高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化

工程科学学报，第38卷，第11期：1643-1651,2016年11月 Chinese Journal of Engineering,Vol.38,No.11:1643-1651,November 2016 D0l:10.13374/j.issn2095-9389.2016.11.019:http://journals.ustb.edu.cn 高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 江 维⑧，吴功平，樊飞，张颉 武汉大学动力与机械学院，武汉430072 ☒通信作者，E-mail:jiangwei2013@whu.cdu.cn 摘要针对完全依靠人工带电拧紧高压输电线路引流板螺栓作业效率低、劳动强度大、高空和高电压危险的问题，研制了 一种双臂和双机械手的引流板螺栓拧紧带电检修机器人·通过各关节的轨迹规划双作业臂及其末端由初始位姿运动到螺栓 螺母对准状态是机器人顺利完成检修作业的关键.针对现有多项式插值关节轨迹规划依赖于轨迹端点时刻，导致该方法实 用性差及关节轨迹运动过程中忽略驱动机构对关节状态制约的问题，提出基于M一Max时间标准化的改进多项式插值关节 轨迹规划方法.基于该方法，以关节运动时间为优化对象，提出满足关节轨迹运动全程约束条件的关节运动时间区间范围的 求取方法.通过仿真实验验证了改进算法关节轨迹仅与轨迹端点状态及运动时间有关，而与端点时刻无关，进一步淡化轨迹 端点时刻对关节轨迹的影响，提高算法的实用性.通过选取最优关节轨迹运动时间，满足了关节状态全程状态约束要求，从而避 免超调的发生，优化了各关节运动轨迹，提高了关节运动的效率.最后通过现场试验进一步验证改进算法的工程实用性 关键词高压输电线路：机器人；作业臂控制：运动规划：优化 分类号TP242.3 Working manipulator motion optimization of live maintenance robot for high voltage transmission line JIANG Wei,WU Gong-ping,FAN Fei,ZHANG Jie School of Power and Mechanical Engineering,Wuhan University,Wuhan 430072,China Corresponding author,E-mail:jiangwei2013@whu.edu.cn ABSTRACT In response to the problems of artificial low-operation efficiency,high labor intensity,high altitude and high risk in drainage board bolt tightening for high voltage transmission line,a bolt tightening live maintenance robot with double arms and double manipulators was designed in this paper.The key to the successful completion of maintenance work is that double working arms and their ends move from the initial position to the bolt and nut alignment state through the trajectory planning of each joint of the robot. The existed polynomial interpolation of joint trajectory planning depends on trajectory endpoint time,leading to some issues such as the low practicability of the method and the neglect of the constraints of the drive mechanism on the joint state in joint trajectory motion,so an improved polynomial interpolation joint trajectory planning method based on Min-Max time standardization was presented.Based on the method,a solving method of joint motion time ranges which meet the requirements of joint trajectory motion constraints was proposed with articulation motion time as the optimization target.Simulation results show that the joint trajectory of the improved algo- rithm is only with regard to trajectory endpoint state and motion time,but not to trajectory endpoint time,which further dilutes the influence of trajectory endpoint time on the joint trajectory,and the practicality of the algorithm is also improved.By selecting the opti- mal trajectory articulation motion time which meets the requirements of whole joint state constraints,the improved algorithm not only avoids the occurrence of overshooting and optimizes the trajectory of each joint,but also improves the efficiency of joint motion.Final- ly,the engineering practicality of the improved algorithm was verified by field operation test. 收稿日期：2015-12-31 基金项目：国家自然科学基金资助项目(51105281)：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2104005)：湖南省电力公司科技项目 (5216A01400B1)

工程科学学报，第 38 卷，第 11 期: 1643--1651，2016 年 11 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 38，No． 11: 1643--1651，November 2016 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2016． 11． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 江 维，吴功平，樊 飞，张 颉 武汉大学动力与机械学院，武汉 430072  通信作者，E-mail: jiangwei2013@ whu． edu． cn 摘 要 针对完全依靠人工带电拧紧高压输电线路引流板螺栓作业效率低、劳动强度大、高空和高电压危险的问题，研制了 一种双臂和双机械手的引流板螺栓拧紧带电检修机器人． 通过各关节的轨迹规划双作业臂及其末端由初始位姿运动到螺栓 螺母对准状态是机器人顺利完成检修作业的关键． 针对现有多项式插值关节轨迹规划依赖于轨迹端点时刻，导致该方法实 用性差及关节轨迹运动过程中忽略驱动机构对关节状态制约的问题，提出基于 Min--Max 时间标准化的改进多项式插值关节 轨迹规划方法． 基于该方法，以关节运动时间为优化对象，提出满足关节轨迹运动全程约束条件的关节运动时间区间范围的 求取方法． 通过仿真实验验证了改进算法关节轨迹仅与轨迹端点状态及运动时间有关，而与端点时刻无关，进一步淡化轨迹 端点时刻对关节轨迹的影响，提高算法的实用性． 通过选取最优关节轨迹运动时间，满足了关节状态全程状态约束要求，从而避 免超调的发生，优化了各关节运动轨迹，提高了关节运动的效率． 最后通过现场试验进一步验证改进算法的工程实用性． 关键词 高压输电线路; 机器人; 作业臂控制; 运动规划; 优化 分类号 TP242. 3 收稿日期: 2015--12--31 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 51105281) ; 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目( 2104005) ; 湖南省电力公司科技项目 ( 5216A01400B1) Working manipulator motion optimization of live maintenance robot for high voltage transmission line JIANG Wei  ，WU Gong-ping，FAN Fei，ZHANG Jie School of Power and Mechanical Engineering，Wuhan University，Wuhan 430072，China  Corresponding author，E-mail: jiangwei2013@ whu． edu． cn ABSTＲACT In response to the problems of artificial low-operation efficiency，high labor intensity，high altitude and high risk in drainage board bolt tightening for high voltage transmission line，a bolt tightening live maintenance robot with double arms and double manipulators was designed in this paper． The key to the successful completion of maintenance work is that double working arms and their ends move from the initial position to the bolt and nut alignment state through the trajectory planning of each joint of the robot． The existed polynomial interpolation of joint trajectory planning depends on trajectory endpoint time，leading to some issues such as the low practicability of the method and the neglect of the constraints of the drive mechanism on the joint state in joint trajectory motion，so an improved polynomial interpolation joint trajectory planning method based on Min--Max time standardization was presented． Based on the method，a solving method of joint motion time ranges which meet the requirements of joint trajectory motion constraints was proposed with articulation motion time as the optimization target． Simulation results show that the joint trajectory of the improved algo￾rithm is only with regard to trajectory endpoint state and motion time，but not to trajectory endpoint time，which further dilutes the influence of trajectory endpoint time on the joint trajectory，and the practicality of the algorithm is also improved． By selecting the opti￾mal trajectory articulation motion time which meets the requirements of whole joint state constraints，the improved algorithm not only avoids the occurrence of overshooting and optimizes the trajectory of each joint，but also improves the efficiency of joint motion． Final￾ly，the engineering practicality of the improved algorithm was verified by field operation test．

·1644 工程科学学报，第38卷，第11期 KEY WORDS high voltage transmission line;robot;manipulator control:motion planning:optimization 带电检修·是指在高压电气设备上不停电进行 状态及关节运动时间有关，而与作业臂关节轨迹端点 检修、测试的一种作业方法，其对电网稳定运行，确保 时刻没有直接联系，当端点时刻发生改变后，只需将关 稳定供电具有极其重要的意义.引流板螺栓紧固是电 节轨迹与标准化时间的映射关系转换为与物理时间的 力部门带电检修的重要内容之一，传统的螺栓拧紧方 映射就可以得到新的关节轨迹函数，因而减小计算量， 法主要是通过携带工器具登塔完全依靠人工独立 提高算法的实用性.为使关节轨迹运动规划更趋于关 完成，然而高空、高电压环境使得完全依靠人工的方式 节实际运动，解决关节轨迹全局位置约束问题，提出以 不仅劳动强度大和效率低，而且危险性高。基于此，本 轨迹运动时间为优化对象，轨迹最优运动时间所在区 文研制了一种高压线路引流板螺栓紧固带电检修机器 间的求取方法，通过关节运动时间的优化获得满足全 人，通过搭载的双作业臂及其作业末端套筒完成关键 局约束条件的最优关节轨迹，避免超调的发生，提高关 位置的定位，实现引流板螺栓的紧固作业.带电检修 节的运动效率和机器人作业的安全性.通过本文轨迹 机器人在作业过程中，作业臂由初始位姿到工作位姿 规划方法的推广可进一步解决关节速度和加速度状态 各关节位置、速度和加速度状态的瞬间突变对作业臂 约束问题 造成一定冲击，导致机器人振动的发生，给作业臂及其 1 带电检修机器人的实体结构 末端的运动定位精度带来一定影响，因此快速、准确、 稳定的作业臂多关节轨迹规划是保证作业任务顺利完 带电检修机器人由双行走臂、双作业臂及其末端 成的关键 及控制箱等组成，其实体结构如图1所示.双行走臂 机器人关节运动规划方法有A”算法仞、C空间 能够在线路上行走，作业臂1由旋转关节、伸缩关节和 法圆、人工势场法回、MARKOV法@等.在众多方法 纵移关节组成，作业臂2由横移关节、旋转关节、伸缩 中多项式插值算法应用最为普遍，常用的插值多项式 关节和纵移关节组成.双作业臂在线路上作业时都有 有样条函数、三次多项式、五次多项式和高阶多项式. 足够裕度，使其能满足检修作业空间要求.拧螺母作 三次多项式插值算法如简单但不能满足关节加速度 业末端套筒通过燕尾槽固定在作业臂纵移关节上， 的约束要求：高阶多项式插值算法网能够满足关节加 安装于作业臂2的作业末端套筒有大功率电机，可 速度甚至关节脉动的约束要求但算法过于复杂且容易 以实现螺栓紧固，末端采用六角套筒扳手形式以确 产生额外运动：结合机器人作业臂对位置、速度和加速 保套简与螺栓接触面足够大，此外末端内设复位弹 度的控制要求，五次多项式插值算法四及与其相结合 簧的虎克铰，能够适应耐张线夹螺栓一定角度的位 的智能优化算法能够满足作业臂关节运动规划要 置，减小紧固螺栓时对末端产生的内应力.输电导线 求.当前关节轨迹多项式插值规划研究成果在一定程 和耐张引流线通过引流板相联接，其中联接部分通 度上优化了机械臂的运动轨迹，但是存在两个问题：其 过螺栓固定起来.在进行螺栓紧固作业时，先利用机 一，关节轨迹与轨迹端点时刻有关，一旦轨迹端点时刻 械手1末端将螺栓头固定，再由机械手2末端套筒套 发生改变，轨迹函数需要重新计算，从而在一定程度上 住螺母，通过末端工具电机的转向控制实现螺栓的 降低算法的实用性；其二，轨迹规划过于理想化，只考 松开和拧紧操作 虑了轨迹端点的关节状态约束条件，而忽略了中间过 10.作业臂1纵移关节 11.拧螺栓机构 程的关节状态约束，即驱动机构会约束关节在任意时 4.偶臂行走轮 4.奇臂行走轮 刻的运动状态而绝非只是轨迹端点处.通常情况下， 5.夹爪 8.作业臂2 纵移关节 当关节低速运动时只需要保证关节位置不超限，关节 2.作业臂1 及其伸缩关节“ 2.作业营2及其 速度和加速度不易越过约束范围，但当关节高速运动 伸缩关节 1.偶臂 9.作业臂1旋转关节 时，关节速度和加速度很容易越过其约束范围，其结果 机器人机体1.奇臂、 是可能会导致关节电机驱动电流过大损坏机器人硬件 7.作业臂2 系统.因此，在关节轨迹规划时必须考虑各种约束条 旋转关节 6.作业臂2 件，否则可能会造成大的作业事故 横移关节 针对上述问题，为消除关节轨迹端点时刻对关节 轨迹的影响，本文将关节运动时间进行Min一Max标准 3机器人控制箱 化处理，引入标准化时间的概念，以标准化时间为插值 图1带电检修机器人实体结构图 多项式变量，这样作业臂关节运动轨迹仅与轨迹端点 Fig.1 Entity structure of the live maintenance robot

工程科学学报，第 38 卷，第 11 期 KEY WOＲDS high voltage transmission line; robot; manipulator control; motion planning; optimization 带电检修［1--3］是指在高压电气设备上不停电进行 检修、测试的一种作业方法，其对电网稳定运行，确保 稳定供电具有极其重要的意义． 引流板螺栓紧固是电 力部门带电检修的重要内容之一，传统的螺栓拧紧方 法［4--6］主要是通过携带工器具登塔完全依靠人工独立 完成，然而高空、高电压环境使得完全依靠人工的方式 不仅劳动强度大和效率低，而且危险性高． 基于此，本 文研制了一种高压线路引流板螺栓紧固带电检修机器 人，通过搭载的双作业臂及其作业末端套筒完成关键 位置的定位，实现引流板螺栓的紧固作业． 带电检修 机器人在作业过程中，作业臂由初始位姿到工作位姿 各关节位置、速度和加速度状态的瞬间突变对作业臂 造成一定冲击，导致机器人振动的发生，给作业臂及其 末端的运动定位精度带来一定影响，因此快速、准确、 稳定的作业臂多关节轨迹规划是保证作业任务顺利完 成的关键． 机器人关节运动规划方法有 A* 算法［7］、C 空间 法［8］、人工势场法［9］、MAＲKOV 法［10］等． 在众多方法 中多项式插值算法应用最为普遍，常用的插值多项式 有样条函数、三次多项式、五次多项式和高阶多项式． 三次多项式插值算法［11］简单但不能满足关节加速度 的约束要求; 高阶多项式插值算法［12］能够满足关节加 速度甚至关节脉动的约束要求但算法过于复杂且容易 产生额外运动; 结合机器人作业臂对位置、速度和加速 度的控制要求，五次多项式插值算法［13］及与其相结合 的智能优化算法［14］能够满足作业臂关节运动规划要 求． 当前关节轨迹多项式插值规划研究成果在一定程 度上优化了机械臂的运动轨迹，但是存在两个问题: 其 一，关节轨迹与轨迹端点时刻有关，一旦轨迹端点时刻 发生改变，轨迹函数需要重新计算，从而在一定程度上 降低算法的实用性; 其二，轨迹规划过于理想化，只考 虑了轨迹端点的关节状态约束条件，而忽略了中间过 程的关节状态约束，即驱动机构会约束关节在任意时 刻的运动状态而绝非只是轨迹端点处． 通常情况下， 当关节低速运动时只需要保证关节位置不超限，关节 速度和加速度不易越过约束范围，但当关节高速运动 时，关节速度和加速度很容易越过其约束范围，其结果 是可能会导致关节电机驱动电流过大损坏机器人硬件 系统． 因此，在关节轨迹规划时必须考虑各种约束条 件［15--16］，否则可能会造成大的作业事故． 针对上述问题，为消除关节轨迹端点时刻对关节 轨迹的影响，本文将关节运动时间进行 Min--Max 标准 化处理，引入标准化时间的概念，以标准化时间为插值 多项式变量，这样作业臂关节运动轨迹仅与轨迹端点 状态及关节运动时间有关，而与作业臂关节轨迹端点 时刻没有直接联系，当端点时刻发生改变后，只需将关 节轨迹与标准化时间的映射关系转换为与物理时间的 映射就可以得到新的关节轨迹函数，因而减小计算量， 提高算法的实用性． 为使关节轨迹运动规划更趋于关 节实际运动，解决关节轨迹全局位置约束问题，提出以 轨迹运动时间为优化对象，轨迹最优运动时间所在区 间的求取方法，通过关节运动时间的优化获得满足全 局约束条件的最优关节轨迹，避免超调的发生，提高关 节的运动效率和机器人作业的安全性． 通过本文轨迹 规划方法的推广可进一步解决关节速度和加速度状态 约束问题． 1 带电检修机器人的实体结构 带电检修机器人由双行走臂、双作业臂及其末端 及控制箱等组成，其实体结构如图 1 所示． 双行走臂 能够在线路上行走，作业臂 1 由旋转关节、伸缩关节和 纵移关节组成，作业臂 2 由横移关节、旋转关节、伸缩 关节和纵移关节组成． 双作业臂在线路上作业时都有 足够裕度，使其能满足检修作业空间要求． 拧螺母作 业末端套筒通过燕尾槽固定在作业臂纵移关节上， 安装于作业臂 2 的作业末端套筒有大功率电机，可 以实现螺栓紧固，末端采用六角套筒扳手形式以确 保套筒与螺栓接触面足够大，此外末端内设复位弹 簧的虎克铰，能够适应耐张线夹螺栓一定角度的位 置，减小紧固螺栓时对末端产生的内应力． 输电导线 和耐张引流线通过引流板相联接，其中联接部分通 过螺栓固定起来． 在进行螺栓紧固作业时，先利用机 械手 1 末端将螺栓头固定，再由机械手 2 末端套筒套 住螺母，通过末端工具电机的转向控制实现螺栓的 松开和拧紧操作． 图 1 带电检修机器人实体结构图 Fig． 1 Entity structure of the live maintenance robot ·1644·

江维等：高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 ·1645· 2改进N次多项式插值轨迹规划算法的基 i(.)=-Rnd.), ti-to 本原理 2.1常规N次多项式轨迹规划算法 x(t.)=7 -o-Rand(t）, 4-o)2 常规多项式插值关节轨迹运动规划方法是通过轨 (5) 迹端点处关节的边界状态来确定唯一的一个插值多项 w）--合d. 式.设起始和终点时刻分别为和，起点的状态分别 为o,o,。,…,终点的状态分别为x,,元，…，插值 函数为x(),则x(t)满足式(1)的边界条件. -. x(la）=xo, n阶多项式插值轨迹需要n+1个初始条件，由于 x()=x 插值端点初始状态的对称性n一般为奇数，若定义关 (to)=o, 节轨迹的运行时间为lam=4-o,轨迹端点位置差 x(t)=, S=x:-x。,将关节变量两个端点的边界条件分别代入 式(4)和式(5)可得式(6). 花()=元o, (1) [x(to)=xo+S Rand(0)=x, (t)=, x(t)=xo+S Rand (1)=x x0()=xg0. i()=5-Raind(O) ()=,S-Rand()=, 由式(1)n+1个边界条件可确定唯一的一个关 节轨迹n(n为奇数)次多项式： x()=a.+a-1-+a-2-2+…+a,2+a,t+ao 上E(-之)=o: (6) (2) 将式(1)n+1个边界条件代入式(2)可得到n+ ）-之Rmdm- 1元一次方程组，所以可解得插值多项式系数a,~an, 从而获取关节的运动轨迹多项式 2.2改进W次多项式轨迹规划算法 学)w=之a)(0=）, 常规N次多项式插值轨迹是时间的函数.对于 x（)(e)=sRad(学)()=x学) 不同的端点时刻有不同的边界状态，插值多项式系数 需要重新计算.为淡化端点时刻对插值多项式的影 由式(6)可得Rand(t.)函数的n+1个边界条件 响，减小插值系数的计算量，对时间变量t进行Min一 式(7). Mx标准化处理，将物理时间转化为一个无量纲的标 [Rand (0)=0, 准化时间变量t。如式(3)，则关节轨迹函数可表示为 Rand(1)=1, 式(4)，再根据轨迹端点处的关节状态值可求得关节 Raind (0)=- om 关于t。的多项式轨迹 t-o,0≤t.≤1. ta=I-to (3) Rand (1)= x(l.)=x。+(x-xo)·Rand(t.),0≤Rand(t.)≤l. Rand (0)= , (4) (7) 式(4)中Rand(t,)为D,l]之间的随机函数，可对 Band (1) 关节轨迹函数进行实时修正.当t=l。时Rand(t.)= S 0,此时表示轨迹起点；当t=t:时Rand(l.)=l,此时表 示轨迹终点：当0<Rand(t)<1时表示关节轨迹运动 Rm(学)O0-学g 过程中的任意一个中间点.对式(4)分别求一阶导数、 二阶导数、三阶导数至子(a-1)阶导数，可得关节轨 Band((1) 迹速度、加速度函数、加加速度等状态如式(5)所示

江 维等: 高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 2 改进 N 次多项式插值轨迹规划算法的基 本原理 2. 1 常规 N 次多项式轨迹规划算法 常规多项式插值关节轨迹运动规划方法是通过轨 迹端点处关节的边界状态来确定唯一的一个插值多项 式． 设起始和终点时刻分别为 t0和 tf，起点的状态分别 为 x0，x · 0，x ·· 0，…，终点的状态分别为 xf，x · f，x ·· f，…，插值 函数为 x( t) ，则 x( t) 满足式( 1) 的边界条件． x( t0 ) = x0， x( tf ) = xf， x ·( t0 ) = x · 0， x ·( tf ) = x · f， x ··( t0 ) = x ·· 0， x ··( tf ) = x ·· f， … x( n) ( t0 ) = x( n) 0 ．                … ( 1) 由式( 1) n + 1 个边界条件可确定唯一的一个关 节轨迹 n ( n 为奇数) 次多项式: x( t) = an t n + an － 1 t n － 1 + an － 2 t n － 2 + … + a2 t 2 + a1 t + a0 ． ( 2) 将式( 1) n + 1 个边界条件代入式( 2) 可得到 n + 1 元一次方程组，所以可解得插值多项式系数 a0 ～ an， 从而获取关节的运动轨迹多项式． 2. 2 改进 N 次多项式轨迹规划算法 常规 N 次多项式插值轨迹是时间 t 的函数． 对于 不同的端点时刻有不同的边界状态，插值多项式系数 需要重新计算． 为淡化端点时刻对插值多项式的影 响，减小插值系数的计算量，对时间变量 t 进行 Min-- Max 标准化处理，将物理时间转化为一个无量纲的标 准化时间变量 tα 如式( 3) ，则关节轨迹函数可表示为 式( 4) ，再根据轨迹端点处的关节状态值可求得关节 关于 tα 的多项式轨迹． tα = t － t0 tf － t0 ，0≤tα≤1． ( 3) x( tα ) = x0 + ( xf － x0 )·Ｒand( tα ) ，0≤Ｒand( tα ) ≤1． ( 4) 式( 4) 中 Ｒand( tα ) 为［0，1］之间的随机函数，可对 关节轨迹函数进行实时修正． 当 t = t0 时 Ｒand( tα ) = 0，此时表示轨迹起点; 当 t = tf 时 Ｒand( tα ) = 1，此时表 示轨迹终点; 当 0 ＜ Ｒand( tα ) ＜ 1 时表示关节轨迹运动 过程中的任意一个中间点． 对式( 4) 分别求一阶导数、 二阶导数、三阶导数至 1 2 ( n － 1) 阶导数，可得关节轨 迹速度、加速度函数、加加速度等状态如式( 5) 所示． x ·( tα ) = xf － x0 tf － t0 Ｒand · ( tα ) ， x ··( tα ) = xf － x0 ( tf － t0 ) 2Ｒand ·· ( tα ) ， x ···( tα ) = xf － x0 ( tf － t0 ) 3Ｒand ·· ( tα ) ， … ( x n － 1 2 ) ( tα ) = xf － x0 ( tf － t0 ) n ( Ｒand n － 1 2 ) ( tα )              ． ( 5) n 阶多项式插值轨迹需要 n + 1 个初始条件，由于 插值端点初始状态的对称性 n 一般为奇数，若定义关 节轨迹的运行时间为 tmotion = tf － t0，轨迹端点位置差 S = xf － x0，将关节变量两个端点的边界条件分别代入 式( 4) 和式( 5) 可得式( 6) ． x( t0 ) = x0 + S Ｒand( 0) = x0， x( tf ) = x0 + S Ｒand( 1) = xf， x ·( t0 ) = S tmotion Ｒand · ( 0) = x · 0， x ·( tf ) = S tmotion Ｒand · ( 1) = x · f， x ··( t0 ) = S t 2 motion Ｒand ·· ( 0) = x ·· 0， x ··( tf ) = S t 2 motion Ｒand ·· ( 1) = x ·· f， … ( x n － 1 2 ) ( t0 ) = S t n motion ( Ｒand n － 1 2 ) ( 0) = x ( 0 n － 1 2 ) ， ( x n － 1 2 ) ( tf ) = S t n motion ( Ｒand n － 1 2 ) ( 1) = x( f n － 1 2 )                      ． ( 6) 由式( 6) 可得 Ｒand( tα ) 函数的 n + 1 个边界条件 式( 7) ． Ｒand( 0) = 0， Ｒand( 1) = 1， Ｒand · ( 0) = x · 0 tmotion S ， Ｒand · ( 1) = x · f tmotion S ， Ｒand ·· ( 0) = x ·· 0 t 2 motion S ， Ｒand ·· ( 1) = x ·· f t 2 motion S ， … ( Ｒand n － 1 2 ) ( 0) = x ( 0 n － 1 2 ) t n motion S ， ( Ｒand n － 1 2 ) ( 1) = x( f n － 1 2 ) t n motion S                      ． ( 7) ·1645·

·1646 工程科学学报，第38卷，第11期 由式(7)的n+1个边界条件可唯一确定Rand(.)的 将式(7)边界条件分别代入式(8)和式(9)可得式 一个n次多项式： (10) Rand(t.）=An(t.)"+An-i(t.)"-1+…+ Az (ta)2+At Ao. (8) 「Ao=Rand(o), 对式(8)求一阶导数、二阶导数至方(a-1)阶导 An+An-1+…+A1+A。=Rand(1), A.Raind (0), 数可得式(9). nA。+(n-1)An-1+…+2A2+A1=Rnd(1), [Rnd(l.）=nA.。+(n-1)An-ia-2+…+ 2A2。+A, Rand(t.)=n(n-1)A.&-2+ (2）1A(学=Ran()o, (n-1)(n-2)An--3+…+2A2, nm-)…(a-2)A+ Rand(学)(e.)= m-0a-2）…(n-2）4+…+ nm-)…(a-"2）A)(学+ (2）！A(学)=Rad()(). a-Da-2(a-” (10) A.)()+…+(受）！A(学) 为便于算法的推广及MATLAB计算将式(1O)改 写为矩阵形式： (9) 0 0 0 1 1 0 0 … … … 1 0 n-1 … … 2 1 … … … … … n(m-)…(n-"2）(a-a-2)…(n-2） (n+)×(n+) Rand (0) A.-1 Rand(1) A-2 Rand (0) Rand(1） … A(学) (11) Rand(学)(O) Rand(学)(1) A Rand(学)(O) LRand(学)(a).J 所以

工程科学学报，第 38 卷，第 11 期 由式( 7) 的 n + 1 个边界条件可唯一确定 Ｒand( tα ) 的 一个 n 次多项式: Ｒand( tα ) = An ( tα ) n + An － 1 ( tα ) n － 1 + … + A2 ( tα ) 2 + A1 tα + A0 ． ( 8) 对式( 8) 求一阶导数、二阶导数至 1 2 ( n － 1) 阶导 数可得式( 9) ． Ｒand · ( tα ) = nAn t n － 1 α + ( n － 1) An － 1 t n － 2 α + … + 2A2 tα + A1， Ｒand ·· ( tα ) = n( n － 1) An t n － 2 α + ( n － 1) ( n － 2) An － 1 t n － 3 α + … + 2A2， … ( Ｒand n － 1 2 ) ( tα ) = n( n － 1 ( ) … n － n － 3 ) 2 An ( tα ( ) n + 1 2 ) + ( n － 1) ( n － 2 ( ) … n － n － 1 ) 2 · An － 1 ( tα ( ) n － 1 2 ) + … ( + n － 1 ) 2 ! ( A n － 1 2 )                  ． ( 9) 将式( 7) 边界条件分别代入式( 8) 和式( 9) 可得式 ( 10) ． A0 = Ｒand( 0) ， An + An － 1 + … + A1 + A0 = Ｒand( 1) ， A1 = Ｒand · ( 0) ， nAn + ( n － 1) An － 1 + … + 2A2 + A1 = Ｒand · ( 1) ， ( … n － 1 ) 2 ! ( A n － 1 2 ) ( = Ｒand n － 1 2 ) ( 0) ， n( n － 1 ( ) … n － n － 3 ) 2 An + ( n － 1) ( n － 2 ( ) … n － n － 1 ) 2 An － 1 + … + ( n － 1 ) 2 ! ( A n － 1 2 ) ( = Ｒand n － 1 2 ) ( 1)                    ． ( 10) 为便于算法的推广及 MATLAB 计算将式( 10) 改 写为矩阵形式: 0 0 … … … … … 0 1 1 1 … … … … … 1 1 0 0 … … … … … 1 0 n n － 1 … … … … … 2 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … n( n － 1 ( ) … n － n － 3 ) 2 ( n － 1) ( n － 2 ( ) … n － n － 1 ) 2 … … … ( n － 1 ) 2                               ! … … … ( n + 1) × ( n + 1) · An An － 1 An － 2 … ( A n － 1 2 ) … A2 A1 A                              0  = Ｒand( 0) Ｒand( 1) Ｒand · ( 0) Ｒand · ( 1) … ( Ｒand n － 3 2 ) ( 0) ( Ｒand n － 3 2 ) ( 1) ( Ｒand n － 1 2 ) ( 0) ( Ｒand n － 1 2 ) ( 1)                                ．  ． ( 11) 所以， ·1646·

江维等：高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 ·1647· A。 0 0 1 1 1 1 An-2 0 0 ……… 1 0 n n-1 A(学) … … … …… … A ……… …… A a-a-2)…(a-"号）》 《m+1》x(a+1） Rand (0) Rand (1) Rand (0) Rand (1) (12) Rand(学)(O) Rand(学)(a) Rand(学)(o) LRand()(1). 通过式(12)MATLAB矩阵运算即可解得 [4=6+-3i-3-05,2+0564, Rand(t.)的系数，从而可以获取关于t。的关节n次多 项式插值轨迹.由于对于一般的关节而言满足位置、 A4=-15+ 8e+7在m+l.5,2。- 速度和加速度的性能要求就可以达到较好的轨迹规划 效果，因此一般情况下采用五次多项式插值算法即可 4,=10+-6,-4-15元+05， 满足性能要求.本文以五次多项式插值为例可求得轨 迹多项式的系数为式(13). 0.5 A, TAs =-6Rand (0)+6Rand (1)-3 Rand (0)- 3Rand(1)-0.5Rand(0)+0.5Rand(1), A=S A =15Rand (0)-15Rand(1)+8 Raind (0)+ 1A=0. (14) 7 Rand (1)+1.5 Rand (0)-Rand (1), 将求得的系数式(14)代入式(8)可得Rand(t.)的 A3 =-10Rand (0)+10Rand (1)-6 Raind (0)- 五次多项式为式(15)，将式(15)代入式(4)可得基于 4 Rand(1)-1.5 Rand (0)+0.5 Rand(1), 标准化时间的关节轨迹函数x(1)为式(16) A2=0.5Rand(0), Rand(t)= A =Raind (0), (6+-3-3-0+0)+ A。=Rand(0). (13) (-15+8+75-)+ 将式(7)边界条件代入式(13)得式(14). （0+-6-4-15+05)+ (15)

江 维等: 高压输电线路带电检修机器人作业臂运动优化 An An － 1 An － 2 … ( A n － 1 2 ) … A2 A1 A                            0  = 0 0 … … … … … 0 1 1 1 … … … … … 1 1 0 0 … … … … … 1 0 n n － 1 … … … … … 2 1 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … n( n － 1 ( ) … n － n － 3 ) 2 ( n － 1) ( n － 2 ( ) … n － n － 1 ) 2 ( ) … … … n － 1 ) 2                             ! … … … － 1 ( n + 1) × ( n + 1) · Ｒand( 0) Ｒand( 1) Ｒand · ( 0) Ｒand · ( 1) … ( Ｒand n － 3 2 ) ( 0) ( Ｒand n － 3 2 ) ( 1) ( Ｒand n － 1 2 ) ( 0) ( Ｒand n － 1 2 ) ( 1)                              ．  ． ( 12) 通 过 式 ( 12 ) MATLAB 矩 阵 运 算 即 可 解 得 Ｒand( tα ) 的系数，从而可以获取关于 tα 的关节 n 次多 项式插值轨迹． 由于对于一般的关节而言满足位置、 速度和加速度的性能要求就可以达到较好的轨迹规划 效果，因此一般情况下采用五次多项式插值算法即可 满足性能要求． 本文以五次多项式插值为例可求得轨 迹多项式的系数为式( 13) ． A5 = － 6Ｒand( 0) + 6Ｒand( 1) － 3 Ｒand · ( 0) － 3 Ｒand · ( 1) － 0. 5 Ｒand ·· ( 0) + 0. 5 Ｒand ·· ( 1) ， A4 = 15Ｒand( 0) － 15Ｒand( 1) + 8 Ｒand · ( 0) + 7 Ｒand · ( 1) + 1. 5 Ｒand ·· ( 0) － Ｒand ·· ( 1) ， A3 = － 10Ｒand( 0) + 10Ｒand( 1) － 6 Ｒand · ( 0) － 4 Ｒand · ( 1) － 1. 5 Ｒand ·· ( 0) + 0. 5 Ｒand ·· ( 1) ， A2 = 0. 5 Ｒand ·· ( 0) ， A1 = Ｒand · ( 0) ， A0 = Ｒand( 0)                ． ( 13) 将式( 7) 边界条件代入式( 13) 得式( 14) ． A5 =6 + －3x · 0 tmotion －3x · f tmotion －0. 5x ·· 0 t 2 motion +0. 5x ·· f t 2 motion S ， A4 = － 15 + 8x · 0 tmotion + 7x · f tmotion + 1. 5x ·· 0 t 2 motion － x ·· f t 2 motion S ， A3 =10 + －6x · 0 tmotion －4x · f tmotion －1. 5x ·· 0 t 2 motion +0. 5x ·· f t 2 motion S ， A2 = 0. 5x ·· 0 t 2 motion S ， A1 = x · 0 tmotion S ， A0 = 0                ． ( 14) 将求得的系数式( 14) 代入式( 8) 可得 Ｒand( tα ) 的 五次多项式为式( 15) ，将式( 15) 代入式( 4) 可得基于 标准化时间的关节轨迹函数 x( tα ) 为式( 16) ． Ｒand( tα ) ( = 6 + －3x · 0 tmotion －3x · f tmotion －0. 5x ·· 0 t 2 motion +0. 5x ·· f t 2 motion ) S t 5 α ( + － 15 + 8x · 0 tmotion + 7x · f tmotion + 1. 5x ·· 0 t 2 motion － x ·· f t 2 motion ) S t 4 α ( + 10 + －6x · 0 tmotion －4x · f tmotion －1. 5x ·· 0 t 2 motion +0. 5x ·· f t 2 motion ) S t 3 α + 0. 5x ·· 0 t 2 motion S t 2 α + x · 0 tmotion S tα ． ( 15) ·1647·