绘制根轨迹的率本法则 基本法侧 绘制根轨迹的基本法则 法则5 m 分离点d 、1 对应重根 台d- 分离角0 2π 分离角0：分离点处相邻分支的切线夹角。q:分支数 0无零点时右端为0； ©法则5是必要条件，只有满足分离点方程又属于根轨迹的点才是分 离点； 0 实轴上，相邻两个开环极点（或相邻开环零点）之间的根轨迹上必 有分离点；相邻开环零点和极点之间可能有分离点。 。根轨迹可能有不止一个分离点；分离点不一定在实轴上。 第四章根轨过法 自动控制膜理 电子信息学院16157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 绘制根轨迹的基本法则 基本法则 绘制根轨迹的基本法则 法则 5 分离点d ∑n j=1 1 d − pj = ∑m i=1 1 d − zi 对应重根 分离角θ θ = 2π q 分离角 θ：分离点处相邻分支的切线夹角。q：分支数 1 无零点时右端为 0； 2 法则 5 是必要条件，只有满足分离点方程又属于根轨迹的点才是分 离点； 3 实轴上，相邻两个开环极点（或相邻开环零点）之间的根轨迹上必 有分离点；相邻开环零点和极点之间可能有分离点。 4 根轨迹可能有不止一个分离点；分离点不一定在实轴上。 第四章 根轨迹法 自动控制原理 电子信息学院 16 / 57
绘制根轨迹的基本法则 基本法测 绘制根轨迹的基本法则 例5单位反馈系统的开环传递函数为G()=++②1 试绘制根轨迹。 解：0实轴上的根轨迹：一0，-2，【-1,0 Q渐近线： 0-1-2 =-1 3 。=2k+1五=士60,180 3 分离点：六十a-可+a可=0。整 理得：3d形+6d+2=0,解得： d=-0.423 d2=-1.577 0与虚鈾交占2 4口4得4二￥4三至OQ0 第四章根轨迹法 自动控制膜理 电子信息学院17157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 绘制根轨迹的基本法则 基本法则 绘制根轨迹的基本法则 例 5 单位反馈系统的开环传递函数为 G(s) = K∗ s(s+1)(s+2) 试绘制根轨迹。 解： 1 实轴上的根轨迹：[−∞, −2]，[−1, 0] 2 渐近线： σa = 0 − 1 − 2 3 = −1 ψa = (2k + 1)π 3 = ±60◦ , 180◦ 3 分离点： 1 d−0 + 1 d−(−1) + 1 d−(−2) = 0。整 理得：3d 2 + 6d + 2 = 0，解得： { d1 = −0.423 d2 = −1.577 × 4 与虚轴交点？ j -2 -1 1 2 -3 -2 -1 1 第四章 根轨迹法 自动控制原理 电子信息学院 17 / 57
绘制根轨迹的率木法则 基本法侧 绘制根轨迹的基本法则 法则6与虚轴交点 。系统临界稳定点 Qs=松是根的点 [接例5]，解： D(s)=s(s+1)(s+2)+=83+2s2+2s+*=0 令s=w,D()=-jw3-2w2+2u+K*=0 ∫Re[D(jw1=-2w2+K*=0∫w=±v2 1m[Djwj】=-w3+2w=01=6 1口。8，之￥三至)只0 第四章根轨透法 自动控制膜理 电子信息学院18157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 绘制根轨迹的基本法则 基本法则 绘制根轨迹的基本法则 法则 6 与虚轴交点 1 系统临界稳定点 2 s = jω 是根的点 [接例 5]，解： D(s) = s(s+1)(s+2)+K ∗ = s 3+2s 2+2s+K ∗ = 0 令 s = jω，D(jω) = −jω 3 − 2ω 2 + 2jω + K∗ = 0 { Re[D(jω)] = −2ω 2 + K∗ = 0 Im[D(jω)] = −ω 3 + 2ω = 0 { ω = ± √ 2 K∗ = 6 j -2 − √ 2 -1 1 √ 2 2 -3 -2 -1 1 d 0 第四章 根轨迹法 自动控制原理 电子信息学院 18 / 57
绘制根轨迹的基本法则 基本法测 法则7：起始角和终止角 起始角：始于开环极点的 根轨迹，在起点处的切线 与水平线的正方向夹角 Opl P3 0p2 p2 0u=180°+∑∠(m--∑2∠pu-p以 -1 户1注k 第四章根轨迹法 自动控制膜理 电子信息学院19157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 绘制根轨迹的基本法则 基本法则 法则 7：起始角和终止角 起始角：始于开环极点的 根轨迹，在起点处的切线 与水平线的正方向夹角 θp1 σ jω 0 p1 θp1 p2 θp2 p3 θp3 z1 θz1 θpk = 180◦ + ∑m i=1 ∠(pk − zi) − ∑n j=1,j̸=k ∠(pk − pj) 第四章 根轨迹法 自动控制原理 电子信息学院 19 / 57
绘制根轨迹的率木法则 基本法侧 法则7：起始角和终止角 终止角：止于开环零点的 根轨迹，在终点处的切线 1 与水平线的正方向夹角 0 21 ×P2 8=1+空-功-4-动 1,讨k 日，1，之4三，至分00 第四章根轨过法 自动控制原理 电子信息学院20157
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 绘制根轨迹的基本法则 基本法则 法则 7：起始角和终止角 终止角：止于开环零点的 根轨迹，在终点处的切线 与水平线的正方向夹角 θz1 σ jω 0 p1 p2 z1 θz1 z2 θzk = 180◦ + ∑n j=1 ∠(zk − pj) − ∑m i=1,i̸=k ∠(zk − zi) 第四章 根轨迹法 自动控制原理 电子信息学院 20 / 57