运算数域向量相关性坐标系数量积向量积复数利用向量运算可以解决许多几何问题，其思想是将几何性质转化为向量的代数运算。例1在△ABC中，D.E分别是边BC.AC的中点，AD.BE相交于点G.证明：AG=2AD证明设AG=&AD,BG=yBE.因为AD=(AB+AC)BE=I(BA+BC)=(-AB+AC-AB)=AC-AB又因为AG-BG=AB，所以1(AB+ AC) - (CAC- AB) = AB.E即,( +-1)AB =AC由于AB与GAC不共线，因此有+y-1==0即2BDa=y=%.返回全屏关闭退出6/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê |^þ$±)ûNõAÛ¯K§Ùg´òAÛ5=z þê$" ~ 1 3 4ABC ¥§D, E ©O´> BC, AC ¥:§AD, BE u: G. y²µAG = 2 3AD. y² −→AG = x −−→AD, −−→BG = y −→BE. Ï −−→AD = 1 2 ( −→AB + −→AC), −→BE = 1 2 ( −→BA + −−→BC) = 1 2 (− −→AB + −→AC − −→AB) = 1 2 −→AC − −→AB. qÏ −→AG − −−→BG = −→AB, ¤± x 2 ( −→AB + −→AC) − y 1 2 −→AC − −→AB = −→AB. =, ( x 2 + y − 1)−→AB = y−x 2 −→AC. du −→AB −→AC Ø, Ïdk x 2 + y − 1 = y−x 2 = 0, = x = y = 2 3 . A B C D G E 6/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算向量相关性坐标系数量积向量积复数数域坐标系$8.2仿射坐标系8.2.1定理1设i,é2é为空间中三个不共面的向量，则对每个向量a都存在唯一的三元有序实数组（αC1,C2,C3),使得(8.9)a=iéi+C2e2+3e3定义1空间中任意三个有序的不共面的向量.é2.e称为空间的一组基对于向量，若a=iei+a2e2+a3e3则称（a1,2,3）为向量a在基e1,e2,é3下的仿射坐标或简称坐标返回全屏关闭退出7/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê §8.2 IX 8.2.1 IX ½n 1 ~e1, ~e2, ~e3 m¥nØ¡þ§Kézþ ~a Ñ3 nkS¢ê| (x1, x2, x3), ¦ ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. (8.9) ½Â 1 m¥?¿nkSØ¡þ ~e1, ~e2, ~e3 ¡m|Ä" éuþ ~a§e ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3, K¡ (x1, x2, x3) þ ~a 3Ä ~e1, ~e2, ~e3 eI½{¡I. 7/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算向量相关性坐标系数量积向量积复数数域定理1的证明 在空间中任取一点 0,作向量0A=1.0B=é2.0℃e3,OP=a.过P点作直线OC的平行线,交AOB平面于Q点.再过Q点作直线OB的平行线，交OA直线于R点.则a=OP=OR+RQ+QP由于OR//OA，RQ/OB，QP//OC,利用性质1知，存在实数1,C2,3使得OR = aiei, RQ = 2e2, QP = ases.因此a=iei+a2e2+a3e3ChBRA返回全屏关闭退出8/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê ½n1 y² 3m¥?: O§þ −→OA = ~e1, −→OB = ~e2, −→OC = ~e3, −→OP = ~a. L P : OC ²1, AOB ²¡u Q :. 2L Q : OB ²1, OA u R :. K ~a = −→OP = −→OR + −→RQ + −→QP . du −→OR//−→OA, −→RQ//−→OB, −→QP //−→OC, |^5 1 , 3¢ê x1, x2, x3 ¦ −→OR = x1~e1, −→RQ = x2~e2, −→QP = x3~e3. Ïd ~a = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. O A B C P Q R 8/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
向量运算相关性坐标系数量积向量积复数数域定义2空间中任意一点O和一组基é1.2.é.合在一起称为空间的一个仿射坐标系，记为[O;é1,é2,é3].点O称为坐标原点，é1,é2,é3称为坐标向量.éi,é2,é3所在直线分别称为 α 轴，y轴和 z轴,统称为坐标轴.三个坐标轴的任意两个决定了一个平面，称为坐标面，分别记为Ocy，Oyz，Oza.给定仿射坐标系[O;é1,é2,e],对空间中一点 P,向量OP在基ei,é2,e3下的坐标称为点P在仿射坐标系[O;éi,é2,é3] 下的坐标.因此点 P在[O;éi,é2,] 下的坐标为(αi, 2, cs) 当且仅当oP= iéi + 2e2 + sés.引入仿射坐标系后，在下列三者间存在一一对应的关系空间中的点 P←→向量oP←→坐标 (α1,α2,a3)返回全屏关闭退出I9/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê ½Â 2 m¥?¿: O Ú|Ä ~e1, ~e2, ~e3 Ü3å¡m IX, P [O ; ~e1, ~e2, ~e3]. : O ¡I:, ~e1, ~e2, ~e3 ¡I þ. ~e1, ~e2, ~e3 ¤3©O¡ x ¶, y ¶Ú z ¶, Ú¡I¶. nI ¶?¿üû½ ²¡, ¡I¡, ©OP Oxy, Oyz, Ozx. ½IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3], ém¥: P , þ −→OP 3Ä ~e1, ~e2, ~e3 eI¡: P 3IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3] eI. Ïd: P 3 [O ; ~e1, ~e2, ~e3] eI (x1, x2, x3) = −→OP = x1~e1 + x2~e2 + x3~e3. Ú\IX, 3enöm3éA'X: m¥: P ←→ þ −→OP ←→ I (x1, x2, x3) 9/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
运算数量积复数数域向量相关性坐标系向量积对于给定的仿射坐标系[O；ei,e2,e3l,当我们伸出右手指向i的方向并朝e2的方向握过去时，如果大拇指的方向正好与e的方向成锐角，那么这个坐标系称为右手仿射坐标系：当我们伸出左手指向的方向，并朝e的方向握过去时，如果左手大拇指的方向正好与的方向成锐角，那么这个坐标系称为左手仿射坐标系，只有这两种类型的坐标系eeeLen(a）右手系(b）左手系返回退出全屏关闭10/33
þ $ '5 IX êþÈ þÈ Eê ê éu½IX [O ; ~e1, ~e2, ~e3], ·Ñmà ~e1 , ¿ ~e2 ºL, XJ-Ð ~e3 ¤b, @o ùIX¡ mÃIX; ·Ñà ~e1 , ¿ ~e2 ºL, XJÃ-Ð ~e3 ¤b, @où IX¡ ÃIX. kùü«a.IX. O O e1 e e e e2 e 3 1 2 3 (a) mÃX (b) ÃX 10/33 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ