第-·套失量分析 一5 所以 7·(AXB)=B·7XA-A·VXB 1-14已知r=xe,十ye,十，r=(x2十y+x),试证： (1)7×r=0 2)×}=0 (3)7×[Ff)]=0f)是r的面数) 证明： (1)因为 e.e,e, x 3 z =(0-0e-(0-0)e,+(0-0)e =0 所以 7Xr=0 (2)根1-12题(2)可知 0×-0×+×, 台 所以 又×5=}vxr-r×r=0 (3)因为 x [ff(r)]-xr+vxr 而 9|==-4,-, 所以 口×[5fm)]=f2,×,+,×r-fgxr=0
6 《电磁场与电磁波学习指导 V×[5f)]=0 1-15设E(x,y,x,f)和H(x,y,2,t)是具有二阶连续偏导数的两个失性函数，它 们又满足方程 g:5=0,7×6=-是盟 7:日=0，V×H=莹 试证明E和H均满足 A一是整a第于B或m 证明：设 E=Ee.+Ee,Ee.,H=He,+H,+H.e. 根据矢量恒等式7X7XE=7(7·E)一7E,即 7E=7(7·E)-V X V X E 7·E=0 V×E=-的 g×7×E=-是v×H=-是要 所以 7g-是程 同理可得 7h=是 1-16试证明： 7(uw)=7v+v7+27u7u 证明：根据1-8题(2)的证明可知 (w)=v+ 7(w)=7·7(m)=7·(e7a)+7·(u7) 根据1-9题(2)的证明可知 7·(e7w)=o7·7u十7v·7u=u7u+又u·7o 7·(u7v)=7·7v+7v·7u=w7u+7u·7v
第一章矢量分析 所以 '(u)=uv++2u.u 1~17试证明下列函数满足拉普拉斯方程： (1)x,y,z)sinax sinBye-"(yi=a+) (2)(p,中，z)=pcosns (3)gr,0,)=rcos0 证明： (1)因为 a cooar sinpye"d sinaz sinpye 多-月s知r6o的e彩a一sins知nen 空-inr in”,要-一nu如Ren 所以 (d)sinazx inpesinaz singye =0 7p=0 满足拉普拉斯方程。 (2)因为 器=-npcom, 第=n+1Dg-eo 素=一p"sinm4, 程=-tpco8n时 2=0, =0 而在柱坐标系下 9-[别割+引+离] -+部+是聚+爱 将上述所求各项代入得 =(n+n)p*cosnf-np-2cosng-n'p -cosnd =0 所以 7g=0 满足拉普拉折方程
18、 《电磁场与电蓝波学习指导 (3)因为 空=a,9-0 第=-r如，那-rco0 翠=0，=0 而在球坐标系下 vp=[sn0+zsn6空+ne+cos0第+品】 将所求上述各量代入得 rsin cossin cosin s 所以 7g=0 满足拉普拉斯方程。 1-18试求7·A和7×A: (1)A=xy'te,+z'xe,+x'ye. (2)A(p,中，zx)=pcoste十o singe. ()(r sinde,+sinde,cose, 解： (1) 7·A=yx+0+0=y2 e.e e. VX4- zy r'x x'y =(2xy-x2)e,-(2xy2-3江yx)e,+(3xz-2xy2)e. (2) 7·A=[品A)+路+] =[弟wc+是o列] =3p cosg A.PA,A.cos o pi sing p coste,-2p sinde,+p singe
第一兼矢量分析 19 (3) pA=[+g+ 9,o =+,+, ins2sin coe0 -3sindcosg ?×A-是名录 A.rA,r sinA, 6.res r sinle rsin9sin0】sin8cos0 =+,-co 1-19设，=e(为常数)，试证明： VP-H 证明：在球坐标系中 7p=,动[如9到+引sm6到+品劉 将=鳄代入可得 9=是器-}-女+1e*] -e·=e 所以 9=号