0、 《电滥场与电磁波撑习指母 所以 -亲coea+3cos9+来cos7.=1 1-6求函数9=xyz在点(5,1,2)处沿着点(5,1,2)到点(9,4,19)的方向的方 向导数， 解：指定方向！的方向失量为 1=(9-5)%z+(4-1)e,+(19-2)e.=4e。+3e,+17e. 其单位失量 r=o+o,+o%“品+录+品 =yslau)2.ly -10.y5 所求方向导数 一盖a+多ca+毫a=pr=器 1-7已知p=x2+2y2+3x+xy+3x-2y-6x,求在点(0,0,0)和点(1,1,1) 处的梯度。 解：由于 7p=(2x+y+3)e+(4y+x-2)e,+(6x-6)e 所以 Vpo.-3e,-2e,-6e. 7ola.)=6e:3e, 】-8私、v都是工、少、之的函数，、v各偏导数都存在且连续，证明， (I)grad(u+o）=gradu十gradv (2)grad(uv)=v gradu+u gradu (3)grad(u)=2ugradu 证明： (1)由于 +)=(盖+密.+旁+9，+（密+e -.+影+影+器+费，+密 =7u+ 所以 grad(u+v）=gradu十grad
第一章矢意分析 一业二 (2)由于 7(um)=是(we,+品(we,+是(ae: =~+“,-~影+%，+影+ ,+影，+++为，+密 =v7u+47v 所以 grad(uv)-v gradu +u gradv (3)由于 -++ =2e.+2e,+20 =2u7u 所以 gradu=2u gradu 1-9证明： (1)V·(A+B)=7·A+口·B (2)7·(gA)=7·A+A·7p 证明：设 A=A,e,+A,e,A.e, B=Be,+B,e,十B,e (1)因为 7(A+B)=-是，++灵e[A+B,)e,+(A,+B,)e,+A+B,)e,] =A+82+4+B2+A+B2 dx dv =驶+染+染+设+识+梁 =品+，+灵(A+Ag,+A +2,+,+是(B,+Bg,+B =V·A+7·B 所以 V·(A十B)=口·A+Y·B (2)因为
12- 《电磁场与电磁被波学习指导 口(m)=2+,+灵(A,+Ag+4 -2++2 =驶+是+路+家+险+A等 -到驶+++.+A+A .+器+器 =7·A+A· 所以 7·(刷)=7·A十A·7g 1-10已知r=x+增，+魂，r-(x2+y+),试证： a)5)-0 (2)7·(r)=(m+3)r 证明： (1)因为 7引-是++小中”器 =[a+y+]+[a+y+]+[a+y+] 并+吉梦+洁并 -3x+十-3g+少+2=0 （x2+y2+z)n 所以 v=0 (2)因为 7·(m)=r口·r+r· 7r-(2+易，+小(，+%，+)=3 r=mr=m是，+，+ -me.+e+e =m-2, 所以 7·(m)=3r+m-r·r=(3+n)r
| 第一章矢意分析 1·11应用散度定理计算下述积分： I=xte,+(y,+e]ds S是之=0和z=(2一x2-y)所围成的半球区城的外表面。 解：设 A=xxe,+(x'ye,+(2xy+y't)e 则由散度定理 年4：5=7·aw 可得 1=可7ar=e+2+v-w -irra69a好 -dsin da小rtr =号a 1-12证明： (1)7X(c4)=c7XA(c为常数) (2)V X (gA)=9V XA+9x A 证明：设 A=A,e,+A e,A.e (1)因为 ex ey e. X(cA)= CA,cA,cA. 跨-路6-d验-装6+登-装 e.e,e. -是易是-四×4 A.A,A. 所以 X (cA)=cV X A (2)因为
二14- 《电磁场与电避波学习指导 e,ey e. gA.pA,ph. -g2-2+[2-2 ar -路-染6+A来-A6-驶-路}6 -(A嘉-A+州验-龄+{4烹-新 e e,ee,e,e. -品号是+密多图-0×A+×4 A.A,A.A.A,A. 所以 X ()=9 XA+79x A 1-13证明： V·(AXB)=B·(又XA)-A·(7XB) 证明：设 A=Ae,+Ae,+Ae. B=B.e,B,e,B.e. 因为 e,e,e. A.A,A. B.B,B. =(A,B.-A,B,)e,-(A.B.-A,B )e,+(A,B,-A,B,)e V·(AXB) (A B.-4.B)(A.B.-AB(A.B,-A,B.) -B染-B,验+瓷-A费-B的-B盼) -4设-A的+B,染-B染+4爱-4照 -B黔-染-融+登- -4婴-+A股-梁-A盟-那 B+队+[路-染-路-染e+0-龄] -a品+Ay+A0[川票-2-(0-设6+2-] =B·7XA-A·VXB