动基金项目( A--2400--11--0213) 近年来，神经网络引起了众多学者的关注，原因 在于神经网络在各方面的广泛应用，如信号处理、模 式识别、静态图像处理和最优化问题方面［1--2］． 在其 信息存储和传输过程中不可避免地会产生时滞，因 此时滞神经网络的稳定性问题受到了广大学者的关 注［3--6］． 然而，通常情况下，神经元的状态在实际应 用中并不能全部获得，因此神经网络的状态估计问 题就变得非常必要． 2005 年，文献［7］首次提出时 滞神经网络的状态估计问题，该问题迅速成为了研 究热点并取得一定的成果［7--12］． 文献［7］研究的是时变时滞神经网络的时滞无 关的状态估计问题． 文献［8］研究了时滞神经网络 的时滞相关状态估计问题，得到的结果是以矩阵不 等式形式给出的，但不是线性矩阵不等式． 文献［9-- 12］研究了混合时滞神经网络的状态估计问题: 文 献［9］是常数时滞; 文献［11--12］虽是时变时滞，但 离散时滞要求可微且下界为零; 文献［10］利用自由 权矩阵方法研究了混合时变时滞神经网络的状态估 计问题． 但是，过多自由权矩阵的引入势必会增加 决策变量的个数，使得结果过于烦琐繁琐． 因此，文 献［10］的结果还有进一步改进的空间． 本文研究了具有时变离散时滞和分布时滞的神 经网络状态估计器设计问题． 离散时滞在一个下界 不一定为零的区间内变化． 通过定义新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，得到误差系统全局 渐近稳定的时滞相关稳定性判据，并且可获得系统 DOI:10.13374/j.issn1001-053x.2012.07.019

·848 北京科技大学学报 第34卷 状态估计器的设计方法.所得结果完全由线性矩阵 Hs1,S2∈R (6) 不等式(LM)给出.数值算例可以表明本文的方法 其中，y和y为已知常数. 比文献0]具有优越性. 全维状态估计器具有如下形式： A 本文中，A<0表示A为负定矩阵：￥B表 x(t)=-Ar(）+Bog(E(t）)+Bg(c(t- A C] 示对称矩阵 ,Am(A)表示对称矩阵A的最 r0)+ang6i6)+ CT B K(y(t)-C(t)-Df(t,(t))). (7) 大特征值 其中，x(t)神经网络状态估计，K∈R"xm为设计的估 1问题描述 计器增益矩阵 定义误差状态为： 考虑如下时滞不确定离散时间系统 e(t）=x(t)-r(t). (8) i(t)=-Ax(t)+Bog(x(t))+B:g(x(t- 从而，由式(1)、(5)和(7)可得误差状态系统为 r0)）+B:a&x()ds+J (1) e(t)=-(A+KC)e(t)+B。b(t)+B1中(t- 式中：x(t)=x,(t),x2(t),,xn(0]T∈R”为含 @）+Bu)t-Dw0. (9) 有n个神经元的状态向量；对角矩阵A=diag{a1, 其中，中(t)=g(x(t))-g(c(t),业(t)=f(t, a2,…,an}为状态反馈系数矩阵，其中a>0:矩阵 x(t))-f(t,c(t)). B。、B,和B2分别代表连接权矩阵、离散时滞连接权 引理1n)(Jensen积分不等式)对于任意正 矩阵和分布时滞连接权矩阵：J=(J1,J2,…,J)T是 定矩阵M∈R"“,标量0≤I1≤2和向量函数：1， 外部输入8(x(t))=g1(x,(t),g2(x2(t)),…, r2]→R”,则有下列不等式成立： gn(x.())]T为激活函数：r(t)和σ(t)分别为离散 时变时滞和分布时变时滞，并满足 ((ods)'M(ro)ds)s 0≤Tm≤r(t)≤TM (2) 0≤c(t)≤w (3) -小rM因 其中TmTM和M均为常数 引理2对于0≤B≤1，任意的常数矩阵X1、X2 假设1对任意的i∈{1,2，…，n},激活函数 和△，则不等式 8,(·)满足如下条件： r4+X<0 E≤8s）-8≤I,s,R(④) 4+X2<0 S1-S2 等价于 其中，I和为己知常数矩阵 A+BX,+(1-B)X2<0. 注1这里和1可取为正数、负数或者零 2 估计器设计 显然，g:（·)是全局Lipschitz连续的.激活函数可以 是非单调的，比常见的双曲函数和一般Lipschitz条 方便起见，本文定义 件更具有一般性.同时，激活函数可以是非可微和 Σ1=diag{ll,l2l5,…,lln}, 无界的. 本文的目的是根据已知的网络输出设计一个有 5} Σ2=diag2’ 效的估计器来观察神经元的状态.因此，假设测量 E3=diag(viv,vv,vv, 输出为 y(t)=Cx(t)+Df(t,x(t)). (5) 玉d,哈2 其中，y(k)∈Rm是测量输出，C∈Rxm,D∈Rmxm为 定理1如果存在矩阵R,正定矩阵P>0,Q1> 适维的常数矩阵.∫：R×R”→R"是加在网络输出端 0,Q2>0,Q3>0,>0,T>0,正定对角矩阵U> 的与神经网络有关的非线性扰动，并满足(=1,2， 0,V>0,W>0,使得如下线性矩阵不等式成立： …,m) ΦTmH1TH1 ≤ss）-fxs) T-2P0 <0,i=1,2. (10) x(s1)-x(s2) ≤y, S-2P」

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 状态估计器的设计方法． 所得结果完全由线性矩阵 不等式( LMI) 给出． 数值算例可以表明本文的方法 比文献［10］具有优越性． 本文中，A ＜ 0 表示 A 为负定矩阵; A C *[ ] B 表 示对称矩阵 A C C[ ] T B ，λmax ( A) 表示对称矩阵 A 的最 大特征值． 1 问题描述 考虑如下时滞不确定离散时间系统 x ·( t) = － Ax( t) + B0 g( x( t) ) + B1 g( x( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x( s) ) ds + J． ( 1) 式中: x ( t) = ［x1 ( t) ，x2 ( t) ，…，xn ( t) ］T ∈Rn 为含 有 n 个神经元的状态向量; 对角矩阵 A = diag{ a1， a2，…，an } 为状态反馈系数矩阵，其中 ai ＞ 0; 矩阵 B0、B1 和 B2 分别代表连接权矩阵、离散时滞连接权 矩阵和分布时滞连接权矩阵; J = ( J1，J2，…，Jn ) T 是 外部输入; g( x( t) ) =［g1 ( x1 ( t) ) ，g2 ( x2 ( t) ) ，…， gn ( xn ( t) ) ］T 为激活函数; τ( t) 和 σ( t) 分别为离散 时变时滞和分布时变时滞，并满足 0≤τm≤τ( t) ≤τM， ( 2) 0≤σ( t) ≤σM ． ( 3) 其中 τm、τM 和 σM 均为常数． 假设 1 对任意的 i∈{ 1，2，…，n} ，激活函数 gi (·) 满足如下条件: l － i ≤gi ( s1 ) － gi ( s2 ) s1 － s2 ≤l + i ，s1，s2∈R． ( 4) 其中，l － i 和 l + i 为已知常数矩阵． 注 1 这里 l － i 和 l + i 可取为正数、负数或者零． 显然，gi (·) 是全局 Lipschitz 连续的． 激活函数可以 是非单调的，比常见的双曲函数和一般 Lipschitz 条 件更具有一般性． 同时，激活函数可以是非可微和 无界的． 本文的目的是根据已知的网络输出设计一个有 效的估计器来观察神经元的状态． 因此，假设测量 输出为 y( t) = Cx( t) + Df( t，x( t) ) ． ( 5) 其中，y( k) ∈Rm 是测量输出，C∈Rm × n ，D∈Rm × m为 适维的常数矩阵． f: R × Rn →Rm 是加在网络输出端 的与神经网络有关的非线性扰动，并满足( j = 1，2， …，m) ν － j ≤fj ( s1，x( s1 ) ) － fj ( s2，x( s2 ) ) x( s1 ) － x( s2 ) ≤ν + j ， s1，s2∈R． ( 6) 其中，ν － j 和 ν + j 为已知常数． 全维状态估计器具有如下形式: x^ · ( t) = － Ax^( t) + B0 g( x^( t) ) + B1 g( x^( t － τ( t) ) ) + B2 ∫ t t－σ( t) g( x^( s) ) ds + J + K( y( t) － Cx^( t) － Df( t，x^( t) ) ) ． ( 7) 其中，x^( t) 神经网络状态估计，K∈Rn × m为设计的估 计器增益矩阵． 定义误差状态为: e( t) = x( t) － x^( t) ． ( 8) 从而，由式( 1) 、( 5) 和( 7) 可得误差状态系统为 e ·( t) = － ( A + KC) e( t) + B0( t) + B1( t － τ( t) ) + B2 ∫ t t－σ( t) ( s) ds － KDψ( t) ． ( 9) 其中，( t) = g ( x ( t) ) － g ( x^ ( t) ) ，ψ( t) = f( t， x( t) ) － f( t，x^( t) ) ． 引理 1 ［13］( Jensen 积分不等式) 对于任意正 定矩阵 M∈Rn × n ，标量 0≤r1≤r2 和向量函数 v: ［r1， r2］→Rn ，则有下列不等式成立 ( : ∫ r2 r1 v( s) d ) s T M ( ∫ r2 r1 v( s) d ) s ≤ ( r2 － r1 ) ∫ r2 r1 vT ( s) Mv( s) ds． 引理 2 对于 0≤β≤1，任意的常数矩阵 X1、X2 和 Δ，则不等式 Δ + X1 ＜ 0 {Δ + X2 ＜ 0 等价于 Δ + βX1 + ( 1 － β) X2 ＜ 0． 2 估计器设计 方便起见，本文定义 Σ1 = diag{ l + 1 l － 1 ，l + 2 l － 2 ，…，l + n l － n } ， Σ2 = diag { l + 1 + l － 1 2 ， l + 2 + l － 2 2 ，…， l + n + l － n } 2 ， Σ3 = diag{ ν + 1 ν － 1 ，ν + 2 ν － 2 ，…，ν + n ν － n } ， Σ4 = diag { ν + 1 + ν － 1 2 ， ν + 2 + ν － 2 2 ，…， ν + n + ν － n } 2 ． 定理1 如果存在矩阵 R，正定矩阵 P ＞ 0，Q1 ＞ 0，Q2 ＞ 0，Q3 ＞ 0，S ＞ 0，T ＞ 0，正定对角矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0，W ＞ 0，使得如下线性矩阵不等式成立: Φi τmH1 τH1 * T － 2P 0 ＊ ＊ S － 2        P ＜ 0，i = 1，2． ( 10) ·848·

第7期 张蕾等：混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 ·849· 其中， -7i()se(a)ds= Φ=Φ-0100000-刀T. S0100000-], -(rM-r(t)) e"(s)se(s)ds- -TM Φ2=Φ-0-1000010]T. S0-1000010], (x-7(t)) (s)se(s)ds- H=[-(PA+RC)0 PBo PB PB2 ((t)-T) (--( eT(s)Se (s)ds- -RD00]T, 且 (r(t)-r faerosewa (14) P11 0 3 PB PB2 916T 01 0 V 0 0 SS 令B=0-工，则有 TM -Tm P33 0 0 0 0 0 -(x(t)-rm) eT(s)Se(s)ds≤ -V 0 0 J:-TM = 0 -03 0 0 0 -B(-r0)e T(s)se(s)ds,(15) -W0 0 J1-TM Pn 0 -(ru-70)er()s)ds≤-1- 1-() (16) =-PA-AP-RC-CTRT+0+ a0-Jawsu 另一方面，由式(4)与(6)，可以得到以下不 Q-T-EU-W, 等式： P13=PB。+U,P6=-RD+W, [b.(t)-l,e,()]r[w.(t)-le,()]≤0， 2=-2S-V,p33=i03-U, i=1,2,…,n; on=-01-T-S,9ss =-02-S,T=TM-Tm w,(d-ye,(0]rw,()-e,()]≤0， 则误差状态系统(9)是全局渐近稳定的，且估 j=1,2,…,m. 计器增益矩阵为 从而，对于正定矩阵U>0,V>0及W>0,有 K=P-R. 证明定义一个Lyapunov泛函为 =eo1' U· -3,U 10. V(t)=e"(t)Pe(t)+[e"(s)Qe(s)ds+ (17) 「e(s)g,e(s)ds+ C2= J:-TM EV ->V]re(t-7(t))] ..de ≤0， (18) (dudto a-0l-I801sa (11) (19) 由引理1可知， 综合考虑式(10)~(19)，可得 -GM 中(s)Q3b(s)ds≤ 7(t）≤7(t)-a1-a2-= -(fnwds)'0.(fobb 专()B,+(1-B)重+H(r2T+r2S)H门(t). (20) (12) 其中，、Φ如式(10)所示，且 -r.eg0ts≤ H=[-(A+KC)0B。B1B2 -D00], -(e(t)-e(t-T))'T(e(t)-e(t-T)), (13) 5)=e'()e'(t-r(d)b(0b(t-r()

第 7 期 张 蕾等: 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 其中， Φ1 = Φ －［0 I 0 0 0 0 0 － I］T · S［0 I 0 0 0 0 0 － I］， Φ2 = Φ －［0 － I 0 0 0 0 I 0］T · S［0 － I 0 0 0 0 I 0］， H1 =［－ ( PA + RC) 0 PB0 PB1 PB2 － RD 0 0］T ， 且 Φ = φ11 0 φ13 PB1 PB2 φ16 T 0 * φ22 0 Σ2V 0 0 S S ＊ ＊ φ33 0 0 0 0 0 ＊ ＊ ＊ －V 0 0 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ － Q3 0 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ － W 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ φ77 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ φ                          88  ， φ11 = － PA － AT P － RC － CT RT + Q1 + Q2 － T － Σ1U － Σ3W， φ13 = PB0 + Σ2U，φ16 = － RD + Σ4W， φ22 = － 2S － Σ1V，φ33 = σ2 M Q3 － U， φ77 = － Q1 － T － S，φ88 = － Q2 － S，τ = τM － τm ． 则误差状态系统( 9) 是全局渐近稳定的，且估 计器增益矩阵为 K = P － 1 R． 证明 定义一个 Lyapunov 泛函为 V( t) = eT ( t) Pe( t) + ∫ t t－τm eT ( s) Q1 e( s) ds + ∫ t t－τM eT ( s) Q2 e( s) ds + σM ∫ 0 －σM ∫ t t+θ T ( s) Q3( s) dsdθ + τm ∫ 0 －τm ∫ t t+θ e ·T ( s) Te ·( s) dsdθ + τ ∫ －τm －τM ∫ t t+θ e ·T ( s) Se ·( s) dsdθ． ( 11) 由引理 1 可知， － σM ∫ t t－σM T ( s) Q3( s) ds≤ － ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s T Q3 ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s ， ( 12) － τm ∫ t t－τm e ·T ( s) Te ·( s) ds≤ － ( e( t) － e( t － τm ) ) T T( e( t) － e( t － τm ) ) ， ( 13) － τ ∫ t－τm t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds = － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τ( t) － τm ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds － ( τ( t) － τm ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds． ( 14) 令 β = τ( t) － τm τM － τm ，则有 － ( τ( t) － τm ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds≤ － β( τM － τ( t) ) ∫ t－τ( t) t－τM e ·T ( s) Se ·( s) ds， ( 15) － ( τM － τ( t) ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds≤ － ( 1 － β) ( τ( t) － τm ) ∫ t－τm t－τ( t) e ·T ( s) Se ·( s) ds． ( 16) 另一方面，由式( 4) 与( 6) ，可以得到以下不 等式: ［i ( t) － l － i ei ( t) ］T ［i ( t) － l + i ei ( t) ］≤0， i = 1，2，…，n; ［ψj ( t) － ν － j ej ( t) ］T ［ψj ( t) － ν + j ej ( t) ］≤0， j = 1，2，…，m． 从而，对于正定矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0 及 W ＞ 0，有 α1 = e( t) ( t [ ] ) T Σ1U － Σ2U － Σ2 [ ] U U e( t) ( t [ ] ) ≤0， ( 17) α2 = e( t － τ( t) ) ( t － τ( t [ ] ) ) T Σ1V － Σ2V － Σ2 [ ] V V e( t － τ( t) ) ( t － τ( t [ ] ) ) ≤0， ( 18) α3 = e( t) ψ( t [ ] ) T Σ3W － Σ4W － Σ4 [ ] W W e( t) ψ( t [ ] ) ≤0． ( 19) 综合考虑式( 10) ～ ( 19) ，可得 V · ( t) ≤V · ( t) － α1 － α2 － α3 = ξT ( t) ［βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ］ξ( t) ． ( 20) 其中，Φ1、Φ2 如式( 10) 所示，且 H =［－ ( A + KC) 0 B0 B1 B2 － KD 0 0］T ， ξ( t) = [ eT ( t) eT ( t － τ( t) ) T ( t) T ( t － τ( t) )· ·849·

·850· 北京科技大学学报 第34卷 (n)d）'w0eu-r)ee-)] ()=-A()+Bg(c()+Bg((t- 如果B项，+(1-B)重，+H(x2T+r2S)H<0, T(t)))+J+K(y(t)-C(t)-Df(t,(t))). (27) 则一定存在一个标量p<0,使得 由式(26)和式(27)，可以得到误差状态系统 (t)≤pIe(t)I2<0, e(t)=-(A+KC)e(ti)+Bo中(t)+B,中(t- 其中，p=AmsBΦ1+(（1-B)D2+H(rT+r2S) T (t))-KDs (t). (28) H门.从而，利用Lyapunov稳定性理论可得误差状 显然，e(t)在[-TM,0]上是有界的，并且连续可微. 态系统(9)是全局渐近稳定的. 可以得到误差系统(28)的稳定性条件. 接下来，证明B@,+(1-B)重，+H(2T+r2S) 推论1如果存在矩阵R,正定矩阵P>0,Q1> H<0. 0,Q2>0,S>0,T>0,正定对角矩阵U>0,V>0, 利用引理2，可得BΦ，+(1-B)2+H(T+ W>0,使得下列线性矩阵不等式成立： r2S)H<0等价于 ΨTmH2H21 rΦ+H(T2T+T2S)H<0, (21) T-2P 0 <0,(i=1,2). +H(r2T+r2S)H<0. *S-2P 由Schur补引理可以得到式(21)等价于 其中， 「Φ：T.H TH1 Ψ1=亚-D10000-刀T. -T0 <0 (i=1,2). (22) S010000-1], L* -SJ Ψ3=Ψ-0-100010]T. 在式(22)两边分别左乘diag{1,PT-1,PS-}和右乘 S0-100010], diag{I,T-P,S-1P},并利用变量转换K=P-R, H2=[-(PA+RC)0PB。PB1 可得 -RD00]T, T H TH, 且 -PT-P 0 <0 (i=1,2) P11 0 PB 16 T 01 火 -PS-P 22 0 V 0 S (23) -U 0 0 0 0 显然，由于非线性项-PT-1P和-PS-P的存在， 亚= -V 0 0 0 不等式(23)不是一个线性矩阵不等式. -W0 0 由不等式(X-Y)TY-1(X-Y)≥0，可以得到 P 0 PT-1P≥2P-T, (24) PS-P≥2P-S. (25) P11P1、16、P22mP和T如式(10)所示.则误 综合考虑式(23)~(25)，结合式(10)可知式(23) 差状态系统(26)是全局渐近稳定的，且估计器增益 成立.从而，βΦ+(1-β)重+H(T+2S)H< 矩阵为K=P-R 0.因此，误差状态系统(9)是全局渐近稳定的. 注2定理1中的所有矩阵变量都来自于构造 3数值算例 的Lyapunov泛函，没有额外引进自由权矩阵.定理1 考虑具有如下参数的误差系统 包含4n2+6n个决策变量，文献0]中包含22n2+6n 个.因此，定理1大大降低了运算量.并且在估计 V(t)时，通过定义参数B,得到一个更紧的V(t) 0.10.21 r0.40.11 上界. B:= 0.2 -0.1B=0.20.4 当σ(t)=0时，时滞神经网络(1)即为下列 25-0or小c=n-69 2sint +0.03t2 系统： x(t）=-Ax(t)+Bg(x(t)）+Bg(x(t- 选取离散时变时滞为r(t)=0.2+Isintl,分布 r(t)))+J. (26) 时变时滞为σ(t)=0.1 IcostI,从而可以得到Tm= 全维状态估计器为 0.2,TM=1.2,M=0.5.激活函数取为g(x)=0.2

北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 ( ∫ t t－σ( t) ( s) d ) s T ψT ( t) eT ( t － τm) eT ( t － τM ] ) T ． 如果 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0， 则一定存在一个标量 ρ ＜ 0，使得 V · ( t) ≤ρ ‖e( t) ‖2 ＜ 0， 其中，ρ = λmax［βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ］． 从而，利用 Lyapunov 稳定性理论可得误差状 态系统( 9) 是全局渐近稳定的． 接下来，证明 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0． 利用引理 2，可得 βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0 等价于 Φ1 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0， Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT { ＜ 0． ( 21) 由 Schur 补引理可以得到式( 21) 等价于 Φi τmH τH * － T 0 ＊ ＊ －        S ＜ 0 ( i = 1，2) ． ( 22) 在式( 22) 两边分别左乘 diag{ I，PT － 1 ，PS － 1 } 和右乘 diag{ I，T － 1 P，S － 1 P} ，并利用变量转换 K = P － 1 R， 可得 Φi τmH1 τH1 * － PT － 1 P 0 ＊ ＊ － PS － 1        P ＜ 0 ( i = 1，2) ( 23) 显然，由于非线性项 － PT － 1 P 和 － PS － 1 P 的存在， 不等式( 23) 不是一个线性矩阵不等式． 由不等式( X － Y) T Y － 1 ( X － Y) ≥0，可以得到 PT － 1 P≥2P － T， ( 24) PS － 1 P≥2P － S． ( 25) 综合考虑式( 23) ～ ( 25) ，结合式( 10) 可知式( 23) 成立． 从而，βΦ1 + ( 1 － β) Φ2 + H( τ 2 m T + τ 2 S) HT ＜ 0． 因此，误差状态系统( 9) 是全局渐近稳定的． 注 2 定理 1 中的所有矩阵变量都来自于构造 的 Lyapunov 泛函，没有额外引进自由权矩阵． 定理 1 包含4n2 +6n 个决策变量，文献［10］中包含 22n2 + 6n 个． 因此，定理 1 大大降低了运算量． 并且在估计 V · ( t) 时，通过定义参数 β，得到一个更紧的 V · ( t) 上界． 当 σ( t) = 0 时，时滞神经网络( 1) 即为下列 系统: x ·( t) = － Ax( t) + B0 g( x( t) ) + B1 g( x( t － τ( t) ) ) + J． ( 26) 全维状态估计器为 x^ · ( t) = － Ax^( t) + B0 g( x^( t) ) + B1 g( x^( t － τ( t) ) ) + J + K( y( t) － Cx^( t) － Df( t，x^( t) ) ) ． ( 27) 由式( 26) 和式( 27) ，可以得到误差状态系统 e ·( t) = － ( A + KC) e( t) + B0( t) + B1( t － τ( t) ) － KDψ( t) ． ( 28) 显然，e( t) 在［－ τM，0］上是有界的，并且连续可微． 可以得到误差系统( 28) 的稳定性条件． 推论1 如果存在矩阵 R，正定矩阵 P ＞ 0，Q1 ＞ 0，Q2 ＞ 0，S ＞ 0，T ＞ 0，正定对角矩阵 U ＞ 0，V ＞ 0， W ＞ 0，使得下列线性矩阵不等式成立: Ψi τmH2 τH2 * T － 2P 0 ＊ ＊ S － 2        P ＜ 0， ( i = 1，2) ． 其中， Ψ1 = Ψ －［0 I 0 0 0 0 － I］T · S［0 I 0 0 0 0 － I］， Ψ2 = Ψ －［0 － I 0 0 0 I 0］T · S［0 － I 0 0 0 I 0］， H2 =［－ ( PA + RC) 0 PB0 PB1 － RD 0 0］T ， 且 Ψ = φ11 0 φ13 PB1 φ16 T 0 * φ22 0 Σ2V 0 S S ＊ ＊ － U 0 0 0 0 ＊ ＊ ＊ － V 0 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ － W 0 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ φ77 0 ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ φ                       88 ， φ11、φ13、φ16、φ22、φ77、φ88和 τ 如式( 10) 所示． 则误 差状态系统( 26) 是全局渐近稳定的，且估计器增益 矩阵为 K = P － 1 R． 3 数值算例 考虑具有如下参数的误差系统 A = 4 0 [ ] 0 5 ，B0 = 0. 2 － 0. 1 [ ] 0. 1 0. 4 ， B1 = 0. 1 0. 2 [ ] 0. 2 － 0. 1 ，B2 = 0. 4 0. 1 [ ] 0. 2 0. 4 ， J = 2sint + 0. 03t 2 2cos( 1. 5t) － 0. 03t [ ] 2 ，C = D = 1 0 [ ] 0 1 ． 选取离散时变时滞为 τ( t) = 0. 2 + | sint |，分布 时变时滞为 σ( t) = 0. 1 | cost |，从而可以得到 τm = 0. 2，τM = 1. 2，σM = 0. 5． 激活函数取为 g( x) = 0. 2 ·850·

第7期 张蕾等：混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 ·851· x+11+1x-1I],非线性干扰取为f(t,x(t))= 1.0 一x的真实值 0.1cosr(t)+0.3.因此，可以得到 0.8片 一-文就101的结果 028小0 0 ·本文结果 1 0.6 -0.05 0.4 01 0.2 显然，lsit|在t=kπ(k=0,±1，±2，…)时不 可微，因此文献1-12]中的判据不能求解此状态 0.2 估计问题.利用Matlab的LMl工具箱，可以求解定 0.46 12345678910 理1得到 P=20.8384 -0.32621 图1状态真实值()和估计值()的响应曲线 1-0.3262 15.4626J Fig.1 Response curves of the true state x (t)and its estimation (） 10.4011 -0.17991 Q1= 1-0.1799 7.4702' 0=12.2961 1.0 -0.21441 0.8 一，的真实值 -0.2144 8.7461 0.6 --文献10的结果 ·本文结果 r35.76171.81911 0.4 Q3= 1.8191 33.6083 14.8976 -0.16361 T= -0.2 -0.1636 12.4536' -0.4 6.2605 -0.10631 -0.6 S= 【-0.1063 4.3965J -0.81234567890 -36.7922 R= 0.92661 0.5031 -38.6052 图2状态真实值x2()和估计值()的响应曲线 U= r33.7099 Fig.2 Response curves of the true state x2(t)and its estimation 01 32.2146 2() V=22.9655 01 等式形式给出.数值算例证明了本文设计方法的有 0 19.9233 效性和优越性. W=68.4948 0 0 83.6090' 参考文献 且状态估计增益矩阵为 [1]Liu Y R,Wang Z D,Liu X H.Global exponential stability of gen- -1.7657 0.00541 eralized recurrent neural networks with discrete and distributed de- K= lays.Neural Nettcorks,2006,19 (5):667 -0.0047 -2.4966」 [2]Huang H,Feng G,Cao J D.An LMI approach to delay-dependent 而利用文献0]可以求得 state estimation for delayed neural networks.Neurocomputing, -2.4904 0.00141 2008,71(13H5):2857 K= -0.0114-3.2391 B]He Y,Liu C P,Rees D.New delay-dependent stability criteria 仿真结果可见图1和图2. for neural networks with timevarying delay.IEEE Trans Neural Networks,2007,18(1):310 4结论 4]He Y,Liu G P,Rees D,et al.Stability analysis for neural net- works with timevarying interval delay.IEEE Trans Neural Net- 本文主要研究具有混合时变时滞神经网络的状 Work,2007,18(6):1850 态估计问题.离散时滞是时变的，并且在一个下界 [5]Gao H J,Chen T W.New results on stability of discretetime sys- 不一定为零的区间内变化.通过定义新的Lyapunov tems with time-varying state delay.IEEE Trans Autom Control, 2007,52(2):328 泛函，结合Jensen积分不等式，确定了确保误差状 [6]Shao H Y.New delay-dependent stability criteria for systems with 态系统全局渐近稳定的充分条件，并且得到系统状 interval delay.Automatica,2009,45 (3):744 态估计器的设计方法.所得结果完全由线性矩阵不 7]Wang Z D,Ho D W C,Liu X H.State estimation for delayed

第 7 期 张 蕾等: 混合时变时滞神经网络的状态估计器设计 ［| x + 1 | + | x － 1 | ］，非线性干扰取为 f( t，x( t) ) = 0. 1cosx( t) + 0. 3． 因此，可以得到 Σ1 = － 0. 2 0 [ ] 0 － 0. 2 ，Σ2 = － 0. 05 0 [ ] 0 － 0. 05 ， Σ3 = 0. 08 0 [ ] 0 0. 08 ，Σ4 = 0. 3 0 [ ] 0 0. 3 ． 显然，|sint | 在 t = kπ( k = 0，± 1，± 2，…) 时不 可微，因此文献［11--12］中的判据不能求解此状态 估计问题． 利用 Matlab 的 LMI 工具箱，可以求解定 理 1 得到 P = 20. 838 4 － 0. 326 2 [ ] － 0. 326 2 15. 462 6 ， Q1 = 10. 401 1 － 0. 179 9 [ ] － 0. 179 9 7. 470 2 ， Q2 = 12. 296 1 － 0. 214 4 [ ] － 0. 214 4 8. 746 1 ， Q3 = 35. 761 7 1. 819 1 [ ] 1. 819 1 33. 608 3 ， T = 14. 897 6 － 0. 163 6 [ ] － 0. 163 6 12. 453 6 ， S = 6. 260 5 － 0. 106 3 [ ] － 0. 106 3 4. 396 5 ， R = － 36. 792 2 0. 926 6 [ ] 0. 503 1 － 38. 605 2 ， U = 33. 709 9 0 [ ] 0 32. 214 6 ， V = 22. 965 5 0 [ ] 0 19. 923 3 ， W = 68. 494 8 0 [ ] 0 83. 609 0 ， 且状态估计增益矩阵为 K = － 1. 765 7 0. 005 4 [ ] － 0. 004 7 － 2. 496 6 ． 而利用文献［10］可以求得 K = － 2. 490 4 0. 001 4 [ ] － 0. 011 4 － 3. 239 1 ． 仿真结果可见图 1 和图 2． 4 结论 本文主要研究具有混合时变时滞神经网络的状 态估计问题． 离散时滞是时变的，并且在一个下界 不一定为零的区间内变化． 通过定义新的 Lyapunov 泛函，结合 Jensen 积分不等式，确定了确保误差状 态系统全局渐近稳定的充分条件，并且得到系统状 态估计器的设计方法． 所得结果完全由线性矩阵不 图 1 状态真实值 x1 ( t) 和估计值 x^ 1 ( t) 的响应曲线 Fig． 1 Response curves of the true state x1 ( t) and its estimation x^ 1 ( t) 图 2 状态真实值 x2 ( t) 和估计值 x^ 2 ( t) 的响应曲线 Fig． 2 Response curves of the true state x2 ( t) and its estimation x^ 2 ( t) 等式形式给出． 数值算例证明了本文设计方法的有 效性和优越性． 参 考 文 献 ［1］ Liu Y R，Wang Z D，Liu X H． Global exponential stability of gen￾eralized recurrent neural networks with discrete and distributed de￾lays． Neural Networks，2006，19( 5) : 667 ［2］ Huang H，Feng G，Cao J D． An LMI approach to delay-dependent state estimation for delayed neural networks． Neurocomputing， 2008，71( 13-15) : 2857 ［3］ He Y，Liu G P，Rees D． New delay-dependent stability criteria for neural networks with time-varying delay． IEEE Trans Neural Networks，2007，18( 1) : 310 ［4］ He Y，Liu G P，Rees D，et al． Stability analysis for neural net￾works with time-varying interval delay． IEEE Trans Neural Net￾works，2007，18( 6) : 1850 ［5］ Gao H J，Chen T W． New results on stability of discrete-time sys￾tems with time-varying state delay． IEEE Trans Autom Control， 2007，52( 2) : 328 ［6］ Shao H Y． New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay． Automatica，2009，45( 3) : 744 ［7］ Wang Z D，Ho D W C，Liu X H． State estimation for delayed ·851·