直线柱面平面点线点面线线面面曲面锥面旋转面二次曲面坐标变换例3求经过三点A(1,2,3),B(1,3,5),C(2,4,6)的平面元的参数方程和点法式方程解AB=(0,1,2)，AC=(1,2,3),故元的参数方程为a=1+ty=2+8+2tz=3+2s+3t.此平面的法向为n = AB × AC = (-1,2, -1),因此它的点法式方程为-(c -1)+2(y-2)- (z-3) = 0返回全屏关闭退出6/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC ~ 3 ¦²Ln: A(1, 2, 3), B(1, 3, 5), C(2, 4, 6)²¡ π ëê§ Ú:{ª§. ) −→AB = (0, 1, 2)§ −→AC = (1, 2, 3), π ëê§ x = 1 + t y = 2 + s + 2t z = 3 + 2s + 3t. d²¡{ ~n = −→AB × −→AC = (−1, 2, −1), Ïd§:{ª§ −(x − 1) + 2(y − 2) − (z − 3) = 0. 6/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
直线曲面柱面锥面平面点线点面线线面面旋转面二次曲面坐标变换直线的一般方程两个不平行的平面相交于一条直线e.当这个平面的方程由一般方程元1：A+B1y+Ciz+D1=0和元2：A2a+B2y+C2z+D2=0表示时，将这两个方程联立就得直线的方程Aic+Biy+Ciz+Di=0(8.7)A2C+B2y+C2z+D2=0称为直线e的一般方程，由于通过一条直线可以作无限多个平面，因此直线的一般方程不唯一平面的法向为π1=（A1,B1,C1)平面2的法向为π1=（A2,B2,C2)由于直线l垂直于元1也垂直于元2因此l的方向为元×元.于是从直线的一般方程中求出直线上一个点，就能写出直线的点向式方程反之，由直线e的点向式方程（8.3）（假设其中i≠0），也很容易地写出e的一般方程返回全屏关闭退出7/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC § üز1²¡u^ `. ù²¡§ d§ π1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 Ú π2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 L«, òùü§éáÒ ` §: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 (8.7) ¡ ` §. duÏL^±Ãõ²¡, Ïd §Ø. ²¡ π1 { ~n1 = (A1, B1, C1), ²¡ π2 { ~n1 = (A2, B2, C2). du ` Ru π1 Ru π2, Ïd ` ~n1 × ~n2. u´l §¥¦Ñþ:, ÒUÑ:ª§. , d ` :ª§ (8.3)£bÙ¥u1 6= 0¤, éN´/Ñ ` §. 7/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
直线平面点面线线面面曲面柱面锥面点线旋转面二次曲面坐标变换8.7.3点到直线的距离设直线过点A.方向向量为i.P为空-间中任意一点.过点P作直线e的垂线，垂足为 B. 因为 lu × API是 与 AP张成的平行四边形的面积,这面积也等于[u]·|AP}·sin0.0-iBA于是，点P到直线l的距离可表为lu× AP一d =|BP|=|AP|sin(8.8)[ai]+=+2z+3的距离为例4点（1,1,1)到直线5624[(2, -4, 2)]d = (4,5,6) × (2, 3, 4)771(4, 5, 6)1(4, 5, 6)|II返回全屏关闭退出-8/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.3 :ål ` L: A, þ ~u, P m¥?¿:. L: P ` R, Rv B. Ï |~u × −→AP | ´ ~u −→AP ܤ²1 o>/¡È, ù¡È u |~u| · |−→AP | ·sin θ. u´, : P ` ålL A B P ` ~u θ d = | −−→BP | = | −→AP |sin θ = |~u × −→AP | |~u| . (8.8) ~ 4 : (1, 1, 1) x+1 4 = y+2 5 = z+3 6 ål d = |(4, 5, 6) × (2, 3, 4)| |(4, 5, 6)| = |(2, −4, 2)| |(4, 5, 6)| = r 24 77 . 8/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
直线点面线线曲面柱面锥面平面点线面面旋转面二次曲面坐标变换8.7.4点到平面的距离设平面元的一般方程为Ac+By+Cz+D = 0,其法向量π = (A,B,C), M(αco,yo, zo)πP为平面 π上任意一点,P(α,y,z)为空间中任意一点.过点P作平面元的垂线，垂足为Q因为 IMPI在法向的投影的长为哥·MP,所MO以点 P到平面元的距离为d = [QP) = [n.MP)[A(α - co) + B(y - yo) + C(z - zo)l[n]VA2+B2+C2又点 M 在平面 π 上, 所以 Aco + Byo + Czo + D = 0, 由此得d = [QP] = IAa + By + Cz + D](8.9)VA? + B? + C2II返回全屏关闭退出-9/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.4 :²¡ål ²¡ π § Ax + By + Cz + D = 0, Ù{þ ~n = (A, B, C), M(x0, y0, z0) ²¡ π þ?¿:, P (x, y, z) m¥? ¿:. L: P ²¡ π R, Rv Q. Ï | −−→MP | 3{ÝK ~n |~n| · −−→MP , ¤ ±: P ²¡ π ål M Q P π ~n d = | −→QP | = |~n · −−→MP | |~n| = |A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0)| √ A2 + B2 + C2 . q: M 3²¡ π þ, ¤± Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0, dd d = | −→QP | = |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B2 + C2 . (8.9) 9/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
直线平面点线点面线线曲面柱面锥面面面旋转面二次曲面坐标变换两直线的位置关系8.7.5向量空间中的任意两条直线&1和e2它们可能共面（平行、相交、重合）或异面。设l过点A(a1,a2,a3),方向向量为=（u1,u2,3):l2过点B(bi,b2,b3),方向向量为 =(1,V2,V3),则 li与 l2共面的充分且必要条件是u,AB共面即(u ×u) .AB= 0.(8.10)共面情形当e和2共面时，如果与不平行，则称e和相交，它们所夹的锐角或直角d.称为这两条直线的夹角.当向量i与平行时，如果B在e上或者A在e2上，则它们重合，否则只是平行，当e和e2相交时它们的距离显然为零：当e和e平行时，l1和l的距离就等于点B到1的距离返回全屏退出关闭-10/38
²¡ : :¡ ¡¡ ¡ Ρ I¡ ^=¡ g¡ IC 8.7.5 ü 'X þm¥?¿ü^ `1 Ú `2, §U¡£²1!! ܤ½É¡" `1 L: A(a1, a2, a3), þ ~u = (u1, u2, u3); `2 L: B(b1, b2, b3), þ ~v = (v1, v2, v3), K `1 `2 ¡¿© 7^ ´ ~u, ~v, −→AB ¡, = (~u × ~v) · −→AB = 0. (8.10) ¡/: `1 Ú `2 ¡, XJ ~u ~v ز1, K¡ `1 Ú `2 , §¤Y b½ φ, ¡ùü^Y. þ ~u ~v ²1, XJ B 3 `1 þ½ö A 3 `2 þ, K§Ü, ÄK´²1. `1 Ú `2 , §å lw,"; `1 Ú `2 ²1, `1 Ú `2 ålÒ u: B `1 ål. 10/38 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ