直线曲面柱面锥面平面点线点面线线面面旋转面二次曲面坐标变换异面情形当l和l异面时，同时与和l垂直UB相交的直线CD称为ei和l的公垂线公D垂线段CD的长度CDI称为直线1和2l2的距离.因为CD垂直于e1和e2,所以CDlf与x平行，从而CD为AB在x方CAu向上的投影.因此luxu.ABCD(8.11)lix欲求公垂线CD的方程，只需注意到直线CD是平面ACD和平面BCD的交线.而平面ACD的法向量为（u×）×i，平面BCD的法向量为（u×）×.因此可以先求出平面ACD和平面BCD的一般方程，然后求出直线CD的方程返回全屏关闭退出11/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC É¡/: `1 Ú `2 É¡, Ó `1 Ú `2 R CD ¡ `1 Ú `2 úR. ú Rã CD Ý |CD| ¡ `1 Ú `2 ål. Ï CD Ru `1 Ú `2, ¤± −−→CD ~u × ~v ²1, l −−→CD −→AB 3 ~u × ~v þÝK. Ïd A B C D `1 ~u `2 ~v |CD| = |~u × ~v · −→AB| |~u × ~v| . (8.11) ¦úR CD§, I5¿ CD ´²¡ ACD Ú²¡ BCD . ²¡ ACD {þ (~u × ~v) × ~u, ²¡ BCD {þ (~u × ~v) × ~v. Ïd±k¦Ñ²¡ ACD Ú²¡ BCD §, , ¦Ñ CD §. 11/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
线线曲面柱面锥面直线平面点线点面面面旋转面二次曲面坐标变换例5求直线l1:-1=y-2=z-3和e2:=2y=3z的夹角0、距离d以及公垂线l的方程解 l1,l2, 的方向向量分别为 = (1,1,1), = (1,,)， × =(,,).故11la.2[u × (1, 2, 3)I = arccosdarccos7V3V26[][][ax 可]又由(×)×=(,,), ()=(，,),故得和所决定平面的点法式方程为7α—2y-5z+12=0.同理,l,和l所决定平面的点法式方程为17α一16y一27z=0.于是e的一般方程为7α- 2y-5z+12 = 017c-16y - 27z = 0返回全屏关闭退出I12/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC ~ 5 ¦ `1 : x − 1 = y − 2 = z − 3 Ú `2 : x = 2y = 3z Y θ! ål d ±9úR ` §. ) `1, `2, ` þ©O ~u = (1, 1, 1), ~v = (1, 1 2 , 1 3 )§~u × ~v = (−1 6 , 2 3 , −1 2 ). θ = arccos |~u · ~v| |~u||~v| = arccos 11 7 √ 3 , d = |~u × ~v · (1, 2, 3)| |~u × ~v| = 2 √ 26 . qd (~u × ~v) × ~u = (7 6 , −1 3 , −5 6 ), (~u × ~v) × ~v = (17 36, −4 9 , −3 4 ), `1 Ú ` ¤ û½²¡:{ª§ 7x − 2y − 5z + 12 = 0. Ón, `2 Ú ` ¤û½²¡ :{ª§ 17x − 16y − 27z = 0. u´ ` § 7x − 2y − 5z + 12 = 0 17x − 16y − 27z = 0 12/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
直线曲面柱面锥面平面点线点面线线面面旋转面二次曲面坐标变换8.7.6两平面的位置关系设空间中两平面元1和元2的一般方程为n2Ti : Aa + Biy +Ciz + Di = 0, i = 1, 2.元1则两个平面的法向量为 πi =（A1,B1,Ci)和8n2=（A2,B2,C2).ni与n2所夹的锐角或直角Φ，称为两平面元1和元2的夹角当㎡1和㎡2不平行时，两平面相交于一条直线.当元和㎡2平行时，两平面平行或重合B1A1C1D1若则两平面平行C2A2B2D2此时，平行平面元1和元2的距离就等于元2上任意一点到平面元1的距离B1C1D1A1若则两平面重合B2C2D2A2I返回全屏关闭退出二13/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.6 ü²¡ 'X m¥ü²¡ π1 Ú π2 § πi : Aix + Biy + Ciz + Di = 0, i = 1, 2. Kü²¡{þ ~n1 = (A1, B1, C1) Ú ~n2 = (A2, B2, C2). ~n1 ~n2 ¤Yb½ φ, ¡ü²¡ π1 Ú π2 Y. π1 ~n1 φ π2 ~n2 φ ~n1 Ú ~n2 ز1, ü²¡u^. ~n1 Ú ~n2 ²1, ü² ¡²1½Ü. e A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 6= D1 D2 , Kü²¡²1. d, ²1²¡ π1 Ú π2 ålÒ u π2 þ?¿:²¡ π1 ål. e A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 = D1 D2 , Kü²¡Ü. 13/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ