水文学 课程讲稿 概率相乘定理:多个事件中,某一事件的出现并不影响其他事件的出现, 此类事件称为独立事件。称为独立事件概率相乘定理。几个独立事件一并出现 的概率等于各个事件出现的概率之积 频率密度() 频率P(%) a)频率密度曲线 b)频率分布曲线 图31某站年降水量频率密度曲线和频率分布曲线 323随机变量的概率分布 随即变量的取值总是伴随着相应的概率,而概率的大小随着随即变量的取值而变 化,这种随即变量与其概率一一对应的关系,成为随即变量的概率分布规律。连续性 随机变量的可取值有无限个。因而只能以区间的概率分布来分析其分布规律 例题:某站有62年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。 将62年降水量按大小每隔△x=200mm划分为一组,统计各组值出现的次数,计算各 组值相应得频率、频率密度、累积次数、累积频率的值 以年降水量为纵坐标,以频率密度为横坐标,绘成频率密度直方图,而以累积频率为 横坐标,绘成累积频率直方图。见图3.1。 3.24累积频率和重现期 (1)累积频率与随机变量的关系 水文特征值属于连续型随机变量,在分析水文系列的概率分布时,用x≥x的 概率。累积频率是指等量值和超量值累计出现的次数与总观测次数之比。在实际应用 中用样本系列频率分布代替整体系列的频率分布。当样本容量相当的大,而组距Δτ很 小时,可以绘出频率分布曲线。 (2)重现期 重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次。 当研究洪峰流量、洪水位、暴雨时,使用的设计频率P<50%, 2、当研究枯水流量枯水位时,为了保证灌溉、发电等用水需要,设计频率P常 采用大于50%的值,则 T=1/1-P 3.2.5设计标准 水文现象具有明显的地区性和随机性,因而无法用水文特征值出现的量值做为工程设 计的标准。主管部门根据工程的规模、工程在国民经济的地位以及工程失事后果等因
水文学 课程讲稿 （2） 概率相乘定理：多个事件中，某一事件的出现并不影响其他事件的出现， 此类事件称为独立事件。称为独立事件概率相乘定理。几个独立事件一并出现 的概率等于各个事件出现的概率之积。 3.2.3 随机变量的概率分布 随即变量的取值总是伴随着相应的概率，而概率的大小随着随即变量的取值而变 化，这种随即变量与其概率一一对应的关系，成为随即变量的概率分布规律。连续性 随机变量的可取值有无限个。因而只能以区间的概率分布来分析其分布规律。 例题：某站有 62 年的降水资料。分析年降水量的概率分布规律。 将 62 年降水量按大小每隔△x=200mm 划分为一组，统计各组值出现的次数，计算各 组值相应得频率、频率密度、累积次数、累积频率的值。 以年降水量为纵坐标，以频率密度为横坐标，绘成频率密度直方图，而以累积频率为 横坐标，绘成累积频率直方图。见图 3.1。 3.2.4 累积频率和重现期 （1）累积频率与随机变量的关系 水文特征值属于连续型随机变量，在分析水文系列的概率分布时，用 i x x 的 概率。累积频率是指等量值和超量值累计出现的次数与总观测次数之比。在实际应用 中用样本系列频率分布代替整体系列的频率分布。当样本容量相当的大，而组距 x 很 小时，可以绘出频率分布曲线。 （2）重现期 重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次。 1、 当研究洪峰流量、洪水位、暴雨时，使用的设计频率 P＜50%， T=1/P 2、 当研究枯水流量枯水位时，为了保证灌溉、发电等用水需要，设计频率 P 常 采用大于 50%的值，则 T=1/1-P 3.2.5 设计标准 水文现象具有明显的地区性和随机性，因而无法用水文特征值出现的量值做为工程设 计的标准。主管部门根据工程的规模、工程在国民经济的地位以及工程失事后果等因
水文学 课程讲稿 素,在各种工程设计规范中规定各种水文特征值的水文资料,通过水文分析计算, 求出对应于设计频率的水文特征值,作为工程设计的依据 33经验频率曲线 3.3.1经验频率曲线 将某水文电量ⅹ按递减顺序排列,排列中的序号不仅表示排列大小的次序, 而且也表示标量自水大到小的累积次数。如果以年雨量为纵坐标,以频率为横坐 标,将对应于各个雨量的频率点绘于坐标中,根据点群分布趋势,目估绘出一条 光滑的曲线,它就是某站年雨量的频率曲线。由于此曲线是根据实测资料绘制的 故称经验频率曲线 332经验频率公式 从上述绘制经验频率曲线的过程可知,各个变量的经验频率是按下式计算 的 P=m/n×100% 3.8式中P一大雨或等于变量xm的经验频率,%; m-Ⅻm在n项观测资料中按递减顺序排列序号,即在n次观测资料 中大于或等于xm的次数 观测资料的总项数。 333经验频率曲线的绘制和应用 如果有n年实测资料,可按下列步骤绘经验频率曲线: 1.将按时间顺序排列的实测资料按递减顺序排列成x1,x2,…,Mn对应的序号m为 2.利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。 3.以水文变量x为纵坐标,以频率P为标准标,在坐标纸上点绘经验频率点, 目估通过点群中心绘一条光滑的曲线,这就是经验频率曲线。 4.根据工程设计标准指定的频率,在曲线上查出所需的水文数据。 绘在一般坐标纸上的频率曲线,其两端坡度较陡,即上部急剧上升,下部急剧下 降,而两端正是工程设计频率所用的部位。为了比较方便和精确的绘制频率曲线 人们采用频率计算专用的概率格纸。常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概 率分布分格制成的,所以,正态概率分布曲线绘在这种格纸上呈直线,非正态概 率分布曲线绘在这种格纸上,其两端曲线坡度也会大大变缓,有利于曲线外延 概率格纸的纵坐标,可以是均匀分格,也可以是对数分格。 334经验频率曲线的外延 由于实测资料年数不多,用其绘制的经验频率曲线位于概率格纸的中间部 分,而工程上往往需要推求稀遇频率的水文数据,对经验频率曲线进行外延就是 种常用的推求方法。 然而,由于没有实测点据控制,目估使曲线外延往往带有相当大的主观成分。其 次,由于水文现象的随机性,有时点绘的经验频率点分布比较散乱,使得经验频 率曲线的定线比较困难。这样,就会影响设计水文数据的精度。为了解决定线和 外延上的困难,人们提出用数学方程式来表示频率曲线,这就是理论频率曲线
水文学 课程讲稿 素，在各种工程设计规范中规定各种水文特征值的水文资料，通过水文分析计算， 求出对应于设计频率的水文特征值，作为工程设计的依据。 3.3 经验频率曲线 3.3.1 经验频率曲线 将某水文电量 x 按递减顺序排列，排列中的序号不仅表示排列大小的次序， 而且也表示标量自水大到小的累积次数。如果以年雨量为纵坐标，以频率为横坐 标，将对应于各个雨量的频率点绘于坐标中，根据点群分布趋势，目估绘出一条 光滑的曲线，它就是某站年雨量的频率曲线。由于此曲线是根据实测资料绘制的， 故称经验频率曲线。 3.3.2 经验频率公式 从上述绘制经验频率曲线的过程可知，各个变量的经验频率是按下式计算 的 P=m/n×100% 3.8 式中 P—大雨或等于变量 xm 的经验频率，%； m—xm 在 n 项观测资料中按递减顺序排列序号，即在 n 次观测资料 中大于或等于 xm 的次数； n—观测资料的总项数。 3.3.3 经验频率曲线的绘制和应用 如果有 n 年实测资料，可按下列步骤绘经验频率曲线： 1．将按时间顺序排列的实测资料按递减顺序排列成 x1,x2,…,xn,对应的序号 m 为 1，2，…,n。 2．利用公式分别计算对应各个变量的经验频率。 3．以水文变量 x 为纵坐标，以频率 P 为标准标，在坐标纸上点绘经验频率点， 目估通过点群中心绘一条光滑的曲线，这就是经验频率曲线。 4．根据工程设计标准指定的频率，在曲线上查出所需的水文数据。 绘在一般坐标纸上的频率曲线，其两端坡度较陡，即上部急剧上升，下部急剧下 降，而两端正是工程设计频率所用的部位。为了比较方便和精确的绘制频率曲线， 人们采用频率计算专用的概率格纸。常用的概率格纸的横坐标是按正态曲线的概 率分布分格制成的，所以，正态概率分布曲线绘在这种格纸上呈直线，非正态概 率分布曲线绘在这种格纸上，其两端曲线坡度也会大大变缓，有利于曲线外延。 概率格纸的纵坐标，可以是均匀分格，也可以是对数分格。 3.3.4 经验频率曲线的外延 由于实测资料年数不多，用其绘制的经验频率曲线位于概率格纸的中间部 分，而工程上往往需要推求稀遇频率的水文数据，对经验频率曲线进行外延就是 一种常用的推求方法。 然而，由于没有实测点据控制，目估使曲线外延往往带有相当大的主观成分。其 次，由于水文现象的随机性，有时点绘的经验频率点分布比较散乱，使得经验频 率曲线的定线比较困难。这样，就会影响设计水文数据的精度。为了解决定线和 外延上的困难，人们提出用数学方程式来表示频率曲线，这就是理论频率曲线
水文学课程讲稿 3.4统计参数 34.1均值 均值是反映随机变量系列平均情况的数,根据随机变量在系列中的出现情 况,计算均值的方法有两种。 1、加权平均法 设有一实测系列由x1,x2,…xn组成,各个随机变量出现的次数分别为 x1f1+ fn,则系列均值为:x平均f1+……J fr 1 式中N一样本系列的总项数N=f1+2+…+fn 2、算术平均法 若实测系列内各随机变量很少重复出现,可以不考虑出现次数的影响,用算 术平均法求均值 平均 式中n-样本系列的项数 对于水文系列来说,一年内只选一个样或几个样,水文特征值重复出现的机 会很少,一般使用算术平均值。若系列内出现了相同的水文特征值,由于推求的 是累积频率P,可将相同值排在一起,各占一个序号就行了 342均方差和变差系数 (1)均方差 均方差是随机变量离均差平方和的平均数再开方的数值,用符号s表示,即 上式只适用于总体,对于样本系列应采用下列修正公式 ∑(x,-x)2 (2)变差系数 变差系数又称离差系数或离势系数,它是一个系列的均方差与其均值的比 s_1 厘26
水文学 课程讲稿 3.4 统计参数 3.4.1 均值 均值是反映随机变量系列平均情况的数，根据随机变量在系列中的出现情 况，计算均值的方法有两种。 1、 加权平均法 设有一实测系列由 x1,x2,…,xn 组成，各个随机变量出现的次数分别为 f1,f2, …,fn,则系列均值为: = = + + = n i i i n n n x f f f N x f x f x 1 1 1 1 1 平均 式中 N—样本系列的总项数 N=f1+f2+…+fn。 2、算术平均法 若实测系列内各随机变量很少重复出现，可以不考虑出现次数的影响，用算 术平均法求均值。 = = n i i x n x 1 1 平均 式中 n—样本系列的项数。 对于水文系列来说，一年内只选一个样或几个样，水文特征值重复出现的机 会很少，一般使用算术平均值。若系列内出现了相同的水文特征值，由于推求的 是累积频率 P，可将相同值排在一起，各占一个序号就行了。 3.4.2 均方差和变差系数 (1) 均方差 均方差是随机变量离均差平方和的平均数再开方的数值，用符号 s 表示,即 n x x s i − = 2 ( ） 上式只适用于总体，对于样本系列应采用下列修正公式 1 ( 2 − − = n x x s i ） (2)变差系数 变差系数又称离差系数或离势系数，它是一个系列的均方差与其均值的比 值，即 x x s CV 1 = = 1 ( 2 − − n x x i ） 1 ( 1 2 − − = n K C i V ）