式(24)为结构或构件处于极限状态时，各有关基本变量的关系式，它是判别结构是 否失效和进行可靠度分析的重要依据， 为说明问题的方便起见，设R和S都服从正态分布，且其平均值和标准差分别为、 心和0R、0s,则两者的差值Z也是正态随机变量，并具有平均值m2=me一m、,标准差 02=√o+σ。Z的概率密度函数为 「12-m 1.()-o.expa. -0<2<0 (2-5) 其分布如图2-2所示。结构的失效概率P就是图2-2a)中阴影面积P(Z<0),用公式 表示为 (2-6) (A 分面 Z0(可) ( 图22正态分布和标准正态分布坐标系 )正态分布坐标系b)标准正态分布坐标系 现将Z的正态分布N(mz,0z转换为标准正态分布N(0,1),引入标准化变量1(m-0, 0,=1人如图2-2b)所示，现取： 1=业，止=0zd 0, 当：→-时，t→-0：当z=0时，t=-m2/o2 将以上结果代入式(26)后得到 (2-7) 2-6
2-6 式（2-4）为结构或构件处于极限状态时，各有关基本变量的关系式，它是判别结构是 否失效和进行可靠度分析的重要依据。 为说明问题的方便起见，设 R 和 S 都服从正态分布，且其平均值和标准差分别为 mR、 mS 和σR、σS ，则两者的差值 Z 也是正态随机变量，并具有平均值 mZ = mR − mS ，标准差 2 2 Z = R + S 。Z 的概率密度函数为 1 1 2 ( ) exp ( ) 2 2 z z z z z m f z z − = − − （2-5） 其分布如图 2-2 所示。结构的失效概率 Pf 就是图 2-2a）中阴影面积 P(Z 0) ，用公式 表示为 0 1 1 2 ( 0) exp ( ) 2 2 z f z z z m P P Z dz − − = = − （2-6） ( 失效) = ( 可靠) ( ) ( 非阴影部分面积) ( ) ( ) − ( ) 0 = − 图 2-2 正态分布和标准正态分布坐标系 a)正态分布坐标系 b）标准正态分布坐标系 现将 Z 的正态分布 N（mZ，σZ）转换为标准正态分布 N（0，1），引入标准化变量 （t mt=0， σt =1），如图 2-2b)所示，现取： dz dt z m t Z Z Z = − = , 当 z → −时，t → − ；当 ，t mZ Z z = 0时 = − / 将以上结果代入式（2-6）后得到 2 1 exp( ) 1 ( ) ( ) 2 2 Z Z m z z f z z t m m P dt − − = − = − = − （2-7）
式中的（为标准化正态分布函数。 现引入符号B,并令： A-8 (2-8) 由式(27)可得到 P=(-) (2-9) 式中的B为无量纲系数，称为结构可靠指标。 式(2-9)反映了失效概率与可靠指标之间的关系。由P+P,=1还可导出可靠指标B 同可靠概率P的一一对应关系为 P=1-P=1-(-)=(B) (2-10 式中结构可靠指标B的表达式为 B=ma-ms (2-11) ak+as 将B称作结构的可靠指标的原因是 (1)B是失效概率和可靠概率的质量，B与P或P,具有一一对应的数量关系，这可从 表2-1和式(2-9)、式(2-10)看出来，B越大，则失效概率P越小（即阴影面积越小）， 可靠概率P越大。 可靠指标B及相应的失效概率P,的关系 表2-1 1.0164203003.714.0450 15.87 227 3 104 340 10°2 102102 x10310x103x10 (2)如图2-2所示，功能函数的概率密度函数为、平均值为m2、标准差为z 在横坐标轴：上，从坐标原点(：=0，失效点)到密度函数曲线的平均值m2处的距离为Bσ， 若B大，则阴影部分的面积小，失效概率P小，结构可靠度大：反之，B小，阴影部 分面积大，失效概率P大，结构可靠度小。 (3)功能函数为某一概率密度函数f时，由B=m/口z可知，当标准差o=常量时， B只随平均值m而变。而当B增加时，会使概率密度曲线由于m的增加而向右移动（图 23的虚线所示)，即P,将变小，变为P,结构可靠概率增大。 27
2-7 式中的 () 为标准化正态分布函数。 现引入符号β，并令： Z mZ = （2-8） 由式（2-7）可得到 = (−) Pf （2-9） 式中的 为无量纲系数，称为结构可靠指标。 式（2-9）反映了失效概率与可靠指标之间的关系。由 Pr + Pf =1 还可导出可靠指标 同可靠概率 Pr 的一一对应关系为 =1− =1−(−) = () Pr Pf （2-10） 式中结构可靠指标 的表达式为 2 2 R S mR mS + − = （2-11） 将β称作结构的可靠指标的原因是： （1）β是失效概率和可靠概率的质量，β与 Pf 或 Pr 具有一一对应的数量关系，这可从 表 2-1 和式（2-9）、式（2-10）看出来，β越大，则失效概率 Pf 越小（即阴影面积越小）， 可靠概率 Pr 越大。 可靠指标β及相应的失效概率 Pf 的关系 表 2-1 β 1.0 1.64 2.00 3.00 3.71 4.00 4.50 P f 15.87× 10-2 5.05 ×10-2 2.27× 10-2 1.35 ×10-3 1.04× 10-4 3.17 ×10-5 3.40 ×10-6 （2）如图 2-2 所示，功能函数的概率密度函数为 fZ(z)、平均值为 mZ、标准差为σZ。 在横坐标轴 z 上，从坐标原点（z =0，失效点）到密度函数曲线的平均值 mZ处的距离为 z ， 若 z 大，则阴影部分的面积小，失效概率 Pf 小，结构可靠度大；反之, βσZ 小，阴影部 分面积大，失效概率 Pf 大，结构可靠度小。 （3）功能函数为某一概率密度函数 fZ(z)时，由β= mZ /σZ可知，当标准差σZ=常量时， β只随平均值 mZ 而变。而当β增加时，会使概率密度曲线由于 mZ 的增加而向右移动（图 2-3 的虚线所示），即 Pf 将变小，变为 ' Pf ，结构可靠概率增大