量子物理_薛定谔方程

第2章薛定谔方程 回顾 x 由一维平面波函数y(x,D)= Acosta(t--)+o x. Aosinla(t-)+Po 0小少 22y(x Aocosla(t.t )+0 2 动 A 1 84 力波 4c0[o(t--)+0u20公 学动 方的 o-y 1 Oy 程 2 2 t

第 2 章 薛定谔方程 回顾: sin[ ( ) ] ( , )   0   = − − + u x A t t y x t cos[ ( ) ] ( , ) 0 2 2 2      = − − + u x A t t y x t 2 2 2 0 2 2 2 2 1 cos[ ( ) ] t y u u x t u A x y        = − − + = 2 2 2 2 2 1 t y x u y     = 波 动 的 动 力 学 方 程 ( , ) cos[ ( ) ] =  − +0 u x 由一维平面波函数 y x t A t

§1薛定谔方程 自由粒子的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为P的自由粒子的波函数 y(, t=voe h(Et-px) 得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程: y h oy at 2m ax2

一. 自由粒子的薛定谔方程 沿x方向运动的动能为E和动量为 的自由粒子的波函数 §1 薛定谔方程 2 2 2 t 2m x i   = −      得出一维自由粒子运动所遵从的薛定谔方程：

同样推广到三维如下 个动能为E和动量为,即波矢为=P 的自由粒子波函数: Vk(r, t)=Yo exp(i Et-pr 显然,波函数对时间求导,可得出: Evr(r, t) at 方 Ey(r, t at

( , ) exp( ) 0     Et p r r t i k −   = − 一个动能为E和动量为 ，即波矢为 的自由粒子波函数：    p p k =  同样推广到三维如下： ( , ) ( , ) E r t i t r t k k      = −   显然，波函数对时间求导，可得出：

波函数对空间求导可得出: avr(r,t) 方2(F,),%(FD=2 Xvk(r, t) dvr(r,t) p,Vk(r, t: avk(r, t) 2y2 k(F,) avr(r, t)i 方 pYk(r, t); av(r, t) p dz az. 2 2+2+2k(,t) Vk(r, t) O z 方

波函数对空间求导可得出： ( , ); ( , ) p r t i x r t x k k      =   ( , ); ( , ) p r t i y r t y k k      =   ( , ); ( , ) p r t i z r t z k k      =   ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p x r t k k x      = −   ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p y r t k k y      = −   ( , ) ( , ) 2 2 2 2 r t p z r t k k z      = −   ( ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r t p r t x y z  k  k  = −   +   +  

定义算符扣2=02+082+02 则得:VVk(F,)=_pv(2) 考虑自由粒子的能量: E 2m Vvr(r, t=EVK(r, t 2m 又因为:Cvk(F,D) =Evi(r, t at 自由粒子的 o薛定谔方程 得出:Oy(F,D)h2 VVR(r,t) at 2m

2 2 2 2 2 2 2 x y z  +   +   定义算符：  = ( , ) ( , ) 2 2 2 r t p r t k k    则得：   = −  m p E 2 2 = 考虑自由粒子的能量： ( , ) 2 ( , ) 2 2 r t t m r t i k k       = −    ( , ) ( , ) 2 2 2 r t E r t m k k    −   =  又因为： 得出： 自由粒子的 薛定谔方程