例3设x4-xy+y4=1,求y在点(0,1)处的值 解方程两边对x求导得 4x3-y-xy+4y3y=0 (1) 代入x=0,y=1得y1x= 将方程(1)两边再对x求导得 12x2-2y-xy"+12y2(y)2+4y3y"=0 代入x=0,y=1,y1x-=7得y1x-0= 16
例 3 1, (0,1) . 设 x4 − xy + y4 = 求y 在点 处的值 解 方程两边对x求导得 4 4 0 (1) 3 3 x − y − xy + y y = 代入 x = 0, y = 1 得 ; 41 1 0 = == yx y 将方程(1)两边再对x求导得 12 2 12 ( ) 4 0 2 2 2 3 x − y − xy + y y + y y = 代入 x = 0, y = 1, 得 41 1 0 = == yx y . 161 1 0 = − == yx y
补证反函数的求导法则 设x=q(y)为直接函数,y=f(x)为其反函数 y=f(x)可视为由方程x-()=0确定的一个 隐函数 由隐函数的微分法则 方程x=q(y)两边对x求导得 1=q(y) dx dxφ'(y)
补证反函数的求导法则 设x = ( y)为直接函数，y = f (x)为其反函数 隐函数 y = f (x)可视为由方程 x −( y) = 0确定的一个 由隐函数的微分法则 方程x = ( y)两边对 x求导得 dx dy 1 = ( y) ( ) 1 dx y dy =
例4设 arctan ye+ y2,求,y d x dx2 解方程两边对x求导得 (√x2+y2) x-+ 1+ yx-y 2x+2yy r t y x2+y22√x2+y →yX-y=x+yy 小yx+y
例 4 2 2 2 2 arctan ln , , dxd y dx dy x y xy 设 = + 求 解 方程两边对x求导得 ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 + + = + x y x x y y xy 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 x y x yy x x y y x y x y x + + + = − + yx − y = x + yy x y x y dx dy −+ =
dfy d(x+y dxclx-y (1+y)(x-y)-(x+y)(1-y) (x-y)2 Cy 2x 2 x(x+y)-y(x-y) (x-y) 2(x2+y (x-y) 例5求证抛物线√x+、y=√a上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a
− + = x y x y dx d dx d y 2 2 2 ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y y x y x y y − + − − + − = 2 ( ) 2 2 x y xy y − − = 3 ( ) ( ) ( ) 2 x y x x y y x y − + − − = 3 2 2 ( ) 2( ) x y x y − + = 例5 求证抛物线 x + y = a 上任一点的切线 在两坐标轴上的截距之和等于a
证方程x+ a两边对x求导得 1 1 d 十 0 2√x2、pd 故曲线上任一点(x0,y)处切线的斜率为 dy √Jo x=r 0 切线方程为y-y=-0(x-x) →√xy+√yx=√xoJo+√J0x0
证 方程 x + y = a两边对x求导得 0 2 1 2 1 + = dx dy x y x y dx dy = − 故曲线上任一点 ( , ) 0 0 x y 处切线的斜率为 x x0 dx dy k = = 0 0 x y = − 切线方程为 ( ) 0 0 0 0 x x x y y − y = − − 0 0 0 0 0 x0 x y + y x = x y + y